Modèle de concours : CNC 2016 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2016 d'admission aux établissements de formation d'ingénieurs, filière MP (classes préparatoires), organisée par l'École Nationale Supérieure des Mines de Rabat. Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Il s'agit de deux problèmes indépendants : le problème 1 démontre le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein puis par une méthode probabiliste, avec des applications ; le problème 2 étudie la fonction génératrice des moments M_X(t) = E(e^tX) (variables finies, discrètes infinies, à densité). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les deux problèmes sont indépendants et de longueur comparable. Le problème 1, parties I et II, est un grand classique : les calculs de Σ kB_n,k et Σ k²B_n,k commandent toute la suite, faites-les soigneusement. Le problème 2, partie I, rapporte vite (développements limités, inégalités de convexité). Citez chaque théorème utilisé (Heine, Bienaymé-Tchebychev, dérivation des séries de fonctions, intégration terme à terme) avec ses hypothèses.

Problème 1 — Partie I : théorème de Weierstrass

1. (a) et (b)

Par la formule du binôme : Σ_k=0ⁿ B_n,k = (X + 1 − X)ⁿ = 1. Pour x ∈ [0,1], chaque B_n,k(x) = C(n,k) x^k(1−x)^n−k est ≥ 0 ; une somme de termes positifs valant 1 a chacun de ses termes ≤ 1, d'où 0 ≤ B_n,k(x) ≤ 1.

2. Moments

Avec k·C(n,k) = n·C(n−1,k−1) et k(k−1)C(n,k) = n(n−1)C(n−2,k−2), puis le binôme :

• Σ kB_n,k = nX ;
• Σ k(k−1)B_n,k = n(n−1)X² ;
• Σ k²B_n,k = n(n−1)X² + nX = n²X² + nX(1−X).

3. Dérivées

• (a) Pour 1 ≤ k ≤ n−1 : B'_n,k = C(n,k)[kX^k−1(1−X)^n−k − (n−k)X^k(1−X)^n−k−1], et avec kC(n,k) = nC(n−1,k−1), (n−k)C(n,k) = nC(n−1,k) : B'_n,k = n(B_n−1,k−1 − B_n−1,k). Pour k = 0 : B'_n,0 = −n(1−X)ⁿ⁻¹ = −nB_n−1,0 ; pour k = n : B'_n,n = nXⁿ⁻¹ = nB_n−1,n−1.
• (b) En posant B_n−1,−1 = B_n−1,n = 0, (P_n(f))' = n Σ_k=0ⁿ f(k/n)(B_n−1,k−1 − B_n−1,k). On décale l'indice dans la première somme (k → k+1) : (P_n(f))'(x) = n Σ_k=0ⁿ⁻¹ (f((k+1)/n) − f(k/n)) B_n−1,k(x).
• (c) Si f est croissante, chaque f((k+1)/n) − f(k/n) ≥ 0 et B_n−1,k ≥ 0 sur [0,1] : la dérivée est ≥ 0, donc P_n(f) est croissante.

4. Convergence uniforme

• (a) Σ(x − k/n)²B_n,k(x) = x²·1 − (2x/n)·nx + (1/n²)(n²x² + nx(1−x)) = x(1−x)/n.
• (b) Théorème de Heine, par l'absurde : sinon il existe ε > 0 et, pour tout p ≥ 1, (x_p, y_p) avec |x_p − y_p| ≤ 1/p et |f(x_p) − f(y_p)| > ε/2. Par Bolzano-Weierstrass ([0,1] compact), une sous-suite x_φ(p) → ℓ ∈ [0,1], et alors y_φ(p) → ℓ aussi. Par continuité, f(x_φ(p)) − f(y_φ(p)) → 0, contradiction. D'où l'existence de α > 0.
• (c) i. Pour k ∈ A, |f(x) − f(k/n)| ≤ ε/2, donc la somme est ≤ (ε/2)Σ B_n,k(x) ≤ ε/2.
  ii. Remarque : l'énoncé écrit « k ∈ A » dans cette question ; il faut lire k ∈ B (erreur d'énoncé à signaler sur la copie). Pour k ∈ B : |f(x) − f(k/n)| ≤ 2M et 1 < (x − k/n)²/α². Donc Σ_k∈B ≤ (2M/α²) Σ_k=0ⁿ (x − k/n)²B_n,k(x) = 2M x(1−x)/(nα²) ≤ M/(2nα²), car x(1−x) ≤ 1/4.
• (d) Grâce à 1(a), f(x) − P_n(f)(x) = Σ_k (f(x) − f(k/n))B_n,k(x) ; on coupe la somme selon A et B et on applique l'inégalité triangulaire : |P_n(f)(x) − f(x)| ≤ ε/2 + M/(2nα²).
• (e) α ne dépend pas de x. Soit N tel que M/(2Nα²) ≤ ε/2 ; pour n ≥ N, sup_[0,1]|P_n(f) − f| ≤ ε : (P_n(f)) converge uniformément vers f sur [0,1].

5. Intervalle quelconque

On pose h(u) = g(a + (b−a)u), continue sur [0,1], puis Q_n(g)(x) = P_n(h)((x−a)/(b−a)), polynôme en x. Comme x ↦ (x−a)/(b−a) est une bijection de [a,b] sur [0,1], sup_[a,b]|Q_n(g) − g| = sup_[0,1]|P_n(h) − h| → 0.

Problème 1 — Partie II : démonstration probabiliste

• 1(a) S_n ~ B(n,x) : E(S_n) = nx, V(S_n) = nx(1−x), donc E(X_n) = x et V(X_n) = x(1−x)/n.
• 1(b) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|X_n − x| ≥ δ) ≤ V(X_n)/δ² = x(1−x)/(nδ²) ≤ 1/(4nδ²).
• 2(a) Théorème de transfert : C_n(f)(x) = Σ_k=0ⁿ f(k/n)P(X_n = k/n) = Σ f(k/n)C(n,k)x^k(1−x)^n−k = P_n(f)(x) : c'est une fonction polynomiale.
• 2(b) i. Pour |k/n − x| ≤ β, |f(k/n) − f(x)| ≤ ε/2, donc la valeur absolue est ≤ (ε/2)Σ P(X_n = k/n) ≤ ε/2.
  ii. |f(k/n) − f(x)| ≤ 2M, donc la somme est ≤ 2M·P(|X_n − x| > β) ≤ 2M/(4nβ²) = M/(2nβ²) (question 1(b)).
• 2(c) Comme Σ_k P(X_n = k/n) = 1, C_n(f)(x) − f(x) = Σ (f(k/n) − f(x))P(X_n = k/n) ; d'après i et ii, |C_n(f)(x) − f(x)| ≤ ε/2 + M/(2nβ²), majorant indépendant de x et < ε pour n assez grand : convergence uniforme de (C_n(f)) vers f.

Problème 1 — Partie III : applications

1. Moments nuls

• (a) Par linéarité, ∫_a^b P(x)f(x)dx = 0 pour tout polynôme P. Soit (P_n) convergeant uniformément vers f sur I (Weierstrass). Alors |∫f² − ∫P_nf| ≤ (b−a)‖f − P_n‖_∞‖f‖_∞ → 0, donc ∫_a^b f² = 0. f² est continue et positive : f = 0 sur I.
• (b) L'intégrale converge car |xⁿe^−(1−i)x| = xⁿe^−x. Une intégration par parties donne I_n = (n/(1−i)) I_n−1 et I₀ = 1/(1−i), d'où I_n = n!/(1−i)ⁿ⁺¹ = n! 2^−(n+1)/2 e^i(n+1)π/4 (car 1−i = √2 e^−iπ/4).
• (c) Pour l'indice 4n+3 : I_4n+3 = (4n+3)! 2^−2(n+1) e^i(n+1)π est réel, donc sa partie imaginaire est nulle : ∫₀^+∞ x⁴ⁿ⁺³e^−x sin x dx = 0. Posons φ(t) = e^−t1/4 sin(t^1/4), continue et non nulle sur [0,+∞[. Le changement de variable t = x⁴ (dt = 4x³dx) donne ∫₀^+∞ tⁿφ(t)dt = 4∫₀^+∞ x⁴ⁿ⁺³e^−x sin x dx = 0. Le résultat de (a) est donc faux sur un intervalle non borné.

2. Approximation à intégrale nulle

Soit (Q_n) convergeant uniformément vers g et P_n = Q_n − (1/(b−a))∫_a^bQ_n. Alors ∫P_n = 0 et, puisque ∫g = 0, |∫Q_n| = |∫(Q_n − g)| ≤ (b−a)‖Q_n − g‖_∞, donc ‖g − P_n‖_∞ ≤ 2‖g − Q_n‖_∞ → 0.

3. Approximation C¹

On approche φ' (continue) : Q_n → φ' uniformément. On pose P_n(t) = φ(a) + ∫_a^t Q_n(u)du, polynôme avec P'_n = Q_n. Alors sup|φ' − P'_n| → 0 et |φ(t) − P_n(t)| = |∫_a^t(φ' − Q_n)| ≤ (b−a)‖φ' − Q_n‖_∞ → 0.

4. Approximation positive

Soit Q_n → ψ uniformément et ε_n = ‖ψ − Q_n‖_∞. On pose P_n = Q_n + ε_n : P_n ≥ ψ ≥ 0 sur I et ‖ψ − P_n‖_∞ ≤ 2ε_n → 0.

Problème 2 — Partie I : variables discrètes finies

Ici M_X(t) = Σ_j=1^r p_je^tx_j.

• 1. M_Z(t) = 1 − p + pe^t.
• 2. Somme finie de fonctions C^∞ : M_X est C^∞ et M_X^(k)(t) = Σ p_jx_j^ke^tx_j, d'où M_X^(k)(0) = Σ p_jx_j^k = E(X^k) (transfert).
• 3(a) M_X(t) > 0 (somme de termes ≥ 0 dont les poids valent 1 au total) : φ_X est bien définie. Avec L = ln M_X, L(0) = 0 et φ_X(t) = (L(t) − L(0))/t → L'(0) = M'_X(0)/M_X(0) = E(X).
• 3(b) L''(0) = (M''_X(0)M_X(0) − M'_X(0)²)/M_X(0)² = E(X²) − E(X)² = V(X). Taylor-Young : L(t) = E(X)t + V(X)t²/2 + o(t²), donc φ_X(t) = E(X) + V(X)t/2 + o(t) : φ_X est dérivable en 0 et φ'_X(0) = V(X)/2.
• 3(c) i. h(u) = 1 + u + u²/2 − e^u : h'(u) = 1 + u − e^u ≤ 0 (convexité : e^u ≥ 1 + u), h décroît, donc pour u ≤ 0, h(u) ≥ h(0) = 0 : e^u ≤ 1 + u + u²/2.
  ii. Si X ≤ 0 et t ≥ 0, tX ≤ 0 donc e^tX ≤ 1 + tX + t²X²/2 ; en prenant l'espérance, M_X(t) ≤ 1 + tE(X) + t²E(X²)/2. Avec ln(1+v) ≤ v, ln M_X(t) ≤ tE(X) + t²E(X²)/2 ; on divise par t > 0 : φ_X(t) ≤ E(X) + (t/2)E(X²) (égalité triviale en t = 0).
• 3(d) i. (L'énoncé écrit (f₁, …, f_n) : il faut lire f_r.) Les x_i sont distincts ; ordonnons-les x₁ < … < x_r. Si Σλ_ie^tx_i = 0 pour tout t, on multiplie par e^−tx_r et on fait t → +∞ : λ_r = 0 ; par récurrence tous les λ_i sont nuls : la famille est libre.
  ii. Même loi ⇒ M_X = M_Y ⇒ φ_X = φ_Y. Réciproquement, φ_X = φ_Y ⇒ M_X = M_Y sur ℝ* (et en 0 les deux valent 1). En notant z₁, …, z_s les valeurs distinctes prises par X ou Y : Σ(P(X = z_l) − P(Y = z_l))e^tz_l = 0, et la liberté donne P(X = z_l) = P(Y = z_l) pour tout l.
• 3(e) X, Y indépendantes ⇒ e^tX, e^tY indépendantes ⇒ M_X+Y = M_XM_Y ; on prend le logarithme et on divise par t : φ_X+Y = φ_X + φ_Y (en 0 : linéarité de l'espérance).
• 3(f) Directement par le binôme, Σ C(s,k)p^k(1−p)^s−ke^tk = M_X(t) = (1 − p + pe^t)^s (c'est aussi la somme de s Bernoulli indépendantes, via (e) et la question 1).
• 3(g) M_−X(t) = M_X(−t), donc φ_−X(t) = −φ_X(−t). D'après (d)ii, X symétrique ⇔ φ_X = φ_−X ⇔ φ_X(t) = −φ_X(−t) pour tout t ⇔ φ_X impaire.
• 4(a) S*_n = (S_n − nm)/(σ√n). Par indépendance, M_Sn = (M_X)ⁿ, donc M_S*n(t) = e^−tm√n/σ M_X(u)ⁿ avec u = t/(σ√n). En prenant ln et en divisant par t, et comme n·ln M_X(u)/t = (nu/t)φ_X(u) = (√n/σ)φ_X(u) : φ_S*n(t) = −m√n/σ + (√n/σ)φ_X(t/(σ√n)).
• 4(b) D'après 3(b), φ_X(u) = m + σ²u/2 + o(u). Avec u = t/(σ√n) : (√n/σ)φ_X(u) = m√n/σ + t/2 + o(1). Donc lim φ_S*n(t) = t/2, c'est-à-dire M_S*n(t) → e^t2/2, fonction génératrice de la loi normale centrée réduite (théorème central limite).

Problème 2 — Partie II : variables discrètes infinies

• 1(a) Si x ≥ 0, bx ≤ cx donc e^bx ≤ e^cx ; si x < 0, bx ≤ ax donc e^bx ≤ e^ax. Les deux exponentielles étant positives, e^bx ≤ e^ax + e^cx.
• 1(b) 0 ∈ I_X (M_X(0) = 1). Si a, c ∈ I_X et a < b < c, alors 0 ≤ e^bX ≤ e^aX + e^cX, intégrable : b ∈ I_X. I_X est une partie convexe de ℝ, donc un intervalle contenant 0.
• 2. M_Y(t) = Σ e^−λλ^ke^tk/k! = exp(λ(e^t − 1)), pour tout t ∈ ℝ.
• 3(a) u_n^(k)(t) = P(X = x_n)x_n^ke^tx_n et, pour |t| < α < ρ, e^tx_n ≤ e^α|x_n| ≤ e^ρ|x_n| : |u_n^(k)(t)| ≤ P(X = x_n)|x_n|^ke^ρ|x_n|. Gardez la version plus fine avec e^α|x_n| : c'est elle qui sert en (b).
• 3(b) La fonction s ↦ s^ke^{−(ρ−α)s} est bornée sur [0,+∞[ (maximum en s = k/(ρ−α)) par M_k = (k/(e(ρ−α)))^k (M₀ = 1). Donc |u_n^(k)(t)| ≤ P(X = x_n)|x_n|^ke^α|x_n| ≤ M_kP(X = x_n)e^ρ|x_n|.
• 3(c) e^ρ|x| ≤ e^ρx + e^−ρx, donc Σ P(X = x_n)e^ρ|x_n| ≤ M_X(ρ) + M_X(−ρ) < +∞ (±ρ ∈ ]−a,a[). Chaque série Σu_n^(k) converge normalement sur ]−α,α[ : par le théorème de dérivation terme à terme, M_X est C^∞ sur ]−α,α[ pour tout α < a, donc sur ]−a,a[, avec M_X^(k)(t) = Σ P(X = x_n)x_n^ke^tx_n ; en t = 0 la série converge absolument et vaut E(X^k) (transfert).
• 4. M_Y(t) = e^λ(et−1) : M'_Y = λe^tM_Y, M''_Y = (λe^t + λ²e^2t)M_Y. Donc E(Y) = λ, E(Y²) = λ + λ² et E(Y) = V(Y) = λ.

Problème 2 — Partie III : variables à densité

• 1. Pour t ∈ I_X ∩ I_Y, e^tX et e^tY sont indépendantes et intégrables, donc leur produit est intégrable et E(e^t(X+Y)) = E(e^tX)E(e^tY) : M_X+Y = M_XM_Y (sur I_X ∩ I_Y).
• 2(a) e^s|t| = Σ_j(s|t|)^j/j! ≥ (s|t|)^k/k! (termes positifs), d'où |t|^k ≤ (k!/s^k)e^s|t|.
• 2(b) |X|^k ≤ (k!/s^k)(e^sX + e^−sX) ; comme 0 < s < min(−a,b), ±s ∈ ]a,b[, donc E(e^sX) et E(e^−sX) sont finies : E(|X|^k) < +∞.
• 2(c) Pour |t| < s : e^txf(x) = Σ_k(t^kx^k/k!)f(x), et Σ_k∫|t^kx^k/k!|f(x)dx = ∫e^|t||x|f(x)dx ≤ ∫(e^sx + e^−sx)f(x)dx < +∞. Le théorème d'intégration terme à terme s'applique : M_X(t) = Σ_k≥0 E(X^k)t^k/k!.
• 2(d) M_X est donc somme d'une série entière de rayon ≥ s ; elle est C^∞ sur ]−s,s[ et son coefficient d'ordre k vaut M_X^(k)(0)/k!. Par unicité, M_X^(k)(0) = E(X^k).

💡 À retenir pour le CNC MP : relevez les deux petites coquilles de l'énoncé (P1-I-4(c)ii : k ∈ B et non A ; P2-I-3(d)i : f_r et non f_n) et signalez-les sur la copie, comme le demande la consigne. À réviser : polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass, uniforme continuité (Heine), inégalité de Bienaymé-Tchebychev, lois usuelles (binomiale, Poisson) avec espérance et variance, développements limités de ln et exp, dérivation et intégration terme à terme des séries de fonctions, séries entières. Sur un problème de 4 heures, une rédaction propre des parties I des deux problèmes suffit déjà à faire une bonne note.