Modèle de concours : CNC 2019 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2019, filière MP, commun aux écoles d'ingénieurs marocaines (classes préparatoires). L'énoncé fait 4 pages ; tout matériel électronique, calculatrice comprise, est interdit. Le type est mixte : un exercice de probabilités noté sur 4 points (intégrales de Gauss, loi de Rayleigh et loi exponentielle) et un problème sur les séries de Fourier (noyau de Dirichlet, lemme de Lebesgue, théorème de Dirichlet) appliquées à l'équation aux dérivées partielles ∂²v/∂x² + i ∂v/∂t = 0. Les deux parties sont indépendantes. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : l'exercice rapporte 4 points pour un effort court. Traitez-le en premier, en soignant la relation I_n+2 = (n+1)I_n. Dans le problème, la partie 1 relève du cours. La clé des parties 2 et 3 est la majoration |c_n| ≤ ‖f''‖_∞/n², puis les théorèmes de dérivation terme à terme d'une série de fonctions : énoncez-les avec leurs hypothèses (convergence normale des séries dérivées).

Exercice : un peu de probabilité

1. Intégrabilité de g_n sur [0,+∞[

g_n est continue, et x²g_n(x) = xⁿ⁺²e^−x²/2 → 0 en +∞ (croissances comparées). Donc g_n(x) = o(1/x²), et g_n est intégrable sur [0,+∞[ par comparaison à une intégrale de Riemann convergente.

2.1. Relation de récurrence

On intègre par parties avec u = xⁿ⁺¹ et v' = x e^−x²/2, v = −e^−x²/2 :
I_n+2(a) = −aⁿ⁺¹e^−a²/2 + (n+1)I_n(a). Quand a → +∞, le crochet tend vers 0, d'où I_n+2 = (n+1)I_n.

2.2. I₀

La densité de N(0,1) vérifie ∫_ℝ e^−x²/2/√(2π) dx = 1. La fonction est paire, donc ∫₀^+∞ e^−x²/2dx = √(2π)/2, soit I₀ = √(π/2).

2.3. I₁, I_2n et I_2n+1

I₁ = [−e^−x²/2]₀^+∞ = 1. Par récurrence, avec 2.1 :
I_2n = (2n−1)(2n−3)…3·1·I₀ = (2n)!/(2·4…2n) I₀, donc I_2n = √(π/2)·(2n)!/(2ⁿn!) ;
I_2n+1 = (2n)(2n−2)…2·I₁, donc I_2n+1 = 2ⁿn!.
Pour l'hérédité : I_2n+2 = (2n+1)I_2n = √(π/2)(2n+2)!/(2ⁿ⁺¹(n+1)!) en multipliant par (2n+2)/(2(n+1)) = 1 ; de même I_2n+3 = (2n+2)2ⁿn! = 2ⁿ⁺¹(n+1)!.

3.1. g est une densité

g est positive et continue sur ℝ (g₁(0) = 0), et ∫_ℝ g = I₁ = 1 : g est une densité de probabilité (loi de Rayleigh de paramètre 1).

3.2. Espérance et variance de X

x ↦ x g(x) = g₂(x) et x ↦ x²g(x) = g₃(x) sont intégrables sur [0,+∞[ (question 1), donc X admet un moment d'ordre 2. E(X) = I₂ = I₀ = √(π/2) ; E(X²) = I₃ = 2, d'où V(X) = 2 − π/2 (positif, car π < 4).

3.3. Loi de Y = X²

Pour y ≥ 0 : F(y) = ∫₀^y t e^−t²/2dt = 1 − e^−y²/2 ; F(y) = 0 pour y ≤ 0. Si x < 0, G(x) = P(X² ≤ x) = 0. Si x ≥ 0, G(x) = P(−√x ≤ X ≤ √x) = F(√x) − F(−√x) = F(√x) = 1 − e^−x/2. G est continue sur ℝ et C¹ sauf en 0, donc Y est à densité, de densité x ↦ ½e^−x/2 sur ]0,+∞[ (0 ailleurs). Y suit la loi exponentielle de paramètre 1/2, avec E(Y) = 2 et V(Y) = 4. On retrouve E(Y) = E(X²) = I₃ = 2.

Problème, partie 1 : résultats préliminaires

1.1. Noyau de Dirichlet

• 1.1.1. Le changement d'indice k → −k donne D_n(−θ) = D_n(θ) : D_n est paire. De plus e^ik(θ+2π) = e^ikθ : D_n est 2π-périodique. On note aussi que D_n(θ) = 1 + 2Σ_k=1ⁿ cos kθ est réel.
• 1.1.2. (1/2π)∫_−π^π e^iktdt vaut 1 si k = 0 et 0 sinon ; par linéarité, (1/2π)∫D_n = 1.
• 1.1.3. Si θ ∈ 2πℤ, tous les termes valent 1 : D_n(θ) = 2n+1. Sinon e^iθ ≠ 1 et, par somme géométrique, D_n(θ) = e^−inθ(e^i(2n+1)θ − 1)/(e^iθ − 1). Avec l'angle moitié, e^iφ − 1 = 2i e^iφ/2 sin(φ/2), d'où D_n(θ) = e^−inθe^i(2n+1)θ/2e^−iθ/2 sin((2n+1)θ/2)/sin(θ/2) = sin((2n+1)θ/2)/sin(θ/2).

1.2. Fonctions continues 2π-périodiques

• 1.2.1. f est continue sur le segment [0,2π], donc bornée sur ce segment ; par périodicité, f(ℝ) = f([0,2π]). f est bornée sur ℝ.
• 1.2.2. Φ(a) = ∫_a−π^a+π g est dérivable, et Φ'(a) = g(a+π) − g(a−π) = 0 par 2π-périodicité. Donc Φ(a) = Φ(0) = ∫_−π^π g.

1.3. Lemme de Lebesgue

• 1.3.1. Si h = c, J_n(h) = (2c/(2n+1))[cos((2n+1)a/2) − cos((2n+1)b/2)], donc |J_n(h)| ≤ 4|c|/(2n+1) → 0.
• 1.3.2. Soit a = x₀ < … < x_m = b une subdivision adaptée à h en escalier, constante égale à c_i sur ]x_i, x_i+1[. Les valeurs aux points x_i ne changent pas l'intégrale, donc J_n(h) = Σ_i ∫_xi^x_i+1 c_i sin((2n+1)t/2)dt. C'est une somme finie de termes qui tendent vers 0 (1.3.1) : J_n(h) → 0.
• 1.3.3. Résultat d'approximation : toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme de fonctions en escalier. Pour ε > 0, on choisit φ en escalier avec ‖h − φ‖_∞ ≤ ε. Alors |J_n(h)| ≤ (b−a)ε + |J_n(φ)|, d'où lim sup |J_n(h)| ≤ (b−a)ε pour tout ε : J_n(h) → 0.

Partie 2 : convergence de la série de Fourier

2.1. Coefficients de Fourier

• 2.1.1. |c_n(f)| ≤ (1/2π)∫_−π^π|f| ≤ ‖f‖_∞, fini d'après 1.2.1 : la famille est bornée.
• 2.1.2. Par parties : c_n(f') = (1/2π)[f(t)e^−int]_−π^π + (in/2π)∫f(t)e^−intdt. Le crochet vaut (−1)ⁿ(f(π) − f(−π)) = 0 par périodicité. Donc c_n(f') = in c_n(f).
• 2.1.3. On applique 2.1.2 à f', de classe C¹ et 2π-périodique : c_n(f'') = in c_n(f') = −n²c_n(f).

2.2. Cas f ∈ C²

• 2.2.1. Pour n ≠ 0 : |c_n(f)| = |c_n(f'')|/n² ≤ ‖f''‖_∞/n², et Σ1/n² converge. (c_n(f)) est sommable.
• 2.2.2. ‖u_n(f)‖_∞ ≤ |c_n(f)| + |c_−n(f)|, terme général d'une série convergente : convergence normale sur ℝ.

2.3. Théorème de Dirichlet (f ∈ C¹)

• 2.3.1. En regroupant, S_n(f)(x) = Σ_k=−nⁿ c_k(f)e^ikx = (1/2π)∫f(t)Σ_ke^ik(x−t)dt = (1/2π)∫_−π^π f(t)D_n(x−t)dt (somme finie, linéarité de l'intégrale).
• 2.3.2. Avec s = x − t : S_n(f)(x) = (1/2π)∫_x−π^x+π f(x−s)D_n(s)ds. L'intégrande est 2π-périodique en s, et 1.2.2 donne (1/2π)∫_−π^π f(x−t)D_n(t)dt.
• 2.3.3. Par 1.1.2, f(x) = (1/2π)∫f(x)D_n(t)dt. On soustrait, puis on remplace D_n(t) par sin((2n+1)t/2)/sin(t/2) pour t ≠ 0 (1.1.3 ; un point ne change pas l'intégrale). On obtient la formule demandée.
• 2.3.4. Sur [−π,π] \ {0}, sin(t/2) ≠ 0, donc g_x y est continue. En 0 : g_x(t) = [(f(x−t) − f(x))/t]·[t/sin(t/2)] → (−f'(x))·2 = −2f'(x) = g_x(0). g_x est continue sur [−π,π]. Alors S_n(f)(x) − f(x) = (1/2π)J_n(g_x) sur [a,b] = [−π,π], qui tend vers 0 par le lemme de Lebesgue (1.3.3) : S_n(f)(x) → f(x).

2.4.

f ∈ C² ⊂ C¹ : la série Σu_n(f) converge normalement (2.2.2), et ses sommes partielles S_n(f)(x) tendent vers f(x) (2.3.4). Donc Σ u_n(f) = f sur ℝ, avec convergence normale.

Partie 3 : application à l'équation aux dérivées partielles

3.1. Sommabilité

• 3.1.1. Cauchy-Schwarz sur une partie finie de ℤ* : Σ n²|a_n| = Σ (|n|³|a_n|)(1/|n|) ≤ (Σ n⁶a_n²)^1/2(Σ_n≠0 1/n²)^1/2, et Σ_n≠0 1/n² = 2Σ_n≥1 1/n². Le terme n = 0 est nul. Les sommes partielles sont bornées, donc (n²a_n) est sommable, avec l'inégalité annoncée (facteur √2).
• 3.1.2. Pour n ≠ 0 : |a_n| ≤ n²|a_n| et |na_n| ≤ n²|a_n| ; le seul terme a₀ ne gêne pas. (a_n) et (na_n) sont sommables.

3.2. Construction de f

• 3.2.1. ‖f_n‖_∞ ≤ |a_n| + |a_−n|, sommable : convergence normale sur ℝ.
• 3.2.2. Les f_n sont continues et 2π-périodiques ; une limite uniforme de fonctions continues est continue, et la périodicité passe à la limite simple. f est continue et 2π-périodique.
• 3.2.3. La convergence est uniforme sur [−π,π] et |e^−inx| = 1, donc on peut intégrer terme à terme. Or ∫_−π^π e^i(k−n)xdx = 2π si k = n, et 0 sinon. D'où ∫_−π^π f(x)e^−inxdx = 2π a_n, c'est-à-dire c_n(f) = a_n.
• 3.2.4. f_n' = in(a_ne^inx − a_−ne^−inx) et f_n'' = −n²f_n, d'où ‖f_n'‖_∞ ≤ |n|(|a_n| + |a_−n|) et ‖f_n''‖_∞ ≤ n²(|a_n| + |a_−n|), sommables par 3.1. Les séries Σf_n' et Σf_n'' convergent normalement, et Σf_n converge simplement : par le théorème de dérivation terme à terme (appliqué deux fois), f est de classe C², avec f'' = Σf_n''.

3.3. Existence d'une solution

• 3.3.1. |w_n(x,t)| = |f_n(x)| car |e^−in²t| = 1 (t réel), donc sup_ℝ²|w_n| ≤ |a_n| + |a_−n| : convergence normale sur ℝ².
• 3.3.2. Les w_n sont continues sur ℝ², donc la limite uniforme w l'est aussi. Chaque x ↦ w_n(x,t) est 2π-périodique, donc x ↦ w(x,t) est 2π-périodique.
• 3.3.3. ∂w_n/∂t(x,t) = −in²f_n(x)e^−in²t, continue et de norme ≤ n²(|a_n| + |a_−n|), sommable. À x fixé, on dérive terme à terme en t (convergence normale de la série des dérivées) : ∂w/∂t(x,t) = Σ_n≥0 −in² f_n(x)e^−in²t. Cette série converge normalement sur ℝ², donc sa somme est continue sur ℝ².
• 3.3.4. De même, à t fixé : ∂w/∂x = Σ f_n'(x)e^−in²t (norme ≤ |n|(|a_n| + |a_−n|)) et ∂²w/∂x² = Σ f_n''(x)e^−in²t = Σ −n² f_n(x)e^−in²t (norme ≤ n²(|a_n| + |a_−n|)). Ces séries convergent normalement sur ℝ², donc les dérivées partielles sont continues sur ℝ².
• 3.3.5. ∂²w/∂x² + i∂w/∂t = Σ(−n² + i·(−in²)) f_n(x)e^−in²t = Σ(−n² + n²)(…) = 0, et w(x,0) = Σf_n(x) = f(x). Avec 3.3.2 à 3.3.4, w est solution du problème.

3.4. Unicité

• 3.4.1. L'équation donne ∂v/∂t = i ∂²v/∂x². ∂v/∂t est continue sur ℝ², donc sur [−π,π] × [c,d] : le théorème de dérivation sous le signe ∫ (intégrale sur un segment) montre que b_n est C¹, avec b_n'(t) = (1/2π)∫∂v/∂t(x,t)e^−inxdx = i c_n(∂²v/∂x²(·,t)). Or x ↦ v(x,t) est C² et 2π-périodique, donc par 2.1.3 cela vaut i(−n²)b_n(t) : b_n' + in²b_n = 0.
• 3.4.2. b_n(0) = c_n(f) = a_n (3.2.3). L'équation linéaire d'ordre 1 donne b_n(t) = a_ne^−in²t.
• 3.4.3. v_n(x,t) = a_ne^−in²te^inx + a_−ne^−in²te^−inx = f_n(x)e^−in²t = w_n(x,t), donc la convergence normale découle de 3.3.1. Pour t fixé, x ↦ v(x,t) est dans C²_2π, et ses coefficients de Fourier sont les b_n(t). Par 2.4, elle est somme de sa série de Fourier : v(x,t) = Σv_n(x,t) = Σf_n(x)e^−in²t = w(x,t). La solution est unique.

💡 À réviser pour le CNC MP : intégrales de Gauss et IPP sur un intervalle non borné ; lois à densité (fonction de répartition de X², loi exponentielle, moments) ; séries de Fourier (coefficients des dérivées, noyau de Dirichlet, lemme de Riemann-Lebesgue, théorème de Dirichlet, convergence normale) ; familles sommables et Cauchy-Schwarz ; théorèmes de continuité et de dérivation terme à terme d'une série de fonctions ; dérivation sous le signe intégrale. Rappelez à chaque étape la référence de la question utilisée : le barème le demande explicitement.