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Modèle de concours : CNC 2017 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

🏢 Concours National Commun (CNC) — CPGE 👤 Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs 🎯 Mathématiques I 📅 2017 👁️ 31 vues

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En bref

Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE (2017), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.

Organisme
Concours National Commun (CNC) — CPGE
Grade
Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs
Spécialité
Mathématiques I
Année
2017
Pages
5
Langue des questions
français
Correction
correction proposée disponible sur cette page
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Sujet officiel de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2017 d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs et assimilés, pour les élèves des classes préparatoires (CPGE) de la filière MP. Ce modèle contient les 5 pages de l'énoncé original. Les autres épreuves et sessions du CNC sont aussi disponibles sur le site.

📄 Pages du modèle (5)

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📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)

Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de la Formation Professionnelle, de l'Enseignement

Supérieur et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun

Institut National de Statistique et d'Économie Appliquée

CONCOURS NATIONAL COMMUN

d'admission aux Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés

Session 2017

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de tout type de calculatrice est interdit

page de garde

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Concours National Commun — Session 2017 — Filière MP

L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit.

Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté
et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il
est amené à prendre.

Le sujet de cette épreuve est composé d’un exercice et de deux problèmes indépendants
entre eux.

Durée : 4 heures

Exercice
Calcul de la somme de la série de Riemann ‏نج‎ À
nz1
1. Montrer que pour tou k € N*, Jo 2 — x) cos(kr)dz = ٠
2. Soit x €]0, 7]
‎a) Montrer que pour tout nE N*, € 1-2 = TinfÉ 2-0

sin(Z2) cos =
sin(5)

b) En déduire que pour tout n 6 N*, © cos(kx) =
k=1

3. Soit › une pu réelle de classe 01 sur ]0,7[. Montrer à l’aide d’une intégration par parties
que lim Jo" (x) sin(mæ)dz = 0.

4. Soit ‏و‎ la fonction réelle définie sur [0, 7] par 22 2 ‏ا‎ 5 six €]0, w] ;

Montrer que g est de classe 01 sur [0, |.

11 2 SNS
5. a) Montrer que pour tout ne N*, Ÿ 5 = 5 + fg 9(x)sin( ‏دو الويف‎
k=1

+6 2

1 1

b) Justifier la convergence de la série ›= ‏و‎ et montrer que › da

6. Pour tout réel x › 0, on pose ÿ(x) = ‏زج‎ RT+2n7)
n=l Ë
a) Montrer que pour tout réel x › 0, ÿ(x) est bien définie.
b) Justifier l’existence de la limite, quand x tend vers +oo, de p(x) et déterminer sa valeur.
Problème 1

On désigne par R* l’ensemble des réels positifs et par 10*77 l’ensemble des réels strictement positifs.
Dans tout le problème, on note l’ensemble des fonctions f : R* — R, continues, telles que, pour tout
entier n › 0, pour tout réel x › 0, la fonction t + f(t)e7"*" soit intégrable sur R*. Pour tout entier
n › 0 et pour tout f dans ‏,بك‎ on note M,(f), la fonction définie sur R** par :

وس و0 ]ل ‎VreR*+, Nalf)(æ‏

Soit 7 un entier naturel non nul et soit f une fonction k fois dérivable sur 107, on note 100 = f et
fl) = {fée-Ly désigne la dérivée k°”° de f. Dans toute la suite, n désigne un entier naturel non nul.

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Concours National Commun — Session 2017 — Filière MP

Partie I
Exemples

1. Soit œ un réel positif, on considère la fonction pa : 187 — R, telle que pour tout t € R*,
Palt) = ‏.تن‎ Démontrer que ‏وم‎ est un élément de 2 et déterminer Mn (Pa)-
2. Soit w un réel positif, on considère les deux fonctions C et ‏,ري‎ telles que pour tout réel + positif,
a) Démontrer que C est un élément de 2 et déterminer M, (C).
b) Démontrer que S est un élément de et déterminer M,(S).

Partie IT

Comportements asymptotiques
Dans cette partie, f désigne un élément de ‏ذل‎

1. On suppose que f est une fonction bornée sur R*.
a) Déterminer la limite de M,(f)(x) quand x tend vers +oo.
b) Montrer que, si de plus f est de classe 01 sur R* et f' est bornée sur R*, alors

2. On suppose que lim f(t) = ‏,ا‎ où € est un réel.

a) Montrer que f est une fonction bornée sur R*.
b) i) Montrer que, pour tout x € R**+, M2 (f)(æ) = fi ° f(E)e—""dt.
ii) En déduire lim NM (F)(æ).

3. On suppose que f est intégrable sur 187 et on considère la suite (gn)n=o définie comme suit :
77 € N°, gn = Na. (F)( ax ). Déterminer la limite de la suite (gn)n›0-

Partie III
Quelques propriétés de M,

. Soient f un élément ‏عل‎ Æ et m un entier naturel, on considère la fonction ‏.مع‎ définie sur 187 par

5 | 8

a) Pour x › 0, justifier qu’il existe B › 0 tel que pour tout t › B, 2006002 › ‏م‎
‎b) En déduire que ‏مو‎ est un élément de 2.
2. a) Démontrer que pour tout élément f de Æ, la fonction M,(f) est de classe 01 sur R** et que
l’on a (Ma(f))" = —nM (91) où ‏رو‎ est la fonction définie dans la Partie III question 1.

b) Plus généralement, démontrer que pour tout élément f de Ÿ, la fonction M,(f) est de classe
C® sur R*+ et déterminer pour tout k € N (Ma(f))#) en fonction de Nn (97), OÙ ‏يرو‎ est la
fonction définie dans la Partie III question 1.

3. Soit f une fonction de classe 01 et bornée sur R* telle que f' soit dans Ÿ.

a) Montrer que pour tout r € R**,

b) Montrer que si de plus, f est de classe C? sur R* et f" est bornée sur R* et f" est un élément
de ‏رك‎ alors pour tout x € R**+,

4. Montrer que pour tout k € N*, si f est de classe C* sur R* et pour tout j €EN,0 › 7 ‹k—1,
F4) est bornée sur R*+ et f*) est un élément de Æ, alors pour tout x € R**+,

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Concours National Commun — Session 2017 — Filière MP

Partie IV
Injectivité de M,

1. Soit h une fonction réelle continue sur [0, 1] telle que, pour tout m 6 N, fi t"h{t)dt = 0.

a) Montrer que pour tout polynôme P à coefficients réels, f} P(t)h(t)dt = 0.
b) En déduire que h est la fonction nulle.

2. Soit f un élément de ‏رض‎ on pose pour tout + › 0, hp (t) = Ë e—"“* f(u)du.

a) Montrer que pour tout entier ‏م‎ › 0, M, (f)(1 + k) = nkA{, (hn)(Kk).
b) On suppose que pour tout entier k › 0, M,(f)(1 + k) = 0.

عنصا _

i) Montrer que pour tout entier k › 0, fi uFhn( ;

ii) En déduire que h, est la fonction nulle.

)du converge et vaut 0.

3. Montrer que l’application A, définie sur est injective.

Partie V
Application au calcul de l’intégrale de Dirichlet

Soit w un réel strictement positif, on considère la fonction ‏و‎ définie par g(0) = w et pour tout + › 0,
g(t) = $2# et soit © la fonction définie sur R* par G(x) = ]/ 9(t)dt.

1. Montrer que G admet une limite réelle € en +oo.
2. a) Montrer que pour tout x € R**, M,(9)(x) = 5 — arctan((Z)x), (vous pouvez utiliser les
questions de la Partie III, 2. a) et de la Partie II, 1. a).

b) i) Montrer que pour tout x € R°*, M2 (9)(x) = nxM,(G)(æ).
ii) En déduire la valeur de f°% 8H dt.

Partie VI

Application à la résolution des équations différentielles

Soit m un entier naturel non nul, on considère l’équation différentielle linéaire d’ordre m, à
coefficients constants :

avec les conditions initiales : y(0) = yo, y°(0) = y1,,y("-9(0) = ‏بولا‎
‎avec (ao, ‏...بده‎ Am) € 1071, ao # 0, (Yo, ‏.با‎ - , Ym—1) € R* et f € L. On voudrait trouver la
solution y = y(t) pour t › 0 de (EF).

1. Montrer que si y est une solution de (Æ) alors y vérifie une équation algébrique de la forme
NMa(y)(x) = feu + Ie ; OÙ Onm ESt un polynôme à coefficients réels de degré m et
1 ‏لبن نض‎ n,m\t ,
Un,m—1 est un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à m — 1.

2. Résoudre, en utilisant M, l’équation différentielle y" + ‏اربق‎ +2y = 2e", avec les conditions
initiales suivantes : y(0) = 1 et y'(0) = 2.
3. Résoudre, en utilisant A5, l’équation différentielle y” + dy" + 3y = sint, avec les conditions
initiales suivantes : y(0) = 1 et y°(0) = —3.
‏ع4 = ون + إن - 4+ لا‎
4. Résoudre le système différentiel suivant : (S) ‏1لا‎ + 245 + 3y1 + ya = Scost

Problème 2

Soit (Q, A, P) un espace probabilisé, on appelle fonction génératrice d’une variable aléatoire réelle X à

‎valeurs dans N, lorsqu'elle existe, la fonction Gx définie par : Gx(t) = E(t*) = D #P(X = k).
k=0

Épreuve de Mathématiques I Page 3/4

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Concours National Commun — Session 2017 — Filière MP

Partie I

Quelques propriétés de la fonction génératrice et quelques exemples
1. Montrer que la fonction génératrice Gx est au moins définie sur l'intervalle [-1,1].

2. Montrer que pour tout k € N, ‏ا‎ (0) = k!P(X = (٠
3. Donner l'expression de Gx, en précisant le domaine de définition, dans chaque cas suivant :

a) X suit la loi de Bernoulli de paramètre ‏,م‎ notée B(p), où p € [0, 1].
b) X suit la loi binomiale de paramètre n, p, notée B(n,p), où n € N*, p € [0,1].
c) X suit la loi géométrique de paramètre ‏,م‎ notée G(p), où p 0,1]
4. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance si, et seulement si, Gx est dérivable en
1 et dans ce cas Gy (1) = E(X).
5. Montrer que la variable aléatoire X admet un moment d'ordre 2 si, et seulement si, Gx est deux
fois dérivable en 1 et dans ce cas V(X) = G% (1) + GT (1) - (GT (1))?.
6. En déduire l'espérance et la variance d’une variable aléatoire qui suit la loi géométrique G(p) de
paramètre p, où p 0,1]
Partie 1
La fonction génératrice d’une somme de variables aléatoires
Soient n un entier naturel non nul et N une variable aléatoire telle que N(N) = [1,n] = {1,...,n}.

On suppose que pour tout Æ de [1,n], P(N = k) est non nul. On considère n variables aléatoires
indépendantes (X;)1‹i‹n, toutes de même loi qu’une variable aléatoire X, telle que X (M) = [1, m], avec

m un entier naturel non nul. On pose S = ‏رج‎ X;, (en particulier, sachant que l’événement (N = h) est

réalisé, h € [1,n], alors S = = X:).

1. Montrer que pour tout k € [L, n], ‏عب بو‎ = GR-
2. a) Soit Y une variable aléatoire réelle qui prend un nombre fini de valeurs dans Y(N), montrer

E(Y|IN=k}))= 5 yP((Y = y)|[N = k]) désigne l’espérance de Y sachant l'événement
yeY (9)
[N = k] et P((Y = y)|[N = k]) désigne la probabilité de (Y = y) sachant l'événement
b) Montrer que pour tout k € [1,n] et pour tout réel t, E(t*|[N = k]) = GŸ(t).

c) En déduire que pour tout réel t, Gs(t) = 3 P(N = 0)

d) Montrer que ‏ره بر = ع6‎
3. En déduire que E(S) = E(N)E(X). Partie III

Application

On dispose d’un jeton non truqué à deux faces numérotées 1 et 2 et d’un dé tétraédrique (famille des
pyramides composées de quatre faces triangulaires), équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
On lance le jeton et on note N le numéro obtenu, puis on lance N fois le dé et pour chaque lancer, on
note le numéro de la face d’appui du dé. Soit ‏ي‎ la somme des numéros obtenus lors de ces N lancers,
(si N = 1, le dé est lancé une seule fois et S est le numéro lu sur la face d'appui du dé).

1. a) Déterminer la loi de N.
b) Donner la loi conditionnelle de S sachant [N = k], pour k = 1, puis pour k = 2.
c) En déduire la loi de S, puis son espérance et sa variance.
2. a) Identifier la variable aléatoire X telle que S = ‏رج‎ X;, où X, et Xa sont deux variables

121
aléatoires indépendantes de même loi que X.

b) Déterminer les fonctions génératrices Gy et Gx et en déduire la fonction génératrice Gg.
c) Retrouver, en utilisant la fonction génératrice Gg, la loi, l'espérance et la variance de S.

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Mathématiques I Page 4/4

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✅ Correction proposée

Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.

Épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2017 d'admission aux établissements de formation d'ingénieurs, filière MP (classes préparatoires), organisée par l'INSEA. Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Le sujet comporte un exercice et deux problèmes indépendants : l'exercice calcule Σ 1/n2 = π2/6 ; le problème 1 étudie la transformation Nn(f)(x) = ∫0+∞ f(t)e−nxtdt (une transformée de Laplace), son injectivité, l'intégrale de Dirichlet et des équations différentielles ; le problème 2 porte sur les fonctions génératrices de variables aléatoires à valeurs entières. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : l'exercice et la partie I du problème 2 sont des questions de cours rapides à rentabiliser. Dans le problème 1, Nn(f)(x) n'est autre que la transformée de Laplace de f évaluée en s = nx : les parties III à VI utilisent les règles L(f') = sL(f) − f(0). Pour chaque intégrale impropre, justifiez la convergence (domination, intégration par parties sur [0, A] puis A → +∞).

Exercice : Σ 1/n2 = π2/6

  • 1. Soit p(x) = x2/(2π) − x : p'(x) = x/π − 1, p'(0) = −1, p'(π) = 0, p'' = 1/π. Deux intégrations par parties : ∫0π p cos(kx)dx = −(1/k)∫0π p' sin(kx)dx = −(1/k2)[p'(0) − p'(π)cos(kπ)] − (1/k2)∫ p'' cos(kx)dx = 1/k2 (la dernière intégrale est nulle).
  • 2.a) x ∈ ]0,π] donc eix ≠ 1. Avec 1 − eiθ = −2i sin(θ/2)eiθ/2 : (1 − einx)/(1 − eix) = (sin(nx/2)/sin(x/2))ei(n−1)x/2 ; en multipliant par eix on obtient (sin(nx/2)/sin(x/2))ei(n+1)x/2.
    b) Le membre de gauche vaut Σk=1n eikx ; partie réelle : Σ cos(kx) = sin(nx/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2).
  • 3. ∫0π ψ(x)sin(mx)dx = [−ψ(x)cos(mx)/m]0π + (1/m)∫ψ'(x)cos(mx)dx, d'où |…| ≤ (2‖ψ‖∞ + π‖ψ'‖∞)/m → 0 (valable pour m réel → +∞).
  • 4. Avec s(u) = sin(u)/u, s(0) = 1 : s est somme d'une série entière (donc C∞) et s > 0 sur [0, π/2]. Pour x ∈ ]0,π], g(x) = (x/(2π) − 1)/s(x/2), et cette formule donne aussi g(0) = −1. Donc g est C∞, a fortiori C1, sur [0,π] (g'(0) = 1/(2π)).
  • 5.a) Par 1 et 2.b), Σk=1n 1/k2 = ∫0π p(x) sin(nx/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2) dx. Or 2 sin(nx/2)cos((n+1)x/2) = sin((2n+1)x/2) − sin(x/2), donc la somme vaut ∫0π g(x)sin((2n+1)x/2)dx − (1/2)∫0πp(x)dx. Comme ∫0πp = π2/6 − π2/2 = −π2/3 : Σk=1n 1/k2 = π2/6 + ∫0π g(x)sin((2n+1)x/2)dx.
    b) Série de Riemann d'exposant 2 > 1 : convergente. Par 3 appliquée à ψ = g (C1) avec m = (2n+1)/2 → +∞, l'intégrale tend vers 0 : Σ 1/n2 = π2/6.
  • 6.a) Pour x > 0, 0 ≤ x/(n(1+2nx)) ≤ x/(2n2x) = 1/(2n2) : convergence par comparaison.
    b) Le majorant 1/(2n2) est indépendant de x : convergence normale sur ]0,+∞[. Chaque terme tend vers 1/(2n2) quand x → +∞. Par le théorème de la double limite, lim φ(x) = Σ 1/(2n2) = π2/12.

Problème 1 — Partie I : exemples

  • 1. φα(t)e−nxt = e−(α+nx)t avec α + nx > 0 : intégrable, et Nn(φα)(x) = 1/(α + nx).
  • 2. |C(t)e−nxt| et |S(t)e−nxt| ≤ e−nxt : C, S ∈ ℒ. Puis Nn(C) + iNn(S) = ∫0+∞e−(nx−iω)tdt = 1/(nx − iω) = (nx + iω)/(n2x2 + ω2), d'où Nn(C)(x) = nx/(n2x2 + ω2) et Nn(S)(x) = ω/(n2x2 + ω2).

Problème 1 — Partie II : comportements asymptotiques

  • 1.a) Si |f| ≤ M : |Nn(f)(x)| ≤ M∫e−nxtdt = M/(nx) → 0.
    b) Intégration par parties (f bornée, donc f(t)e−nxt → 0) : Nn(f)(x) = f(0)/(nx) + Nn(f')(x)/(nx). Donc xNn(f)(x) = f(0)/n + Nn(f')(x)/n, et f' étant continue bornée, Nn(f')(x) → 0 par 1.a) : lim xNn(f)(x) = f(0)/n.
  • 2.a) Il existe A avec |f(t)| ≤ |ℓ| + 1 pour t ≥ A, et f est bornée sur le segment [0,A] (continuité) : f est bornée.
    b) i) Changement de variable u = xt : xNn(f)(x) = ∫0+∞ f(t/x)e−ntdt.
    ii) Pour t > 0, f(t/x) → ℓ quand x → 0+, avec |f(t/x)e−nt| ≤ Me−nt intégrable. Par convergence dominée (caractérisation séquentielle) : limx→0+ xNn(f)(x) = ℓ/n.
  • 3. gn = ∫f(t)e−nt/(n+1)dt ; l'intégrande tend vers f(t)e−t et est dominé par |f|, intégrable. Donc lim gn = ∫0+∞ f(t)e−tdt (= N1(f)(1)).

Problème 1 — Partie III : propriétés de Nn

  • 1.a) tme−nxt/2 → 0 en +∞ (croissances comparées), donc il existe B avec tme−nxt/2 ≤ 1, soit tme−nxt ≤ e−nxt/2 pour t ≥ B.
    b) Pour t ≥ B, |gm(t)e−nxt| ≤ |f(t)|e−n(x/2)t, intégrable car f ∈ ℒ et x/2 > 0 ; gm est continue : gm ∈ ℒ.
  • 2.a) Dérivation sous l'intégrale sur [a,+∞[, a > 0 : ∂x(f(t)e−nxt) = −ntf(t)e−nxt, dominée par nt|f(t)|e−nat, intégrable (g1 ∈ ℒ). Donc Nn(f) est C1 sur ]0,+∞[ et (Nn(f))' = −nNn(g1).
    b) Par récurrence (gk ∈ ℒ et t·gk = gk+1) : Nn(f) est C∞ et (Nn(f))(k) = (−n)kNn(gk).
  • 3.a) Sur [0,A] : ∫0Af'(t)e−nxtdt = f(A)e−nxA − f(0) + nx∫0Af(t)e−nxtdt. f bornée donc f(A)e−nxA → 0 : Nn(f')(x) = nxNn(f)(x) − f(0).
    b) On applique a) à f' puis à f : Nn(f'') = nxNn(f') − f'(0) = (nx)2Nn(f) − nxf(0) − f'(0).
  • 4. Récurrence sur k : si la formule vaut au rang k−1, Nn(f(k)) = nxNn(f(k−1)) − f(k−1)(0) = (nx)kNn(f) − Σi=1k−1(nx)if(k−1−i)(0) − f(k−1)(0) ; le changement d'indice i → i−1 donne (nx)kNn(f)(x) − Σi=1k(nx)i−1f(k−i)(0). (Les f(j), j ≤ k−1, sont continues bornées donc dans ℒ.)

Problème 1 — Partie IV : injectivité de Nn

  • 1.a) Linéarité de l'intégrale. b) Weierstrass : Pk → h uniformément sur [0,1] ; |∫h2 − ∫Pkh| ≤ ‖h − Pk‖∞‖h‖∞ → 0, donc ∫01h2 = 0 et, h2 étant continue positive, h = 0.
  • 2.a) h'n(t) = e−ntf(t) et hn(t) → Nn(f)(1) (fini) : hn est continue bornée. Nn(f)(1+k) = ∫h'n(t)e−nktdt = [hn(t)e−nkt]0+∞ + nk∫hn(t)e−nktdt, crochet nul (hn(0) = 0, hn bornée) : Nn(f)(1+k) = nkNn(hn)(k).
  • 2.b) i) On a donc Nn(hn)(k) = 0 pour tout k ≥ 1. Changement de variable u = e−nt (t = −ln u/n, dt = −du/(nu)) : Nn(hn)(k) = (1/n)∫01uk−1hn(−ln u/n)du. L'intégrande est continu et borné sur ]0,1] : l'intégrale converge et, pour tout j = k−1 ≥ 0, ∫01ujhn(−ln u/n)du = 0.
    ii) H(u) = hn(−ln u/n) se prolonge par continuité en 0 par H(0) = lim+∞hn. D'après 1.b), H = 0 sur [0,1], donc hn = 0 sur ℝ+.
  • 3. Nn est linéaire. Si Nn(f) = 0, alors Nn(f)(1+k) = 0 pour tout k, donc hn = 0, puis h'n(t) = e−ntf(t) = 0 : f = 0. Le noyau est nul, Nn est injective.

Problème 1 — Partie V : intégrale de Dirichlet

  • 1. g est continue sur ℝ+. Sur [1,X] : ∫sin(wt)/t dt = [−cos(wt)/(wt)]1X − ∫1Xcos(wt)/(wt2)dt ; le crochet converge et la dernière intégrale est absolument convergente (majorée par 1/(wt2)). Donc G admet une limite finie ℓ.
  • 2.a) |g| ≤ w : g ∈ ℒ, bornée. Par III.2.a), (Nn(g))' = −nNn(g1) avec g1(t) = tg(t) = sin(wt) = S(t), et par I.2.b) : (Nn(g))'(x) = −nw/(n2x2 + w2) = d/dx[−arctan(nx/w)]. Donc Nn(g)(x) = C − arctan(nx/w) ; en +∞, Nn(g) → 0 (II.1.a) : C = π/2, soit Nn(g)(x) = π/2 − arctan(nx/w).
  • 2.b) i) G est C1, bornée (continue avec limite finie), G' = g ∈ ℒ, G(0) = 0 : III.3.a) donne Nn(g)(x) = nxNn(G)(x).
    ii) Par II.2.b) appliquée à G : xNn(G)(x) → ℓ/n quand x → 0+, donc Nn(g)(x) → ℓ. Par 2.a), cette limite vaut π/2 : ∫0+∞ sin(wt)/t dt = π/2.

Problème 1 — Partie VI : équations différentielles

1. On applique Nn à (E) (en admettant, comme l'énoncé le sous-entend, que y et ses dérivées vérifient les hypothèses de III.4) : Σl=0m alNn(y(m−l)) = Nn(f). Avec III.4 : φn,m(x)Nn(y)(x) − ψn,m−1(x) = Nn(f)(x), où φn,m(x) = Σl=0m al(nx)m−l (degré m car a0 ≠ 0) et ψn,m−1(x) = Σl=0m−1 al Σi=1m−l(nx)i−1ym−l−i (degré ≤ m−1). Pour x hors des racines de φn,m on obtient la relation demandée ; l'injectivité (partie IV) permet ensuite de retrouver y. Ci-dessous on note s = nx, de sorte que Nn(e−αt) = 1/(s+α), Nn(cos t) = s/(s2+1), Nn(sin t) = 1/(s2+1).

  • 2. (s2 + 3s + 2)Y − s − 2 − 3 = 2/(s + 3/2), donc Y = (s+5)/((s+1)(s+2)) + 2/((s+1)(s+2)(s+3/2)) = [4/(s+1) − 3/(s+2)] + [4/(s+1) + 4/(s+2) − 8/(s+3/2)] = 8/(s+1) + 1/(s+2) − 8/(s+3/2). Par injectivité : y(t) = 8e−t + e−2t − 8e−3t/2. Vérification : y(0) = 1, y'(0) = −8 − 2 + 12 = 2.
  • 3. (s2 + 4s + 3)Y − s + 3 − 4 = 1/(s2+1) (s = 2x), donc Y = 1/(s+3) + 1/((s+1)(s+3)(s2+1)). Décomposition : 1/((s+1)(s+3)(s2+1)) = (1/4)/(s+1) − (1/20)/(s+3) + (−s/5 + 1/10)/(s2+1). D'où y(t) = (1/4)e−t + (19/20)e−3t − (1/5)cos t + (1/10)sin t. Vérification : y(0) = 5/20 + 19/20 − 4/20 = 1 ; y'(0) = −1/4 − 57/20 + 1/10 = −3.
  • 4. Avec N1 (s = x) : (s−1)Y1 + (s+1)Y2 = 2 − 4/(s+3) = 2(s+1)/(s+3) et (s+3)Y1 + (2s+1)Y2 = 2 + 5s/(s2+1) = (2s+1)(s+2)/(s2+1). Déterminant : s2 − 5s − 4, qui se simplifie dans les formules de Cramer : Y1 = (s+1)(2s+1)/((s+3)(s2+1)) = 1/(s+3) + s/(s2+1) et Y2 = 1/(s2+1). Donc y1(t) = e−3t + cos t, y2(t) = sin t (on vérifie les deux équations et y1(0) = 2, y2(0) = 0).

Problème 2 — Partie I : fonction génératrice

  • 1. Pour |t| ≤ 1, |tkP(X=k)| ≤ P(X=k) et ΣP(X=k) = 1 : convergence absolue, GX définie sur [−1,1] (rayon ≥ 1).
  • 2. Série entière de rayon ≥ 1 : GX(k)(0) = k!·(coefficient d'ordre k) = k!P(X=k). La loi est donc déterminée par GX.
  • 3. a) G(t) = 1 − p + pt, t ∈ ℝ. b) G(t) = (1 − p + pt)n, t ∈ ℝ. c) Avec P(X=k) = p(1−p)k−1, k ≥ 1 : G(t) = pt/(1 − (1−p)t) pour |t| < 1/(1−p).
  • 4. Si E(X) < ∞, la série dérivée ΣkP(X=k)tk−1 converge normalement sur [−1,1] : GX est C1 et G'X(1) = E(X). Réciproquement, pour t ∈ [0,1[ : (G(1) − G(t))/(1−t) = ΣP(X=k)(1 + t + … + tk−1) ≥ Σk≤NP(X=k)(1 + … + tk−1). En faisant t → 1− : Σk≤NkP(X=k) ≤ G'(1) pour tout N, donc E(X) est finie.
  • 5. Même raisonnement appliqué à G'X = ΣkP(X=k)tk−1 (coefficients positifs) : X admet un moment d'ordre 2 ⇔ E(X(X−1)) < ∞ ⇔ GX deux fois dérivable en 1, avec G''(1) = E(X(X−1)). Alors V(X) = E(X2) − E(X)2 = G''(1) + G'(1) − G'(1)2.
  • 6. q = 1−p : G'(t) = p/(1−qt)2, G''(t) = 2pq/(1−qt)3, donc G'(1) = 1/p, G''(1) = 2q/p2 : E(X) = 1/p, V(X) = (1−p)/p2.

Problème 2 — Partie II : somme d'un nombre aléatoire de variables

  • 1. Les tXi sont indépendantes, l'espérance d'un produit de variables indépendantes est le produit des espérances : GX1+…+Xk = GXk.
  • 2.a) Formule des probabilités totales : P(Y=y) = ΣkP(N=k)P(Y=y | N=k) ; on multiplie par y et on permute les sommes finies : E(Y) = ΣP(N=k)E(Y | N=k).
    b) Sur [N=k], tS = tX1+…+Xk. Il faut supposer N indépendante des Xi (hypothèse implicite de l'énoncé, à signaler) ; alors E(tS | N=k) = E(tX1+…+Xk) = GX(t)k.
    c) a) appliqué à Y = tS : GS(t) = Σk=1nP(N=k)GX(t)k.
    d) GN(u) = ΣP(N=k)uk, donc GS = GN ∘ GX.
  • 3. Polynômes, GX(1) = 1 : G'S(1) = G'N(1)G'X(1), soit E(S) = E(N)E(X).

Problème 2 — Partie III : application (jeton et dé tétraédrique)

  • 1.a) P(N=1) = P(N=2) = 1/2.
    b) Sachant N=1 : S uniforme sur {1,2,3,4} (1/4 chacun). Sachant N=2 : somme de deux dés, P(S=2,…,8) = 1/16, 2/16, 3/16, 4/16, 3/16, 2/16, 1/16.
    c) P(S=s) = (1/2)P(S=s | N=1) + (1/2)P(S=s | N=2) :
s12345678
P(S=s)4/325/326/327/324/323/322/321/32

E(S) = 120/32 = 15/4 ; E(S2) = 560/32 = 35/2 ; V(S) = 35/2 − 225/16 = 55/16.

  • 2.a) X = numéro obtenu sur le dé, loi uniforme sur {1,2,3,4} ; X1, X2 sont les deux lancers, indépendants (et indépendants de N).
  • b) GN(u) = (u + u2)/2, GX(t) = (t + t2 + t3 + t4)/4, et GS(t) = (GX(t) + GX(t)2)/2 = (4t + 5t2 + 6t3 + 7t4 + 4t5 + 3t6 + 2t7 + t8)/32.
  • c) Par I.2, les coefficients donnent la loi (on retrouve le tableau). G'X(1) = 5/2, G''X(1) = 5, G'N(1) = 3/2, G''N(1) = 1. E(S) = G'S(1) = (3/2)(5/2) = 15/4 ; G''S(1) = G''N(1)G'X(1)2 + G'N(1)G''X(1) = 25/4 + 15/2 = 55/4 ; V(S) = 55/4 + 15/4 − 225/16 = 55/16.

💡 À retenir pour le CNC MP : résultats clés — Σ1/n2 = π2/6, lim φ = π2/12, ∫0+∞ sin(wt)/t dt = π/2, y = 8e−t + e−2t − 8e−3t/2, (y1, y2) = (e−3t + cos t, sin t), E(S) = 15/4, V(S) = 55/16. Signalez sur la copie l'hypothèse manquante « N indépendante des Xi » (problème 2, II.2.b). À réviser : lemme de Riemann-Lebesgue par intégration par parties, séries de fonctions (convergence normale, double limite), intégrales à paramètre (convergence dominée, dérivation sous le signe ∫), théorème de Weierstrass, transformée de Laplace, fonctions génératrices et lois usuelles (Bernoulli, binomiale, géométrique).

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Questions fréquentes sur ce sujet

Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (5 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Concours National Commun (CNC) — CPGE. Il concerne le grade : Concours d'accès aux écoles d'ingénieurs.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2017. Les questions sont en français.
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