Modèle de concours : CNC 2010 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l’épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2010 d’admission aux grandes écoles d’ingénieurs et assimilées, filière MP. La présidence du concours était assurée par l’ESITH. Durée : 4 heures, 4 pages plus la page de garde, calculatrice interdite. C’est un problème d’analyse en trois parties, « Étude de l’équation de la chaleur » : (1) principe du maximum pour les fonctions harmoniques, (2) construction d’une solution par série de Fourier, (3) unicité par un principe du maximum parabolique. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les trois parties sont largement indépendantes. La partie 2 (séries de fonctions, dérivation terme à terme, coefficients de Fourier) est la plus « rentable » car très proche du cours. La partie 3 réutilise seulement l’idée de 1.2 : en un maximum intérieur, les dérivées premières sont nulles et la dérivée seconde est ≤ 0. Un conseil de rédaction : citez à chaque fois le théorème utilisé (Schwarz, Taylor-Young, Bolzano-Weierstrass, dérivation d’une série de fonctions, Dirichlet).

1ère partie : résultats préliminaires

1.1 H_x orthogonalement diagonalisable

f est C² : par le théorème de Schwarz, ∂²f/∂x_i∂x_j = ∂²f/∂x_j∂x_i, donc H_x est symétrique réelle. Le théorème spectral donne H_x = PDP^T, P orthogonale, D diagonale.

1.2.1 Développement à l’ordre 2

Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 (f est C²) : f(a + h) = f(a) + df_a(h) + (1/2)Q_a(h) + o(||h||²). a est un extremum local intérieur à l’ouvert U, donc df_a = 0 (condition nécessaire du premier ordre). D’où f(a + h) − f(a) = (1/2)Q_a(h) + o(||h||²).

1.2.2 Signe de Q_a

• 1.2.2.1 : avec h = tu, pour t voisin de 0, f(a + tu) − f(a) ≤ 0 (maximum local), soit (t²/2)Q_a(u) + o(t²) ≤ 0. En multipliant par 2 : t²Q_a(u) + o(t²) ≤ 0.
• 1.2.2.2 : on divise par t² > 0 et on fait t → 0 : Q_a(u) ≤ 0 pour tout u ≠ 0, et Q_a(0) = 0. Donc Q_a est négative.

1.2.3 Termes diagonaux, signe de Δf(a)

(H_a)_ii = Q_a(e_i) ≤ 0 (e_i vecteur de la base canonique). Donc Δf(a) = Tr(H_a) = Σ Q_a(e_i) ≤ 0.

1.3.1 f bornée sur K

K, boule unité fermée de Rⁿ, est fermée et bornée en dimension finie, donc compacte. f est continue sur K, donc bornée et atteint ses bornes.

1.3.2 Cas Δf > 0

L’intérieur de K est U. Si le maximum de f sur K était atteint en a ∈ U, ce serait un maximum local de f sur l’ouvert U, donc Δf(a) ≤ 0 par 1.2.3 : contradiction avec Δf > 0. Le maximum est donc atteint en un point y₀ de la sphère S = {||y|| = 1}, et sup_K f = f(y₀) ≤ sup_S f ≤ sup_K f : sup_||x||≤1 f(x) = sup_||y||=1 f(y).

1.3.3 f harmonique

• 1.3.3.1 : x ↦ ||x||² = Σx_i² est polynomiale, donc C^∞ ; ainsi f_ε ∈ C²(U) ∩ C(K). Δ(||x||²) = Σ 2 = 2n, donc Δf_ε = Δf + 2nε = 2nε > 0.
• 1.3.3.2 : par 1.3.2 appliqué à f_ε, pour x ∈ K : f(x) ≤ f_ε(x) ≤ sup_S f_ε = sup_S f + ε (car ||y||² = 1 sur S). En faisant ε → 0 : f(x) ≤ sup_||y||=1 f(y).
• 1.3.3.3 : Δ(−f) = −Δf = 0, donc −f est harmonique. Par 1.3.3.2, −f(x) ≤ sup_S(−f) = −inf_S f, d’où inf_||z||=1 f(z) ≤ f(x).

2ème partie : construction d’une solution

Rappel : b_p = (2/π)∫₀^πψ(t)sin(pt)dt et v_p(x, t) = b_p sin(px) e^−p2t.

2.1 Expression de ψ̃ et régularité

• Pour x ∈ [−π, 0] : ψ̃(x) = −ψ(−x) (imparité).
• Pour x ∈ [π, 2π] : x − 2π ∈ [−π, 0], donc ψ̃(x) = −ψ(2π − x) ; pour x ∈ [2π, 3π] : ψ̃(x) = ψ(x − 2π).

Les définitions se raccordent car ψ(0) = ψ(π) = 0 : ψ̃ est continue. Sur chaque segment [kπ, (k+1)π], ψ̃ est C¹. Aux raccords, les dérivées à gauche et à droite coïncident : en 0, (−ψ(−x))′ = ψ′(−x) → ψ′(0) et ψ′(x) → ψ′(0) ; en π, ψ′(x) → ψ′(π) et (−ψ(2π − x))′ = ψ′(2π − x) → ψ′(π). Par 2π-périodicité (théorème de la limite de la dérivée) : ψ̃ ∈ C¹(R).

2.2 Coefficients de Fourier

t ↦ ψ̃(t)sin(pt) est paire, donc b_p(ψ̃) = (1/π)∫_−π^πψ̃(t)sin(pt)dt = (2/π)∫₀^πψ(t)sin(pt)dt : b_p(ψ̃) = b_p. t ↦ ψ̃(t)cos(pt) est impaire : a_p(ψ̃) = 0 pour tout p ∈ N.

2.3 Σ b_p absolument convergente

ψ̃′ est continue et 2π-périodique. Une intégration par parties (les termes de bord s’annulent par périodicité) donne a_p(ψ̃′) = p·b_p(ψ̃) = p·b_p. L’inégalité de Bessel donne Σ a_p(ψ̃′)² < +∞. Alors |b_p| = |a_p(ψ̃′)|/p ≤ (1/2)(a_p(ψ̃′)² + 1/p²), terme d’une série convergente : Σ|b_p| < +∞.

2.4 Convergence normale sur R × [0, +∞[

Pour t ≥ 0 : |v_p(x, t)| ≤ |b_p|, et Σ|b_p| converge. Convergence normale ; les v_p sont continues, donc la somme f est continue sur R × [0, +∞[.

2.5 v_p solution de l’équation

v_p est un produit de fonctions C^∞, donc C^∞ sur R². ∂²v_p/∂x² = −p²b_psin(px)e^−p2t = ∂v_p/∂t, donc ∂²v_p/∂x² − ∂v_p/∂t = 0.

2.6 Séries Σp^kv_p et Σp^k∂v_p/∂x

Soit B = sup_p|b_p| (fini car b_p → 0). Sur R × [a, +∞[ : |p^kv_p| ≤ B p^ke^−p2a et |p^k∂v_p/∂x| = |p^k+1b_pcos(px)e^−p2t| ≤ B p^k+1e^−p2a. Comme p²·p^k+1e^−p2a → 0, ces majorants sont sommables : convergence normale sur R × [a, +∞[ pour tout a > 0.

2.7 Dérivée partielle en x

Fixons t > 0 et a ∈ ]0, t]. La fonction x ↦ v_p(x, t) est C¹, Σv_p(·, t) converge simplement et Σ∂v_p/∂x(·, t) converge uniformément sur R (2.6, k = 0). Par le théorème de dérivation des séries de fonctions : ∂f/∂x(x, t) = Σ_p≥1 p b_p cos(px) e^−p2t. Cette série de fonctions continues converge normalement sur chaque R × [a, +∞[. Tout point de R × ]0, +∞[ possède un voisinage contenu dans un tel ensemble, donc ∂f/∂x est continue sur R × ]0, +∞[.

2.8 Dérivée partielle en t

Pour x fixé, t ↦ v_p(x, t) est C¹ sur [a, +∞[ et ∂v_p/∂t = −p²v_p ; la série Σp²v_p converge normalement (2.6, k = 2). Donc ∂f/∂t(x, t) = −Σ_p≥1 p²b_p sin(px) e^−p2t, continue sur R × ]0, +∞[ par le même argument.

2.9 f est C² et solution

On recommence sur les dérivées premières : ∂²v_p/∂x² = −p²v_p, ∂²v_p/∂t∂x = −p²∂v_p/∂x, ∂²v_p/∂t² = p⁴v_p. Toutes ces séries convergent normalement sur R × [a, +∞[ (2.6 avec k = 2 et k = 4). Les dérivées partielles secondes de f existent, s’obtiennent terme à terme et sont continues : f est C² sur R × ]0, +∞[. Par 2.5 : ∂²f/∂x² − ∂f/∂t = Σ(∂²v_p/∂x² − ∂v_p/∂t) = 0.

2.10 La restriction de f à Ω̄_R résout (1)

• F = f restreinte à Ω̄_R = [0, π] × [0, R] est continue (2.4).
• (i) Ω_R = ]0, π[ × ]0, R[ ⊂ R × ]0, +∞[ : F est C² et vérifie l’équation (2.9).
• (ii) sin(0) = sin(pπ) = 0, donc F(0, t) = F(π, t) = 0.
• (iii) F(x, 0) = Σ b_p sin(px). ψ̃ est continue, 2π-périodique et C¹ : par le théorème de Dirichlet (ou de convergence normale), sa série de Fourier converge vers ψ̃. Avec a_p(ψ̃) = 0, cela donne ψ̃(x) = Σ b_p sin(px). Pour x ∈ [0, π], F(x, 0) = ψ(x).

Conclusion : f|_Ω̄R est solution du problème (1) (l’unicité est l’objet de la partie 3).

3ème partie : unicité de la solution

3.1 Un résultat utile

• 3.1.1 : pour t ∈ ]a, b[, (g(t) − g(b))/(t − b) ≥ 0 (numérateur ≤ 0, dénominateur < 0). Par passage à la limite t → b⁻ : g′(b) ≥ 0.
• 3.1.2 : en un maximum local intérieur, g′(x₀) = 0. Taylor-Young à l’ordre 2 donne g(x₀ + h) − g(x₀) = (h²/2)g″(x₀) + o(h²) ≤ 0. On divise par h² et on fait h → 0 : g″(x₀) ≤ 0. C’est le cas n = 1 de 1.2.

3.2 Maximum sur Ω̄_r, 0 < r < R

• 3.2.1 : Ω̄_r = [0, π] × [0, r] est compact et F est continue : F est bornée et atteint son maximum en un point (x₀, t₀).
• 3.2.2 : si (x₀, t₀) ∈ Ω_r (ouvert, inclus dans Ω_R où F est C²), c’est un maximum local : le gradient est nul, ∂F/∂x = ∂F/∂t = 0. De plus x ↦ F(x, t₀) a un maximum local intérieur en x₀, donc par 3.1.2 ∂²F/∂x²(x₀, t₀) ≤ 0.
• 3.2.3 : si (x₀, t₀) ∈ Λ_r, alors t₀ = r < R, donc les points (x, r) et (x₀, t) considérés sont dans Ω_R où F est C². x ↦ F(x, r) sur ]0, π[ a un maximum en x₀, d’où ∂²F/∂x²(x₀, r) ≤ 0 (3.1.2). t ↦ F(x₀, t) sur ]0, r] est maximale en t = r, d’où ∂F/∂t(x₀, r) ≥ 0 (3.1.1).
• 3.2.4 : dans les deux cas, ∂²F/∂x² − ∂F/∂t ≤ 0 en (x₀, t₀), ce qui contredit l’hypothèse > 0. Or Ω̄_r = Ω_r ∪ Λ_r ∪ Γ_r (les coins (0, r) et (π, r) sont dans Γ_r). Donc (x₀, t₀) ∈ Γ_r.

3.3 Cas ∂²F/∂x² − ∂F/∂t > 0 sur Ω_R

• 3.3.1 : z_p ∈ Γ_rp ⊂ Γ_R, qui est fermé et borné donc compact. Par Bolzano-Weierstrass, une sous-suite z_σ(p) converge vers z = (x*, t*) ∈ Γ_R. Comme (r_p) croît, les compacts Ω̄_rp sont emboîtés croissants, donc la suite F(z_σ(p)) = sup_Ω̄rσ(p)F est croissante. Par continuité de F, elle croît vers F(z).
• 3.3.2 : soit (x, t) ∈ [0, π] × [0, R[. Comme r_p → R, il existe p tel que t ≤ r_σ(p), d’où F(x, t) ≤ F(z_σ(p)) ≤ F(z). Pour t = R, (x, R) = lim (x, R − 1/k) et F est continue : l’inégalité passe à la limite. Donc F(x*, t*) ≥ F(x, t) pour tout (x, t) ∈ Ω̄_R : le maximum est atteint sur Γ_R.

3.4 Cas ∂²F/∂x² − ∂F/∂t ≥ 0

• 3.4.1 : x ↦ x²/p est C^∞, donc F_p ∈ C(Ω̄_R) ∩ C²(Ω_R), et ∂²F_p/∂x² − ∂F_p/∂t = (∂²F/∂x² − ∂F/∂t) + 2/p ≥ 2/p > 0.
• 3.4.2 : on applique 3.3 à F_p (avec une suite quelconque r_k ↑ R) : il existe (x_p, t_p) ∈ Γ_R avec F_p(x_p, t_p) = sup_Ω̄RF_p.
• 3.4.3 : Γ_R est compact, donc une sous-suite (x_φ(p), t_φ(p)) converge vers (x*, t*) ∈ Γ_R. Pour (x, t) ∈ Ω̄_R : F(x, t) ≤ F_φ(p)(x, t) ≤ F_φ(p)(x_φ(p), t_φ(p)) ≤ F(x_φ(p), t_φ(p)) + π²/φ(p). Quand p → +∞, par continuité : F(x, t) ≤ F(x*, t*). D’où F(x*, t*) = sup_Ω̄RF avec (x*, t*) ∈ Γ_R.

3.5 F nulle sur Γ_R et solution de l’équation ⇒ F = 0

L’équation donne ∂²F/∂x² − ∂F/∂t = 0 ≥ 0 : par 3.4.3, sup F est atteint sur Γ_R où F = 0, donc F ≤ 0. −F vérifie les mêmes hypothèses : −F ≤ 0. Donc F = 0 sur Ω̄_R.

3.6 Unicité

G = f₁ − f est continue sur Ω̄_R, C² sur Ω_R, et vérifie l’équation (linéarité). Sur Γ_R : G(0, t) = G(π, t) = 0 − 0 = 0 et G(x, 0) = ψ(x) − ψ(x) = 0. Par 3.5, G = 0 : f₁ = f. Le problème (1) admet donc une unique solution, celle de la partie 2.

💡 À retenir pour le CNC MP (Maths I) : ce problème reprend des classiques à connaître : théorème spectral et Schwarz pour la hessienne, conditions d’extremum d’ordre 1 et 2, compacité en dimension finie, prolongement impair et périodique, coefficients de Fourier et inégalité de Bessel (a_p(f′) = p·b_p(f)), théorème de Dirichlet, convergence normale « sur [a, +∞[ pour tout a > 0 » pour obtenir une régularité sur l’ouvert, dérivation terme à terme. Il utilise aussi le principe du maximum avec la perturbation εx² (ou x²/p), qui transforme une inégalité large en inégalité stricte. Révisez aussi l’extraction de sous-suites dans un compact (Bolzano-Weierstrass) : elle tombe presque chaque année au CNC.