Modèle de concours : CNC 2002 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs, filière MP, session 2002. Durée : 4 heures, calculatrice interdite, énoncé de 4 pages. C'est un problème d'algèbre linéaire en trois parties : normes matricielles et convergence de la suite (M^k) liée au rayon spectral ρ(M) ; matrices symétriques réelles positives et définies positives ; équation matricielle de Stein A − M*AM = B et application à la matrice compagnon. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les trois parties s'enchaînent. Retenez trois outils : N_∞ est une norme sous-multiplicative (I.2.b), M^k → 0 ⇔ ρ(M) < 1 (I.5, réciproque admise), et « R symétrique positive : RX = 0 ⇔ X*RX = 0 » (II.6). La partie III utilise sans arrêt ces trois résultats : citez leur numéro sur la copie.

1^ère Partie : normes et convergence de (M^k)

1. N_∞ et N sont des normes

• Séparation : N_∞(A) = 0 ⇒ Σ_j|a_ij| = 0 pour tout i ⇒ A = 0 ; de même N(A) = 0 ⇒ tous les |a_ij| = 0.
• Homogénéité : |λa_ij| = |λ||a_ij|, donc N_∞(λA) = |λ|N_∞(A) et N(λA) = |λ|N(A).
• Inégalité triangulaire : Σ_j|a_ij + b_ij| ≤ Σ_j|a_ij| + Σ_j|b_ij| ≤ N_∞(A) + N_∞(B), puis on passe au max sur i. Même raisonnement pour N.

2. Sous-multiplicativité

• (a) |(AX)_i| = |Σ_j a_ijx_j| ≤ Σ_j|a_ij| ‖X‖_∞ ≤ N_∞(A)‖X‖_∞, d'où ‖AX‖_∞ ≤ N_∞(A)‖X‖_∞.
• (b) Σ_j|(AB)_ij| ≤ Σ_jΣ_k|a_ik||b_kj| = Σ_k|a_ik|(Σ_j|b_kj|) ≤ N_∞(B)Σ_k|a_ik| ≤ N_∞(A)N_∞(B). Donc N_∞(AB) ≤ N_∞(A)N_∞(B).
  Faux pour N : pour J la matrice dont tous les coefficients valent 1, N(J) = 1 mais J² = nJ, donc N(J²) = n > 1 = N(J)² (n ≥ 2).

3. Convergence des suites de matrices

• (a) N_∞(BA_kC − BAC) ≤ N_∞(B) N_∞(A_k − A) N_∞(C) → 0 (toutes les normes étant équivalentes, on peut travailler avec N_∞). Donc BA_kC → BAC.
• (b) Avec la norme N : N(A_k − A) = max_i,j|a_ij^(k) − a_ij|. Ce max tend vers 0 si et seulement si chacun des n² termes tend vers 0 : convergence ⇔ convergence coefficient par coefficient.
• (c) M = PDP⁻¹, D = diag(λ₁,…,λ_n), donc M^k = PD^kP⁻¹ et D^k = P⁻¹M^kP. Par (a), (M^k) converge ⇔ (D^k) converge ⇔ (par (b)) chaque (λ_i^k) converge. Or (λ^k) converge ⇔ |λ| < 1 ou λ = 1 (si |λ| > 1 la suite est non bornée ; si |λ| = 1, une limite L vérifierait L = λL avec |L| = 1, donc λ = 1). CNS : toute valeur propre λ de M vérifie |λ| < 1 ou λ = 1.

4. Le cas n = 2

• (a) T = αI₂ + βJ avec J = (0 1 ; 0 0), J² = 0 et αI, J commutent. Binôme : T^k = α^kI₂ + kα^k−1βJ = (α^k kα^k−1β ; 0 α^k).
  Si |α| < 1 : α^k → 0 et kα^k−1 → 0 (croissances comparées), donc T^k → 0. Si α = 1 : T^k = (1 kβ ; 0 1) converge ⇔ β = 0. Si |α| ≥ 1 et α ≠ 1 : (α^k) diverge (cf. 3.c), donc (T^k) diverge. D'où (T^k) converge ⇔ |α| < 1 ou (α = 1 et β = 0).
• (b) M non diagonalisable dans M₂(ℂ) : elle est trigonalisable, M = PTP⁻¹ avec T = (α β ; 0 α) (une seule valeur propre double α, sinon M serait diagonalisable) et β ≠ 0 (sinon M = αI₂). Par 3.a, (M^k) converge ⇔ (T^k) converge ⇔ |α| < 1 (le cas α = 1, β = 0 est exclu). Comme ρ(M) = |α| : (M^k) converge ⇔ ρ(M) < 1, et la limite est la matrice nulle (T^k → 0).
• (c) Si M est diagonalisable, la limite vaut P diag(lim λ_i^k) P⁻¹ ; elle est nulle ⇔ tous les |λ_i| < 1. Avec (b) : M^k → 0 ⇔ ρ(M) < 1.

5. Cas général : M^k → 0 ⇒ ρ(M) < 1

• (a) ‖M^kX‖_∞ ≤ N_∞(M^k)‖X‖_∞ → 0, donc M^kX → 0.
• (b) Soit λ ∈ Sp(M) avec |λ| = ρ(M) et X ≠ 0 un vecteur propre associé : M^kX = λ^kX → 0, donc λ^k → 0, c'est-à-dire |λ| < 1 : ρ(M) < 1. (La réciproque est admise pour la suite.)

2^ème Partie : matrices symétriques positives

1. C*SC

(C*SC)* = C*S*C = C*SC et X*(C*SC)X = (CX)*S(CX) ≥ 0 : C*SC est symétrique positive.

2. Matrices UU*

• (a) (UU*)* = UU* et X*UU*X = (U*X)² ≥ 0 (U*X est un réel) : symétrique positive.
• (b) UU*X = (U*X)U. Si U*X = 0, alors UU*X = 0. Réciproquement, UU*X = 0 ⇒ X*UU*X = (U*X)² = 0 ⇒ U*X = 0.
• (c) UU* = VV* ⇔ V = U ou V = −U. En effet, Tr(UU*) = ‖U‖², donc U = 0 ⇔ V = 0. Si U ≠ 0 : UU*U = ‖U‖²U = (V*U)V, donc V = cU ; alors c²UU* = UU* ≠ 0 donne c² = 1.

3. Exemple A = (4 2 0 ; 2 7 0 ; 0 0 a)

• (a) A est réelle symétrique : diagonalisable (théorème spectral). Le bloc (4 2 ; 2 7) a pour polynôme caractéristique λ² − 11λ + 24 = (λ − 3)(λ − 8). Sp(A) = {3, 8, a}.
• (b) λ = 3 : x = −2y, d'où U₁ = (1/√5)(2, −1, 0) ; λ = 8 : y = 2x, d'où U₂ = (1/√5)(1, 2, 0) ; λ = a : U₃ = (0, 0, 1). Ces vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux (même si a ∈ {3, 8}) : (U₁, U₂, U₃) est une base orthonormée de vecteurs propres.
• (c) Si P est la matrice orthogonale de colonnes U_i, A = P diag(λ_i) P* = Σλ_iU_iU_i*. Vérification : (3/5)(4 −2 ; −2 1) + (8/5)(1 2 ; 2 4) = (4 2 ; 2 7). λ₁U₁U₁* + λ₂U₂U₂* + λ₃U₃U₃* = A.
• (d) X*AX = 3(U₁*X)² + 8(U₂*X)² + a(U₃*X)². A positive ⇔ a ≥ 0 ; A définie positive ⇔ a > 0 (prendre X = U₃ pour la nécessité).

4. Décomposition spectrale

• (a) Théorème spectral : R = PDP* avec P orthogonale de colonnes ℰ₁,…,ℰ_n (base orthonormée) et D = diag(λ₁,…,λ_n). En développant le produit : R = Σ λ_iℰ_iℰ_i*.
• (b) Rℰ_j = Σλ_iℰ_i(ℰ_i*ℰ_j) = λ_jℰ_j : les λ_i sont les valeurs propres de R (avec multiplicité) et les ℰ_i des vecteurs propres associés.
• (c) X*RX = Σλ_i<ℰ_i, X>² : R positive ⇔ Sp(R) ⊂ ℝ₊ ; R définie positive ⇔ Sp(R) ⊂ ℝ₊* (prendre X = ℰ_i).

5. R = Σ U_iU_i*

⇐ : somme de matrices symétriques positives (2.a). ⇒ : écrire R = Σλ_iℰ_iℰ_i* avec λ_i ≥ 0 et poser U_i = √λ_i ℰ_i.

6. RX = 0 ⇔ X*RX = 0

Sens direct évident. Si X*RX = Σλ_i<ℰ_i, X>² = 0 avec λ_i ≥ 0, alors λ_i<ℰ_i, X> = 0 pour tout i, donc RX = Σλ_i<ℰ_i, X>ℰ_i = 0. Conséquence : R (symétrique positive) est définie positive ⇔ Ker R = {0} ⇔ R inversible ⇔ 0 ∉ Sp(R).

3^ème Partie : l'équation A − M*AM = B

A-1. φ est un endomorphisme

φ(λZ + Z') = λφ(Z) + φ(Z') (produit matriciel bilinéaire) et φ(Z) ∈ M_n(𝕂) : φ ∈ L(M_n(𝕂)).

A-2. Noyau

Z ∈ Ker φ ⇔ Z = M*ZM. Récurrence : si Z = (M*)^pZM^p, alors Z = (M*)^p(M*ZM)M^p = (M*)^p+1ZM^p+1.

A-3. Injectivité

• (a) det(M* − μI) = conj(det(M − μ̄I)) (transposition et conjugaison), donc Sp(M*) = {λ̄ ; λ ∈ Sp(M)} : mêmes modules, ρ(M*) = ρ(M).
• (b) ρ(M) = ρ(M*) < 1 ⇒ M^p → 0 et (M*)^p → 0 (réciproque admise de I.5). Pour Z ∈ Ker φ : N_∞(Z) ≤ N_∞((M*)^p)N_∞(Z)N_∞(M^p) → 0, donc Z = 0 : φ est injective.

A-4. Résolution et série

• (a) En dimension finie, un endomorphisme injectif est bijectif : il existe une unique A telle que φ(A) = B.
• (b) (M*)^kAM^k − (M*)^k+1AM^k+1 = (M*)^k(A − M*AM)M^k = (M*)^kBM^k. En sommant de k = 0 à p (somme télescopique) : A = (M*)^p+1AM^p+1 + Σ_k=0^p(M*)^kBM^k.
• (c) (M*)^p+1AM^p+1 → 0 (même majoration qu'en A-3.b), donc les sommes partielles tendent vers A : Σ_p≥0(M*)^pBM^p converge et vaut A.

B-1. Le cas S symétrique positive (𝕂 = ℝ)

• (a) En transposant Δ − M*ΔM = S : Δ* − M*Δ*M = S* = S. Par unicité (A-4.a), Δ* = Δ.
• (b) Δ = Σ_p(M*)^pSM^p (A-4.c), d'où X*ΔX = lim Σ_k≤p(M^kX)*S(M^kX), limite de sommes de réels ≥ 0 (II.1) : Δ est positive.
• (c) ΔX = 0 ⇔ X*ΔX = 0 (II.6) ⇔ (M^kX)*S(M^kX) = 0 pour tout k ∈ ℕ (somme de termes positifs) ⇔ SM^kX = 0 pour tout k ∈ ℕ (II.6 appliqué à S). Enfin, par Cayley-Hamilton, tout M^k (k ≥ n) est combinaison linéaire de I, M, …, Mⁿ⁻¹ ; il suffit donc de k ∈ {0, …, n−1}.

B-2. Le cas S = UU*

• (a) UU* est symétrique positive (II.2.a), donc par B-1.c : RX = 0 ⇔ UU*M^kX = 0 (0 ≤ k ≤ n−1) ⇔ U*M^kX = 0 (II.2.b) ⇔ <(M*)^kU, X> = 0 pour k = 0, …, n−1, car U*M^kX = ((M*)^kU)*X.
• (b) R est symétrique positive (B-1), donc R définie positive ⇔ Ker R = {0} (II.6) ⇔ le seul vecteur orthogonal à U, M*U, …, (M*)ⁿ⁻¹U est 0 ⇔ ces n vecteurs engendrent M_n,1(ℝ) ⇔ (U, M*U, …, (M*)ⁿ⁻¹U) est une base.

B-3. Matrice compagnon C (ρ(C) < 1)

• (a) i. C*E_k est la k-ième ligne de C écrite en colonne : C*E₁ = a₀E_n et C*E_k = E_k−1 + a_k−1E_n pour 2 ≤ k ≤ n.
• ii. p = 1 : C*E_n − E_n−1 = a_n−1E_n ∈ Vect(E_n). Hérédité (p ≤ n−2) : si (C*)^pE_n = E_n−p + V avec V ∈ Vect(E_n−p+1,…,E_n), alors (C*)^p+1E_n = C*E_n−p + C*V = E_n−p−1 + a_n−p−1E_n + C*V, et C*V ∈ Vect(E_n−p,…,E_n) d'après i. D'où (C*)^p+1E_n − E_n−p−1 ∈ Vect(E_n−p,…,E_n).
• iii. Dans la base (E_n, E_n−1, …, E₁), la famille (E_n, C*E_n, …, (C*)ⁿ⁻¹E_n) a une matrice triangulaire à diagonale de 1, donc inversible : c'est une base.
• (b) On applique B-2.b avec M = C (ρ(C) < 1) et U = E_n : Ω est définie positive.
• (c) Par iii, U = Σ_k=0ⁿ⁻¹q_k(C*)^kE_n = Q(C*)E_n = (Q(C))*E_n, avec Q = Σq_kX^k réel de degré ≤ n−1. Posons R' = Q(C)*ΩQ(C). Comme C commute avec Q(C) (et C* avec Q(C)*) : R' − C*R'C = Q(C)*(Ω − C*ΩC)Q(C) = Q(C)*E_nE_n*Q(C) = UU*. Par unicité (A-4.a), R = (Q(C))*ΩQ(C).
• (d) ⇐ : Δ − C*ΔC = Σ_iQ_i(C)*(Ω − C*ΩC)Q_i(C) = ΣU_iU_i* avec U_i = Q_i(C)*E_n : symétrique positive (II.5). ⇒ : S = Δ − C*ΔC est symétrique positive, donc S = Σ_i=1ⁿU_iU_i* (II.5). Soit R_i la solution de R_i − C*R_iC = U_iU_i* ; par (c), R_i = Q_i(C)*ΩQ_i(C). ΣR_i et Δ sont solutions de la même équation X − C*XC = S, donc par unicité Δ = Σ_i=1ⁿ(Q_i(C))*ΩQ_i(C).

💡 À réviser pour le CNC MP (Maths II) : normes matricielles subordonnées et équivalence des normes en dimension finie ; rayon spectral et convergence de (M^k) (diagonalisation, trigonalisation, réduction de Jordan en dimension 2) ; théorème spectral et caractérisation des matrices symétriques positives / définies positives par le spectre ; injectif ⇔ bijectif en dimension finie ; Cayley-Hamilton ; sommes télescopiques et séries de matrices ; matrice compagnon. Rédigez en citant chaque résultat antérieur utilisé : c'est explicitement noté.