Modèle de concours : CNC 2000 Mathématiques II (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC) d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines, filière MP, session 2000. Durée : 4 heures, calculatrice interdite ; l'énoncé (4 pages) ne précise pas de coefficient. C'est un problème d'algèbre linéaire en trois parties sur le crochet de Lie [u,v] = uv − vu et l'endomorphisme Φ_u : v ↦ [u,v] de L(E) (dim E = n ≥ 2, 𝕂 = ℝ ou ℂ) : image de Φ (les endomorphismes de trace nulle), trace et réduction de Φ_u, puis vecteurs propres de Φ_u associés à une valeur propre non nulle. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : trois outils reviennent sans cesse : Tr(uv) = Tr(vu) ; la base canonique (u_i,j) de L(E) (matrices élémentaires E_ij) avec u_i,ju_k,l = δ_jku_i,l ; et le lemme « si (x, u(x)) est liée pour tout x, u est une homothétie » (1^re partie, A-5). Notez aussi Φ_u = L_u − R_u où L_u : v ↦ uv et R_u : v ↦ vu commutent. On travaille en caractéristique 0, donc n·1 ≠ 0 et les kλ (k ∈ ℕ*) sont deux à deux distincts si λ ≠ 0.

1^re partie — A. Quelques propriétés de Φ_u

1. 𝒯 est un hyperplan

𝒯 = Ker Tr, et Tr est une forme linéaire non nulle (Tr(Id) = n ≠ 0). Donc 𝒯 est un hyperplan de L(E), dim 𝒯 = n² − 1.

2. Φ bilinéaire antisymétrique

La composition est bilinéaire, donc (u,v) ↦ uv et (u,v) ↦ vu le sont, et leur différence aussi. De plus [v,u] = vu − uv = −[u,v] : Φ est bilinéaire antisymétrique.

3. u non homothétie

• (a) u commute avec chacune de ses puissances, donc Φ_u(u^k) = 0 et, par linéarité, Vect(Id, u, …, uⁿ⁻¹) ⊂ Ker Φ_u. Comme u n'est pas une homothétie, (Id, u) est libre, d'où dim Ker Φ_u ≥ 2.
• (b) Si uv = vu et x ∈ E_u(λ) : u(v(x)) = v(u(x)) = λv(x), donc v(x) ∈ E_u(λ).

4. Image de Φ et de Φ_u

• Tr([u,v]) = Tr(uv) − Tr(vu) = 0, donc Im Φ ⊂ 𝒯 et a fortiori Im Φ_u ⊂ 𝒯.
• [u,v] = Id est impossible : Tr(Id) = n ≠ 0 alors que Tr[u,v] = 0.
• Im Φ_u = 𝒯 est impossible : si u est une homothétie, Φ_u = 0 et Im Φ_u = {0} ≠ 𝒯 ; sinon, par 3(a) et le théorème du rang, rg Φ_u = n² − dim Ker Φ_u ≤ n² − 2 < dim 𝒯.

5. Caractérisation des homothéties

• (a) Le sens direct est clair. Réciproquement, pour x ≠ 0, u(x) = λ_xx. Si (x,y) est libre : u(x+y) = λ_x+y(x+y) = λ_xx + λ_yy, d'où λ_x = λ_x+y = λ_y ; si y = cx, λ_y = λ_x directement. Donc λ_x est constant : u est une homothétie.
• (b) Si u = λId, u commute avec tout v : Ker Φ_u = L(E). Si u n'est pas une homothétie, (a) donne x avec (x, u(x)) libre ; on la complète en base et on définit v par v(x) = x, v(u(x)) = 0 (et v = 0 sur les autres vecteurs). Alors uv(x) = u(x) ≠ 0 = vu(x) : v ∉ Ker Φ_u. D'où Ker Φ_u = L(E) ⟺ u homothétie.

6. Puissances de Φ_u

• (a) Récurrence : vrai pour k = 0. Si c'est vrai au rang k, (Φ_u)^k+1(v) = u·(Φ_u)^k(v) − (Φ_u)^k(v)·u = Σ_p(−1)^pC_k^pu^k+1−pvu^p + Σ_p(−1)^p+1C_k^pu^k−pvu^p+1 ; en décalant l'indice dans la 2^e somme et avec C_k^p + C_k^p−1 = C_k+1^p, on obtient (Φ_u)^k+1(v) = Σ_p=0^k+1(−1)^pC_k+1^pu^k+1−pvu^p. (C'est la formule du binôme pour L_u − R_u, qui commutent.)
• (b) Si u^q = 0, prenons k = 2q − 1 : dans chaque terme, p ≥ q ou k − p ≥ q, donc u^k−pvu^p = 0. Ainsi (Φ_u)^2q−1 = 0 : Φ_u est nilpotent.

1^re partie — B. Image de Φ

u ≠ 0, Tr u = 0.

• 1. Si u = λId, Tr u = nλ = 0 donne λ = 0, donc u = 0 : contradiction. u n'est pas une homothétie.
• 2. Par A-5(a), il existe e₁ avec (e₁, u(e₁)) libre.
• 3. On pose e₂ = u(e₁) et on complète en base (e₁, …, e_n). La 1^re colonne de A est (0,1,0,…,0)^t : a₁₁ = 0, d'où A = (0, ^tX ; Y, A₁) avec Y = (1,0,…,0)^t ≠ 0 et, puisque Tr A = 0, Tr A₁ = 0.
• 4(a). U a au plus n − 1 valeurs propres et 𝕂 est infini : on choisit α ∉ Sp(U), alors U − αI_n−1 est inversible.
• 4(b). Par blocs : U'V' = (0, α^tR ; US, UV) et V'U' = (0, ^tRU ; αS, VU), donc U'V' − V'U' = (0, −^tR(U − αI) ; (U − αI)S, UV − VU). Comme A₁ = UV − VU et le coin (1,1) est nul des deux côtés, A = U'V' − V'U' ⟺ ^tX = −^tR(U − αI_n−1) et Y = (U − αI_n−1)S.
• 5. Récurrence sur n (propriété : toute matrice de trace nulle d'ordre n est un crochet). Pour n = 1, la seule matrice de trace nulle est 0 = [0,0]. Supposons-la vraie à l'ordre n − 1 et soit A de trace nulle d'ordre n. Si A = 0, A = [0,0]. Sinon on se place dans la base de B-3 : Tr A₁ = 0, donc A₁ = UV − VU par hypothèse ; on choisit α comme en 4(a) puis ^tR = −^tX(U − αI)⁻¹ et S = (U − αI)⁻¹Y. Par 4(b), A = U'V' − V'U'. Avec A-4 : Im Φ = 𝒯 (tout endomorphisme de trace nulle est un commutateur).

1^re partie — C. Trace de Φ_u

• 1. u_i,j a pour matrice E_ij dans ℬ ; l'application v ↦ Mat_ℬ(v) est un isomorphisme de L(E) sur M_n(𝕂) et (E_ij) est la base canonique : (u_i,j) est une base de L(E) (n² éléments).
• 2. u_i,ju_k,l(e_m) = δ_lmu_i,j(e_k) = δ_lmδ_jke_i, donc u_i,ju_k,l = δ_jku_i,l. Avec u = Σ_k,la_k,lu_k,l : uu_i,j = Σ_ka_k,iu_k,j et u_i,ju = Σ_la_j,lu_i,l, d'où Φ_u(u_i,j) = Σ_ka_k,iu_k,j − Σ_ka_j,ku_i,k.
• 3. La coordonnée de Φ_u(u_i,j) sur u_i,j est a_i,i (k = i dans la 1^re somme) moins a_j,j (k = j dans la 2^e). Donc Tr(Φ_u) = Σ_i,j(a_i,i − a_j,j) = nTr u − nTr u, soit Tr(Φ_u) = 0.

2^e partie — A. u diagonalisable

• 1(a). Sur e_k : uu_i,j(e_k) = δ_jkμ_ie_i et u_i,ju(e_k) = μ_kδ_jke_i = μ_jδ_jke_i, d'où Φ_u(u_i,j) = (μ_i − μ_j)u_i,j.
• 1(b). (u_i,j) est une base de vecteurs propres : Φ_u est diagonalisable et Sp(Φ_u) = {λ_i − λ_j, 1 ≤ i,j ≤ p}.
• 2. « ⊂ » : c'est A-3(b) de la 1^re partie. « ⊃ » : si v laisse stable chaque E_u(λ_i), pour x ∈ E_u(λ_i), uv(x) = λ_iv(x) = vu(x) ; comme E = ⊕E_u(λ_i), uv = vu. D'où Ker Φ_u = {v / v(E_u(λ_i)) ⊂ E_u(λ_i) ∀i}.
• 3. L'application v ↦ (v|_Eu(λ1), …, v|_Eu(λp)) (restrictions vues comme endomorphismes) est linéaire, injective car E = ⊕E_u(λ_i), surjective car on peut définir v bloc par bloc : Ker Φ_u ≅ Π L(E_u(λ_i)). Comme dim E_u(λ_i) = m_i (u diagonalisable), rg Φ_u = n² − Σ m_i².
• 4. Tous les m_i valent 1 : dim Ker Φ_u = n. π_u = Π(X − λ_i), de degré n, donc (Id, u, …, uⁿ⁻¹) est libre ; elle est contenue dans Ker Φ_u (1^re partie A-3a) et a n éléments : Ker Φ_u = Vect(Id, u, …, uⁿ⁻¹).

2^e partie — B. dim E = 2, u non homothétie

• 1. Par 1^re partie A-5(a), il existe e avec (e, u(e)) base de E. Si v commute avec u et v(e) = ae + bu(e), alors v(u(e)) = u(v(e)) = au(e) + bu²(e) : v et aId + bu coïncident sur la base (e, u(e)). Donc Ker Φ_u ⊂ Vect(Id, u), et l'inclusion inverse est claire : Ker Φ_u = Vect(Id, u).
• 2. rg Φ_u = 4 − 2 = 2, donc 0 est valeur propre de multiplicité géométrique 2, a fortiori algébrique ≥ 2 : χ_Φu = X²(X² + aX + β). La somme des racines (dans ℂ) vaut Tr Φ_u = 0 (1^re partie C-3), donc a = 0 : χ_Φu = X²(X² + β). (Pour information, β = 4det u − (Tr u)² : si u a deux valeurs propres λ₁, λ₂, les valeurs propres de Φ_u sont 0, 0, ±(λ₁ − λ₂).)
• 3. Si β = 0, Φ_u a pour seule valeur propre 0 ; diagonalisable, il serait nul, donc Ker Φ_u = L(E) et u serait une homothétie. Φ_u n'est pas diagonalisable.
• 4. β ≠ 0. Si 𝕂 = ℂ : racines 0 (double, sous-espace propre de dimension 2) et ±√(−β), simples et non nulles : Φ_u est diagonalisable. Si 𝕂 = ℝ : si β < 0, même conclusion (racines réelles ±√(−β)) ; si β > 0, χ n'est pas scindé sur ℝ : Φ_u n'est pas diagonalisable. Bilan : diagonalisable ⟺ β ≠ 0 et −β est un carré dans 𝕂.
• 5(a). Par 3 et 4, β ≠ 0 et −β = λ² avec λ ∈ 𝕂*, d'où Sp(Φ_u) = {0, λ, −λ}.
• 5(b). uv − vu = λv. Si v était inversible, v⁻¹uv − u = λId, et en prenant la trace 0 = 2λ : absurde. v n'est pas inversible. Ensuite λTr(v) = Tr(Φ_u(v)) = 0 (Im Φ ⊂ 𝒯), donc Tr v = 0. Cayley-Hamilton en dimension 2 : v² − (Tr v)v + (det v)Id = 0 avec Tr v = det v = 0, donc v² = 0.
• 5(c). v ≠ 0 et v² = 0, donc rg v = 1 et Im v = Ker v. (e, v(e)) est une base ⟺ e ∉ Ker v (si v(e) ≠ 0 et v(e) = ce, alors 0 = v²(e) = c²e donne c = 0, contradiction). Posons u(e) = ae + bv(e). Alors u(v(e)) = v(u(e)) + λv(e) = av(e) + bv²(e) + λv(e) = (a + λ)v(e). Matrice de u : (a, 0 ; b, a + λ), triangulaire inférieure. Tr u = 2a + λ donne Sp(u) = {(Tr u − λ)/2, (Tr u + λ)/2} : deux valeurs propres distinctes (λ ≠ 0) en dimension 2, donc u est diagonalisable.
• 5(d). Pour x ∈ Ker v : v(u(x)) = u(v(x)) − λv(x) = 0, donc Ker v (droite) est stable par u : c'est la droite propre Vect(v(e)) associée à (Tr u + λ)/2. Le même calcul avec w (valeur propre −λ) montre que Ker w est la droite propre associée à (Tr u − λ)/2. Ces deux valeurs propres sont distinctes, donc Ker v ∩ Ker w = {0} et, par dimension, E = Ker v ⊕ Ker w, somme de deux droites propres : u est diagonalisable.

2^e partie — C. Φ_u diagonalisable

• 1. uv_i = v_iu + β_iv_i, donc u(v_i(x)) = (λ + β_i)v_i(x).
• 2. Ψ est clairement linéaire. Pour y ∈ E, on complète x (≠ 0) en base et on définit v par v(x) = y : Ψ(v) = y. Ψ est surjective.
• 3. E = Ψ(L(E)) = Vect(v₁(x), …, v_n²(x)), et chaque v_i(x) non nul est vecteur propre de u (question 1). E est engendré par des vecteurs propres de u, donc u est diagonalisable. (L'hypothèse Sp(u) ≠ ∅ sert à disposer de x ; elle est automatique sur ℂ.)

3^e partie — valeur propre non nulle de Φ_u

On a uv − vu = λv avec λ ≠ 0 et v ≠ 0.

• 1(a). v(u − xId) = vu − xv = uv − λv − xv = (u − (x + λ)Id)v.
• 1(b). Si det v ≠ 0, en prenant les déterminants : P_u(x) = P_u(x + λ) pour tout x ∈ 𝕂. Alors, 𝕂 étant infini, P_u(X + λ) = P_u(X) ; si z est une racine complexe de P_u, z + kλ l'est pour tout k ∈ ℕ, ce qui donne une infinité de racines à un polynôme de degré n ≥ 1 : impossible.
• 1(c). Donc v n'est pas inversible.
• 2. Récurrence : Φ_u(v^k+1) = (uv − vu)v^k + v(uv^k − v^ku) = λv^k+1 + kλv^k+1, d'où Φ_u(v^k) = kλv^k. Si v^p ≠ 0, pλ est valeur propre de Φ_u (de vecteur propre v^p).
• 3. Si aucune puissance de v n'était nulle, les kλ (k ∈ ℕ*), deux à deux distincts, seraient tous valeurs propres de Φ_u, qui en a au plus n². Donc v est nilpotent.
• 4(a). v commute avec v^p, donc Im v^p est stable par v. Par 2, uv^p = v^pu + pλv^p, donc u(v^p(y)) = v^p(u(y) + pλy) ∈ Im v^p : Im v^p est stable par u et v.
• 4(b). Sur F = Im v^p, Im v₁ = Im v^p+1 et Ker v₁ = Ker v ∩ F, de dimension ≤ 1. On montre par récurrence dim Im v^p = n − p pour 0 ≤ p ≤ n : vrai pour p = 0 et p = 1 (théorème du rang, dim Ker v = 1). Si dim F = n − p ≥ 1 (p ≤ n − 1), v₁ n'est pas inversible : soit parce que v₁ est nilpotent, soit, comme le suggère l'énoncé, parce que u₁v₁ − v₁u₁ = λv₁ et l'argument de 1(b)/1(c) appliqué dans F. Donc dim Ker v₁ = 1 et le théorème du rang pour v₁ donne dim Im v^p = 1 + dim Im v^p+1.
• 4(c). Ainsi dim Im vⁿ⁻¹ = 1 et dim Im vⁿ = 0 : vⁿ⁻¹ ≠ 0 et vⁿ = 0.
• 5. Si Σc_kv^k(e) = 0 avec un c_k non nul d'indice minimal k₀, on applique v^n−1−k₀ : c_k0vⁿ⁻¹(e) = 0, contradiction. La famille, libre et de cardinal n, est une base. Mat_ℬ(v) = N, matrice avec des 1 sur la sous-diagonale (N_k+1,k = 1) et des 0 ailleurs.
• 6(a). On définit w₀ par w₀(v^k(e)) = kλv^k(e). Pour k ≤ n − 2 : (w₀v − vw₀)(v^k(e)) = (k + 1)λv^k+1(e) − kλv^k+1(e) = λv(v^k(e)) ; pour k = n − 1, les deux membres sont nuls. Donc w₀ ∈ 𝒜, Mat_ℬ(w₀) = diag(0, λ, …, (n − 1)λ).
• 6(b). w ∈ 𝒜 ⟺ (w − w₀)v = v(w − w₀). Donc 𝒜 = w₀ + C(v), sous-espace affine de direction le commutant C(v) = Ker Φ_v.
• 6(c). Si w commute avec v, écrivons w(e) = Σc_kv^k(e) = P(v)(e) ; alors w(v^j(e)) = v^j(w(e)) = P(v)(v^j(e)), donc w = P(v). La famille (Id, v, …, vⁿ⁻¹) est libre (évaluer en e). C(v) = Vect(Id, v, …, vⁿ⁻¹), de dimension n, de base (Id, v, …, vⁿ⁻¹).
• 7. uv − vu = λv signifie u ∈ 𝒜, donc u = w₀ + Σ_k=0ⁿ⁻¹c_kv^k et Mat_ℬ(u) = diag(0, λ, …, (n − 1)λ) + c₀I_n + c₁N + … + c_n−1Nⁿ⁻¹ : matrice triangulaire inférieure, de diagonale c₀, c₀ + λ, …, c₀ + (n − 1)λ, et constante (c_k) le long de la k-ième sous-diagonale. En particulier u a n valeurs propres distinctes : il est diagonalisable.
• 8. Dans ℬ' = (f₁, …, f_n), μ_i = α + (i − 1)λ, et par 2^e partie A-1 : Φ_u(u_i,j) = (i − j)λu_i,j. Comme (u_i,j) est une base propre, E_Φu(λ) = Vect(u_i+1,i, 1 ≤ i ≤ n − 1) : ce sont les endomorphismes dont la matrice dans ℬ' n'a de coefficients non nuls que sur la première sous-diagonale (positions (i + 1, i)), et dim E_Φu(λ) = n − 1.

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : trace et commutateurs (Tr[u,v] = 0, tout endomorphisme de trace nulle est un commutateur), base canonique E_ij et règle E_ijE_kl = δ_jkE_il, caractérisation des homothéties, réduction (polynôme minimal, diagonalisabilité et scindage selon 𝕂 = ℝ ou ℂ), endomorphismes nilpotents d'indice n et base cyclique (e, v(e), …, vⁿ⁻¹(e)), commutant d'un endomorphisme cyclique = polynômes en v. Sur ce type de problème, rédigez proprement les récurrences et citez toujours la question utilisée (« d'après 1^re partie A-3(b) »), comme le demande l'énoncé.