Modèle de concours : CNC 2011 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Cette épreuve est la Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2011, filière MP, commune aux écoles d'ingénieurs marocaines (calculatrice interdite, énoncé de 4 pages hors page de garde). C'est un problème unique en cinq parties : « Étude de la somme d'une série de Fourier lacunaire quadratique », q(x) = Σ_n≥1 e^iπn²x/(iπn²), dont on démontre la dérivabilité au point 1 (résultat de Gerver) : formule sommatoire de Poisson, identité de type Jacobi, intégrales curvilignes dans le demi-plan de Poincaré, puis estimation fine de q(1+x) − q(1). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les parties 1–2 (Poisson, gaussienne) sont très classiques et rapportent vite ; la partie 3 est du cours (Cauchy-Riemann, Green-Riemann). Les parties 4 et 5 sont plus techniques mais chaque question a un résultat donné : on peut admettre un résultat et continuer. Attention à deux coquilles de l'énoncé signalées plus bas (partie 4, question 2 et partie 5, question 4) : il faut les repérer et le dire sur la copie.

1^re partie — Formule sommatoire de Poisson

Hypothèses : g de classe C¹, g(t) = O(1/t²) et g'(t) = O(1/t²) en ±∞. Il existe donc M, A > 0 tels que |g(t)| ≤ M/t² et |g'(t)| ≤ M/t² pour |t| ≥ A.

Q1

|g(t)e^−ixt| = |g(t)|, fonction continue sur ℝ et O(1/t²) en ±∞ : t ↦ g(t)e^−ixt est intégrable sur ℝ (comparaison à une intégrale de Riemann d'exposant 2 > 1).

Q2

Soit [−B, B] un segment. Pour n ≥ n₀ (avec 2n₀π ≥ 2B + A) et |t| ≤ B : |t ± 2nπ| ≥ 2nπ − B ≥ nπ ≥ A, donc |g_n(t)| ≤ 2M/(nπ)². Le majorant est indépendant de t et sommable : Σ g_n converge normalement, donc uniformément, sur tout segment.

Q3 (a)

Les g_n sont C¹ ; le même argument appliqué à g' donne |g_n'(t)| ≤ 2M/(nπ)² sur [−B, B] : Σ g_n' converge normalement sur tout segment, Σ g_n converge simplement. Par le théorème de dérivation des séries de fonctions, g̃ est de classe C¹ sur ℝ.

Q3 (b)

• S_n(t) = Σ_p=−nⁿ g(t+2pπ) est la somme partielle de Σ g_n, donc g̃(t) = lim S_n(t). Alors S_n(t+2π) = S_n(t) + g(t+2(n+1)π) − g(t−2nπ) → g̃(t) car g → 0 en ±∞ : g̃ est 2π-périodique.
• Coefficients : la convergence étant uniforme sur [0, 2π], on intègre terme à terme :
  c_k(g̃) = (1/2π) Σ_p∈ℤ ∫₀^2π g(t+2pπ)e^−ikt dt = (1/2π) Σ_p ∫_2pπ^2(p+1)π g(s)e^−iks ds (car e^{−ik(s−2pπ)} = e^−iks)
  = (1/2π) ∫_ℝ g(s)e^−iks ds (relation de Chasles + intégrabilité) : c_k(g̃) = ĝ(k)/(2π).

Q3 (c)

|g(2nπ)| ≤ M/(4π²n²) pour |n| grand : (g(2nπ))_n∈ℤ est sommable, de somme g̃(0). g̃ étant 2π-périodique et C¹, sa série de Fourier converge normalement vers g̃ (théorème de convergence normale ; ou c_k(g̃') = ik c_k(g̃) et |c_k| ≤ ½(1/k² + |c_k(g̃')|²), sommable par Bessel). Donc (ĝ(n))_n∈ℤ est sommable et g̃(0) = Σ c_n(g̃), soit 2π Σ_n∈ℤ g(2nπ) = Σ_n∈ℤ ĝ(n). (Les familles sont indexées par ℤ, l'écriture « n ∈ ℕ » de l'énoncé est une coquille.)

2^e partie — Application : la gaussienne

Q1

h_α(t) = e^−α²t² est C¹, h_α'(t) = −2α²t e^−α²t² ; t²h_α(t) et t²h_α'(t) = −2α²t³e^−α²t² tendent vers 0 en ±∞ (croissances comparées), donc sont bornées à l'infini : h_α vérifie les hypothèses.

Q2

ĥ₁(x) = ∫ e^−t²e^−ixt dt. La dérivée partielle en x, −it e^−t²e^−ixt, est continue et dominée par |t|e^−t² intégrable : ĥ₁ est dérivable et ĥ₁'(x) = ∫ −it e^−t²e^−ixt dt. Comme −it e^−t² = (i/2)(e^−t²)', une intégration par parties (crochet nul en ±∞) donne
ĥ₁'(x) = −(i/2) ∫ e^−t²(−ix)e^−ixt dt = −(x/2) ĥ₁(x) : y' + (x/2)y = 0.

Q3

Équation linéaire du premier ordre : y = C e^−x²/4. Avec ĥ₁(0) = √π : ĥ₁(x) = √π e^−x²/4.

Q4

Changement de variable s = αt : ĥ_α(x) = (1/α) ∫ e^−s²e^−i(x/α)s ds = (1/α) ĥ₁(x/α), d'où ĥ_α(x) = (√π/α) e^{−x²/(4α²)}.

Q5

Poisson avec g = h_α : 2π Σ_ℤ e^{−4π²α²n²} = (√π/α) Σ_ℤ e^{−n²/(4α²)}. On choisit α tel que 4π²α² = πa, soit α = ½√(a/π) ; alors 1/(4α²) = π/a et √π/α = 2π/√a. En divisant par 2π/√a : √a Σ_ℤ e^−πn²a = Σ_ℤ e^−πn²/a, et en regroupant n et −n :
√a (1 + 2Σ_n≥1 e^−πn²a) = 1 + 2Σ_n≥1 e^−πn²/a (2).

3^e partie — Un résultat général sur les fonctions holomorphes

Ω = {z ∈ ℂ, Im z > 0}.

Q1

Im((1−t)a + tb) = (1−t)Im a + t Im b > 0 pour t ∈ [0,1] : [a, b] ⊂ Ω, Ω est convexe donc connexe par arcs. Ω = Im⁻¹(]0, +∞[) est ouvert (image réciproque d'un ouvert par une application continue).

Q2

Φ_a(b) = (b − a) ∫₀¹ f((1−t)a + tb) dt. Soit b₀ ∈ Ω et D un disque fermé centré en b₀ inclus dans Ω. K = {(1−t)a + tb, t ∈ [0,1], b ∈ D} est compact (image continue de [0,1] × D) et inclus dans Ω (convexité), donc |f| ≤ M_K sur K. L'intégrande est continue en b et dominée par M_K : par continuité des intégrales à paramètre, Φ_a est continue sur Ω.

Q3

∫_γa,b z̄ dz = (b − a) ∫₀¹ ((1−t)ā + t b̄) dt = (b − a)(ā + b̄)/2. La relation s'écrit (c−a)(ā+c̄) + (b−c)(c̄+b̄) = (b−a)(ā+b̄). Après développement, les termes |a|², |b|², |c|² se simplifient et il reste cā − ac̄ + bc̄ − cb̄ = bā − ab̄, c'est-à-dire
Im(c (ā − b̄)) = Im(b ā).

C'est l'équation d'une droite réelle de direction a − b (ajouter λ(a−b), λ ∈ ℝ, ne change pas le membre de gauche) passant par a (Im(a(ā − b̄)) = −Im(a b̄) = Im(b ā)) : c'est la droite (ab). L'ensemble cherché est (ab) ∩ Ω :

• si Im a = Im b, la droite (ab) est horizontale et contenue dans Ω : c'est toute la droite (ab) ;
• sinon (ab) coupe l'axe réel en un point x₀ et l'ensemble est la demi-droite ouverte d'origine x₀ contenant a et b.

Ce contre-exemple (z̄ n'est pas holomorphe) montre que la relation de Chasles pour trois points non alignés est propre aux fonctions holomorphes.

Q4 (a)

Conditions de Cauchy-Riemann : ∂P/∂x = ∂Q/∂y et ∂P/∂y = −∂Q/∂x.

Q4 (b)

Formule de Green-Riemann sur le triangle T (P, Q de classe C¹) :
∫_∂T+ P dx − Q dy = ∬_T (−∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy = 0 et ∫_∂T+ Q dx + P dy = ∬_T (∂P/∂x − ∂Q/∂y) dxdy = 0 par Cauchy-Riemann ; les deux intégrales sont égales (à 0).
Or f(z)dz = (P + iQ)(dx + i dy) = (P dx − Q dy) + i(Q dx + P dy), donc ∫_∂T+ f(z)dz = 0. Le bord ∂T est formé des segments [a,c], [c,b], [b,a] (parcourus dans un sens ou dans l'autre, le résultat 0 ne dépend pas de l'orientation) ; comme ∫_γb,a = −∫_γa,b :
∫_γa,c f + ∫_γc,b f = ∫_γa,b f. Si a, b, c sont alignés (triangle dégénéré), la relation découle directement d'un changement de variable affine (Chasles sur un segment).

Q4 (c)

Par (b), Φ_a(c) − Φ_a(b) = Φ(b, c) = (c − b) ∫₀¹ f((1−t)b + tc) dt, donc
(Φ_a(c) − Φ_a(b))/(c − b) = ∫₀¹ f((1−t)b + tc) dt → f(b) quand c → b (continuité uniforme de f sur un disque fermé centré en b inclus dans Ω). Φ_a est holomorphe et Φ_a' = f.

Q4 (d)

Avec a = ir ∈ Ω, (b) donne Φ(ir, c) − Φ(ir, b) = Φ(b, c). En faisant r → 0⁺ : F(c) − F(b) = Φ(b, c). Ainsi F = Φ_b + F(b) : par (c), F est holomorphe sur Ω et F' = f.

4^e partie — Étude d'un exemple : f_λ(z) = z^λ exp(−i/z), −1 < λ < 0

Deux estimations servent partout. Pour z = x + iy ∈ Ω : |z^λ| = |z|^λ ; |exp(−i/z)| = exp(Re(−i z̄)/|z|²) = exp(−y/|z|²) ≤ 1 ; et |exp(i/z)| = exp(y/|z|²).

Q1

Ω ⊂ ℂ∖ℝ⁻ : z ↦ λ Log z est holomorphe, donc z^λ = exp(λ Log z) aussi ; z ↦ −i/z est holomorphe sur ℂ*, composée avec exp. Par produit, f_λ est holomorphe sur Ω.

Q2

J_λ,b(r) = (b − ir) ∫₀¹ f_λ((1−t)ir + tb) dt.

• Convergence simple : pour t ∈ ]0,1], (1−t)ir + tb → tb ∈ Ω, et f_λ continue ; de plus Arg(tb) = Arg b donc (tb)^λ = t^λb^λ, d'où la limite t^λ b^λ exp(−i/(tb)).
• Domination : pour z = (1−t)ir + tb, |z| ≥ Im z ≥ t Im b et λ < 0, donc |f_λ(z)| ≤ |z|^λ ≤ (Im b)^λ t^λ, intégrable sur ]0,1] car λ > −1 (majorant indépendant de r).

Par convergence dominée, F_λ(b) = lim J_λ,b(r) = b^λ+1 ∫_]0,1] t^λ exp(−i/(tb)) dt.
Coquille de l'énoncé : il est imprimé « exp(−i tb) » ; le calcul donne exp(−i/(tb)), et c'est bien cette forme qu'exige la question 3(b).

Q3 (a)

f_λ est holomorphe et la limite F_λ(b) existe pour tout b : la partie 3, Q4(d), donne F_λ holomorphe sur Ω et F_λ' = f_λ. G_λ est le produit de z^−λ−2 = exp((−λ−2)Log z), de exp(i/z) et de F_λ, holomorphes sur Ω (G_λ n'est défini que sur Ω, pas sur ℂ).

Q3 (b)

z^−λ−2z^λ+1 = z⁻¹ (mêmes exponentielles de Log z), donc G_λ(z) = (1/z) e^i/z ∫₀¹ t^λ e^−i/(tz) dt. Le changement de variable u = 1/t (C¹ bijectif de ]0,1] sur [1,+∞[, t^λdt = u^−λ−2du) donne G_λ(z) = (1/z) exp(i/z) ∫₁^+∞ u^−λ−2 exp(−iu/z) du.

Q3 (c)

La majoration brutale ne suffit pas (elle donne un facteur 1/|z|) : on intègre par parties avec e^−iu/z = d/du[iz e^−iu/z] (crochet nul en +∞ car |e^−iu/z| = e^−uy/|z|² et u^−λ−2 → 0) :
∫₁^+∞ u^−λ−2e^−iu/z du = −iz e^−i/z + (λ+2) iz ∫₁^+∞ u^−λ−3 e^−iu/z du.
D'où G_λ(z) = −i + i(λ+2) ∫₁^+∞ u^−λ−3 e^{−i(u−1)/z} du, et |e^{−i(u−1)/z}| = e^{−(u−1)y/|z|²} ≤ 1, donc
|G_λ(z)| ≤ 1 + (λ+2) ∫₁^+∞ u^−λ−3 du = 1 + 1 : |G_λ(z)| ≤ 2.
Ensuite F_λ(z) = z^λ+2 e^−i/z G_λ(z) ; pour λ = −1/2 : |F_−1/2(z)| ≤ |z|^3/2 · 1 · 2, soit |F_−1/2(z)| ≤ 2|z|^3/2.

5^e partie — Démonstration de la propriété

u_n(z) = exp(iπn²z), |u_n(x+iy)| = e^−πn²y. Notons θ(z) = 1 + 2u(z) = Σ_n∈ℤ e^iπn²z.

Q1

Si y > 0 : |u_n(z)| ≤ (e^−πy)ⁿ, terme d'une série géométrique convergente : convergence absolue. Si y ≤ 0 : |u_n(z)| ≥ 1, le terme général ne tend pas vers 0 : divergence grossière. Σ u_n(z) converge ⇔ z ∈ Ω.

Q2

e^iπn² = (−1)^n² = (−1)ⁿ, donc u(z+1) = Σ(−1)ⁿu_n(z) et u(z+1) + u(z) = 2Σ_{n pair} u_n(z) = 2Σ_m≥1 e^iπ(2m)²z = 2u(4z).

Q3

• (a) Sur ℝ × [a, +∞[ (c'est le domaine voulu ; « ℝ×]0,+∞[ » est une coquille) : |n^kũ_n(x,y)| ≤ n^ke^−πn²a, terme général d'une série convergente (n^k+2e^−πn²a → 0) : convergence normale.
• (b) ∂ũ_n/∂x = iπn² ũ_n, continue ; par (a) avec k = 2, la série des dérivées converge normalement sur ℝ × [a, +∞[ pour tout a > 0. Le théorème de dérivation terme à terme (à y fixé, puis a arbitraire) donne ∂ũ/∂x(x,y) = Σ_n≥1 iπn² ũ_n(x,y).
• (c) De même ∂ũ_n/∂y = −πn² ũ_n = i · iπn² ũ_n, d'où ∂ũ/∂y = i ∂ũ/∂x.
• (d) Les dérivées partielles sont des sommes de séries normalement convergentes de fonctions continues sur ℝ × [a, +∞[ : ũ est C¹ sur ℝ × ]0,+∞[ et vérifie ∂ũ/∂y = i ∂ũ/∂x (Cauchy-Riemann sous forme complexe) : u est holomorphe sur Ω, u'(z) = Σ iπn² u_n(z).

Q4

Attention, coquille de l'énoncé. Pour z = ia (a > 0), la formule imprimée donne a^−1/2θ(ia) = θ(i/a), alors que (2) donne √a θ(ia) = θ(i/a) : elle est fausse (prendre a → +∞ : le membre de gauche tend vers 0, celui de droite équivaut à √a). La bonne identité, qui est aussi celle qu'utilise la question 5, est
(i/z)^1/2 (1 + 2u(−1/z)) = 1 + 2u(z), équivalente à (z/i)^1/2(1 + 2u(z)) = 1 + 2u(−1/z).

Preuve : pour z ∈ Ω, −1/z ∈ Ω (Im(−1/z) = y/|z|² > 0) et i/z a une partie réelle strictement positive, donc (i/z)^1/2 = exp(½ Log(i/z)) est holomorphe sur Ω. La fonction φ(z) = θ(z) − (i/z)^1/2θ(−1/z) est holomorphe sur Ω. Pour z = ia : (i/z)^1/2 = a^−1/2, −1/z = i/a, et φ(ia) = θ(ia) − a^−1/2θ(i/a) = 0 par (2) appliquée à 1/a. φ s'annule sur la demi-droite iℝ₊^*, qui a des points d'accumulation dans Ω, et Ω est connexe : par le principe des zéros isolés, φ ≡ 0 sur Ω.

Q5

Par Q2, θ(z+1) = 1 + 2u(z+1) = 2θ(4z) − θ(z), donc u(1+z) + ½ = θ(4z) − ½θ(z). Par Q4, θ(4z) = (i/(4z))^1/2θ(−1/(4z)) = ½(i/z)^1/2θ(−1/(4z)) (le facteur 1/4 est réel positif) et θ(z) = (i/z)^1/2θ(−1/z). Donc
u(1+z) + ½ = ½(i/z)^1/2[θ(−1/(4z)) − θ(−1/z)] = (i/z)^1/2 Σ_n≥1 (exp(−iπn²/(4z)) − exp(−iπn²/z)).

Q6

Pour Im z ≥ 0 : |u_n(z)/(iπn²)| ≤ 1/(πn²), sommable et indépendant de z : convergence normale ; les termes étant continus, v est continue sur le demi-plan fermé. Pour x réel, v(x) = q(x).

Q7

αz/(πn²) ∈ Ω et, par 4.3(c), |n F_−1/2(αz/(πn²))| ≤ 2n (α|z|/(πn²))^3/2 = 2(α|z|/π)^3/2/n² : la série converge (absolument).

Q8 (a)

v₁ est la restriction de v à Ω. Sur ℝ × [a, +∞[, la série Σ u_n/(iπn²) et la série de ses dérivées partielles (qui sont ũ_n et iũ_n) convergent normalement : comme en Q3, v₁ est C¹ et vérifie Cauchy-Riemann, donc v₁ est holomorphe et v₁' = Σ u_n = u.

Q8 (b)

Avec F = F_−1/2, F' = f_−1/2, f_−1/2(ζ) = ζ^−1/2e^−i/ζ, et (πn²/(4z))^1/2 = (n√π/2) z^−1/2 :

• d/dz[n F(4z/(πn²))] = (4/(πn)) (4z/(πn²))^−1/2 e^{−iπn²/(4z)} = (2/√π) z^−1/2 e^{−iπn²/(4z)} ;
• d/dz[2n F(z/(πn²))] = (2/(πn)) (z/(πn²))^−1/2 e^−iπn²/z = (2/√π) z^−1/2 e^−iπn²/z.

Donc w'(z) = ((iπ)^1/2/2)(2/√π) z^−1/2 Σ(e^{−iπn²/(4z)} − e^−iπn²/z) = i^1/2z^−1/2 Σ(…). Comme Arg z ∈ ]0, π[, π/2 − Arg z ∈ ]−π/2, π/2[ et i^1/2z^−1/2 = (i/z)^1/2. Par Q5 : w'(z) = u(1+z) + ½.

Q8 (c)

Soit D(z) = v₁(z+1) + z/2 − w(z). D'(z) = u(z+1) + ½ − (u(1+z) + ½) = 0 et Ω est connexe : D est constante. Pour la calculer, on fait z → 0 dans Ω : v₁(z+1) → v(1) (continuité de v, Q6) ; par 4.3(c), |w(z)| ≤ c|z|^3/2 → 0 (voir Q9) ; z/2 → 0. Donc D ≡ v(1) : v₁(z+1) − v(1) = −z/2 + w(z).

Q9

Par 4.3(c) et |(iπ)^1/2| = √π :
|w(z)| ≤ (√π/2) Σ [2n · 2(4|z|/(πn²))^3/2 · ½ · 2 …] ; plus précisément |n F(4z/(πn²))| ≤ 16|z|^3/2/(π^3/2n²) et |2n F(z/(πn²))| ≤ 4|z|^3/2/(π^3/2n²), d'où
|w(z)| ≤ (√π/2) · 20|z|^3/2/π^3/2 · Σ1/n² = (10/π)(π²/6)|z|^3/2.
Avec Q8(c) : |v(z+1) − v(1) + z/2| ≤ c|z|^3/2 avec c = 5π/3.

Q10

Soit x réel, et z = x + iy avec y → 0⁺. Par continuité de v sur le demi-plan fermé (Q6), l'inégalité de Q9 passe à la limite : |v(1+x) − v(1) + x/2| ≤ c|x|^3/2. Or v = q sur ℝ, donc q(1+x) − q(1) + x/2 = O(|x|^3/2) quand x → 0. En divisant par x : (q(1+x) − q(1))/x = −½ + O(|x|^1/2) → −½. q est dérivable en 1 et q'(1) = −1/2.
(Contrôle : la partie réelle de πq est la fonction de Riemann Σ sin(πn²x)/n², dont la dérivée en 1 vaut bien −π/2.)

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : formule sommatoire de Poisson (périodisation g̃, coefficients de Fourier, convergence normale de la série de Fourier d'une fonction C¹) ; transformée de Fourier de la gaussienne par équation différentielle ; théorèmes de dérivation sous l'intégrale et de convergence dominée (vérifier continuité + domination indépendante du paramètre) ; Cauchy-Riemann et Green-Riemann ; logarithme principal et puissances z^λ (attention : z^αw^α ≠ (zw)^α en général, on ne sort un facteur que s'il est réel positif) ; principe des zéros isolés ; séries de fonctions holomorphes. Méthode : quand une majoration brutale échoue (4.3c), intégrer par parties pour gagner une puissance ; et signaler clairement toute coquille d'énoncé (ici 4.2 et 5.4) en expliquant la version corrigée utilisée.