Modèle de concours : CNC 2003 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale Ministère de l'Enseignement
et de la Jeunesse Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 1

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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Concours National Commun - Session 2003 - MP

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours MP,
comporte 3 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .

Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction
seront des éléments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le résultat
d'une question non résolue s‘ils l’indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Notations et rappels

Dans tout le problème, K désigne le corps des réels ou celui des complexes (K = R ou C) et n
un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si ‏م‎ € N*, on note M,,p(K) l’espace vectoriel des matrices
à coefficients dans K, à n lignes et p colonnes ; si p = ‏يد‎ M,n,p(K) est noté simplement M, (K), c’est
l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K ; la matrice identité de M, (K) se note

Pour toute matrice A de M,,p(K), * À désigne la matrice transposée de À ; si A € M,(K), Sp (A)
représente l’ensemble des valeurs propres de À appartenant à K, Tr (A) sa trace et ‏لطاع‎ son rang.

Soient A et B deux éléments de M, (K) ; on considère l'application, notée © 4, 5, suivante

Ban : Mp(K) — Mp(K)
X — AX+XB

Si B = A, ‏وير‎ sera notée simplement ® 4.

1°*° Partie
1. Soit C € M,(K) ; montrer que Spx(C) = Spx(‘C).
2. Montrer que l'application ® 4 5 est linéaire.

3. Soient V € M,,1(K) (resp. W € M,,1(K)) un vecteur propre de A (resp. “B) associé à la valeur
propre a (resp. b).

(a) Expliciter les coefficients de la matrice V'W en fonction des coefficients ‏.عبر‎ , v, de V
etw;,...,w, de W, et en déduire que la matrice VW n'est pas nulle.

(b) Montrer que la matrice V°W est un vecteur propre de ® 4 7 ; à quelle valeur propre est-il
associé ?

4. Soit À une valeur propre de ®4 5 et Y € M,(K) un vecteur propre associé.
(a) Montrer que pour tout entier naturel k, A*Y = Y(\I, — B)*.
(b) En déduire que pour tout polynôme P, à coefficients dans K, P(A)Y = Y P(AI, — B).
(c) On suppose que le polynôme caractéristique P4 de À est scindé sur K et s'écrit
pHESpæ(A)

e Montrer que Y Pa(\I, — B) = 0 et en déduire que la matrice Pa(AI, — B) n’est pas
inversible.
e En déduire qu'il existe a € Spx(A) tel que la matrice (À — a)I, — B ne soit pas inversible.

Épreuve de Mathématiques II 1/3 Tournez la page S.V.P.

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5. Conclure que si le polynôme P, est scindé sur K alors Sp (®4 5) = Spx (A) + Spx(B).

6. Soient (Y;,..., Y,) une famille libre de M,,1(K), et Z1,..., Zp des vecteurs arbitraires de
M,,1(K). Montrer que l'égalité =, A = Da lieu si et seulement si les vecteurs Z1,... , ‏م‎
‎sont tous nuls.

7. On suppose ici que les matrices À et B sont diagonalisables dans M,(K) et on désigne
par (U1,..., U,) et (W1,..., Wn) des bases respectives de vecteurs propres de A et ‘B. En

considérant la famille (U/W,;)1‹i,j‹n, Montrer que l’endomorphisme ® 4 5 est diagonalisable.
8. On suppose que les deux matrices À et B sont réelles et symétriques d’ordre n.

(a) Montrer que l'application ›, ›: (M, N) + Tr (‘M N)) est un produit scalaire sur M, (R).
(b) Montrer que si C et D sont deux matrices d’ordre n, alors Tr (DC) = Tr (CD).

(c) Montrer alors que ®4 5 est un endomorphisme autoadjoint de l'espace euclidien

2ème Partie

Dans cette partie, on prend K = R et on considère une matrice S € M, (R), symétrique et définie
positive. On muni M,(R) du produit scalaire définie à la fin de la partie précédente.

1. Montrer que les valeurs propres de S' sont strictement positives.
2. En déduire alors que l’'endomorphisme autoadjoint © ‏ع‎ est définie positif.
3. Soit X € M, (R) ; montrer que X est symétrique si et seulement si ®4(X) l’est aussi.

4. Soit A = (

1 une matrice symétrique réelle d’ordre 2.

(a) On suppose que À est définie positive ; montrer alors que a › 0 et ac — b? › 0.

(b) Soit U € M3,1(R) un vecteur de composantes x et y ; exprimer LU AU en fonction de
a, b, c, x et y et montrer que si a › 0 et ac — b? › 0 alors À est définie positive.

(c) On suppose ici que À est définie positive. On considère une matrice X, = avec

A 0
0 1
À › 0. Calculer la matrice ®4(X,) et montrer qu’on peut trouver des valeurs de b et À
pour lesquelles cette matrice ne soit pas définie positive.

5. Justifier qu'il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que

Dans la suite, on note M1, , An les éléments diagonaux de la matrice D : D = diag(M,.. , An)-

6. Dans cette question, on considère une matrice X € M,(R) et on pose M = ®s(X) ; on pose
aussi Y = P1XP et N = P-! MP. On note ‏ريه‎ les coefficients de la matrice N et y;,; ceux de

(a) Vérifier que ®p(Y) = N et exprimer les coefficients y; ; à l’aide des À, et des coefficients
de la matrice N.

On suppose désormais que la matrice M est symétrique et définie positive.

Épreuve de Mathématiques II 273 ‏ب‎

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(b) Montrer que la matrice N est symétrique et définie positive.
(c) Soit U un vecteur de M,,1(R), de composantes ‏بر‎ , Un.

» Montrer que UYU = ‏زج‎ 1 en wuj ٠
2 3

e On note U(s) le vecteur de M,,1(R), de composantes u,s*!7 FL. UNSS, 8 €]o, 1].
Justifier que l'application s— ‘U(s) NU(s) est continue et intégrable sur l'intervalle ]O, 1].
e Exprimer l'intégrale de la fonction précédente en fonction de ‘UYU et en déduire que
si U est non nul, alors ‘UYU › 0.

e Soit œ › 0 ; montrer que l'application t — 26 1 est intégrable sur l'intervalle [0 1].

(d) Conclure que la matrice X est symétrique définie positive.

3ème Partie

Dans cette partie, on prend K = C et on étudie la dimension du noyau de l’'endomorphisme
‏عبر‎ dans le cas où B = — A. On muni M, (C) de l’une de ses normes.

1. On suppose que A = À où À est la matrice diag(1, , tn) avec les ‏مر‎ deux à deux distincts.

(a) On prend n = 2; déterminer Ker ® 4 _4 ; quelle est sa dimension ?
(b) On revient au cas général.
Déterminer Ker ® 4 _ 4 ; quelle est sa dimension ?

2. Soit A une matrice de M, (C) ayant n valeurs propres deux à deux distinctes.

(a) Montrer que À est diagonalisable dans M, (C).
(b) En utilisant les résultats de la question précédente, montrer que la dimension de
Ker ® 4 _ 4 est égale à n.
3. (a) Montrer que l'application A — ®4 _a est continue sur M, (C).
(b) Soit ‏و‎ € N*, avec q › n. Montrer que l'application A = (a;,;)1‹i,j‹n › det ((a:,j)1‹i,j‹a)
est continue sur Mn (C).

4. Montrer que l’ensemble des matrices de M, (C) ayant n valeurs propres deux à deux distinctes
est dense dans M, (C). (on pourra utiliser la trigonalisation)
5. Soit r un entier naturel, avec 7 ‹ n. On admet les deux résultats suivant :
e Si le rang de À est égal à r alors il existe une sous-matrice de la matrice À qui est inversible d'ordre r.
e S'il existe une sous-matrice de la matrice À, qui soit d'ordre r et inversible, alors le rang de A est
supérieur ou égal à r .
(a) Montrer que l’ensemble O, = {C € M,,(C), rg (C) › r} est un ouvert de M, (C).
(b) Soit (A,)y Une suite de matrices éléments de M, (C) avec m z 2, toutes de rang s › 0,
convergeant vers une matrice À. Montrer que le rang de À est inférieur ou égal à s.

6. En utilisant les questions 3. et 4. ainsi qu’une version vectorielle du résultat de la question 5.(b),
montrer que pour toute matrice A de M,(C), la dimension du noyau de l’endomorphisme
‏بره‎ est supérieure ou égale à n.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Mathématiques II 3/3 FIN

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