Modèle de concours : CNC 2009 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l’épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2009, filière MP des classes préparatoires, concours d’accès aux grandes écoles d’ingénieurs marocaines. L’énoncé fait 4 pages, la calculatrice est interdite ; la durée n’est pas imprimée sur ce scan (pas de page de garde). Il se compose d’un exercice (fonction de deux variables et équation aux dérivées partielles) et d’un problème en deux parties indépendantes sur l’approximation uniforme de x ↦ |x| par des polynômes (polynômes de Lebesgue, intégrales de Wallis). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : l’exercice est un calcul presque automatique : faites-le en premier pour sécuriser des points. Dans le problème, la Partie 1 repose sur trois outils (identité de Vandermonde, règle « a_n+1/a_n = 1 − γ/n + terme sommable », produit de Cauchy) et la Partie 2 sur Wallis. Les deux parties sont indépendantes, mais la constante C de 1.B.3(b) n’est obtenue qu’en 2.A/2.B.3(b). Signalez sur la copie les deux coquilles de l’énoncé relevées plus bas (L_n et P̃_n).

Exercice : g(x, y) = φ(y/x)

1.(a) Régularité et dérivées premières

(x, y) ↦ y/x est C^∞ sur l’ouvert R* × R et φ est C² sur R : par composition, g est C² sur R* × R. En posant t = y/x :

• ∂g/∂x = −(y/x²) φ′(y/x) ;
• ∂g/∂y = (1/x) φ′(y/x).

1.(b) Dérivées secondes

• ∂²g/∂x² = (2y/x³) φ′(y/x) + (y²/x⁴) φ″(y/x) ;
• ∂²g/∂y² = (1/x²) φ″(y/x).

2. Équation (1) : (1 + t²)x″ + 2t x′ = t

Le premier membre est la dérivée de (1 + t²)x′. Donc ((1 + t²)x′)′ = t, soit (1 + t²)x′ = t²/2 + A, puis x′ = 1/2 + (A − 1/2)/(1 + t²). En intégrant : x(t) = t/2 + λ arctan t + μ, (λ, μ) ∈ R².

3.(a) Si g vérifie (2), φ vérifie (1)

Avec t = y/x : ∂²g/∂x² + ∂²g/∂y² = (1/x²)[(1 + t²)φ″(t) + 2t φ′(t)] et y/x³ = t/x². Donc (2) équivaut à (1 + t²)φ″(t) + 2tφ′(t) = t en t = y/x. En prenant x = 1, y = t quelconque, on obtient (1) pour tout t ∈ R.

3.(b) Expression de φ et de g

D’après 2 : φ(t) = t/2 + λ arctan t + μ, donc g(x, y) = y/(2x) + λ arctan(y/x) + μ.

3.(c) Réciproque

Ces φ sont C² et vérifient (1) ; le calcul de 3.(a) est une équivalence, donc Δg = (1/x²)·t = y/x³ : ce sont bien des solutions de (2).

Problème, 1ère partie : polynômes de Lebesgue

A.1 Vandermonde

E et F disjoints à m éléments chacun : E ∪ F a 2m éléments, d’où C_2mⁿ parties à n éléments. Une telle partie s’écrit de façon unique A ∪ B avec A ⊂ E à p éléments et B ⊂ F à n − p éléments (0 ≤ p ≤ n) : on compte C_m^pC_m^n−p choix pour chaque p. Donc Σ_p=0ⁿ C_m^pC_m^n−p = C_2mⁿ.

A.2 Extension à α réel

• (a) α ↦ C_α^k = α(α−1)…(α−k+1)/k! est un polynôme en α de degré k ; de même α ↦ C_2αⁿ. Donc P(α) = C_2αⁿ − Σ C_α^pC_α^n−p est polynomiale de degré ≤ n. Pour α = m ∈ N, la formule de C_m^k coïncide avec le nombre combinatoire (nul si k > m) et l’argument de A.1 marche pour tout m : tout entier naturel m est un zéro de P.
• (b) Un polynôme ayant une infinité de zéros est nul : C_2αⁿ = Σ_p=0ⁿ C_α^pC_α^n−p pour tout réel α.

B.1 a_n+1/a_n = 1 + w_n, (w_n) sommable

ln a_n+1 − ln a_n = ln(1 + w_n) (1 + w_n > 0 comme quotient de positifs). w_n → 0 donc ln(1 + w_n) ~ w_n et |ln(1 + w_n)| ≤ 2|w_n| à partir d’un rang : la série télescopique converge absolument, ln a_n → L ∈ R, d’où a_n → e^L > 0.

B.2 b_n+1/b_n = 1 − γ/n + w′_n

• (a) Posons a_n = n^γb_n. a_n+1/a_n = (1 + 1/n)^γ(1 − γ/n + w′_n) = (1 + γ/n + O(1/n²))(1 − γ/n + w′_n) = 1 + w′_n(1 + O(1/n)) + O(1/n²) = 1 + w_n avec (w_n) sommable. Par B.1, n^γb_n → l > 0 : b_n ~ l/n^γ.
• (b) Séries à termes positifs équivalents et Riemann : Σ b_n converge si et seulement si γ > 1.

B.3 c_n = (−1)ⁿ⁻¹C_1/2ⁿ

• (a) C_1/2ⁿ⁺¹/C_1/2ⁿ = (1/2 − n)/(n + 1), donc c_n+1/c_n = −(1/2 − n)/(n + 1) = (2n − 1)/(2(n + 1)). Comme c₁ = 1/2 > 0 et ce quotient est > 0 pour n ≥ 1, tous les c_n sont > 0.
• (b) (2n − 1)/(2n + 2) = (1 − 1/(2n))(1 + 1/n)⁻¹ = 1 − 3/(2n) + O(1/n²). B.2 avec γ = 3/2 : c_n ~ C/n^3/2, C > 0, donc C_1/2ⁿ ~ C(−1)ⁿ⁻¹/n^3/2.

C.1 Rayon de Σ C_1/2ⁿ(−1)ⁿzⁿ

|coefficient| = c_n et c_n+1/c_n → 1 : par d’Alembert, R = 1.

C.2 Convergence normale sur le disque fermé

Pour |z| ≤ 1, |C_1/2ⁿ(−1)ⁿzⁿ| ≤ c_n ~ C/n^3/2, terme général d’une série convergente (Riemann 3/2 > 1) : convergence normale sur |z| ≤ 1, et f est continue sur ce disque.

C.3 f(z)² = 1 − z

Pour |z| ≤ 1 la série converge absolument, donc son carré est la somme du produit de Cauchy : f(z)² = Σ_n (Σ_p=0ⁿ C_1/2^pC_1/2^n−p)(−z)ⁿ = Σ_n C₁ⁿ(−z)ⁿ par A.2(b) avec α = 1/2. Or C₁⁰ = C₁¹ = 1 et C₁ⁿ = 0 pour n ≥ 2 : f(z)² = 1 − z.

C.4 f(x) = √(1 − x) sur [−1, 1]

Pour x ∈ ]−1, 1[, f(x)² = 1 − x ≠ 0, donc f ne s’annule pas. f est continue et réelle sur l’intervalle ]−1, 1[, f(0) = C_1/2⁰ = 1 > 0 ; par le théorème des valeurs intermédiaires, f > 0 sur ]−1, 1[, donc f(x) = √(1 − x). Par continuité de f sur [−1, 1] (C.2), l’égalité s’étend à x = ±1 : f(x) = √(1 − x) pour x ∈ [−1, 1].

C.5 Polynômes de Lebesgue

• (a) Pour n ≥ 1 : C_1/2ⁿ = (1/2)(−1/2)(−3/2)…(−(2n−3)/2)/n! = (−1)ⁿ⁻¹·1·3···(2n−3)/(2ⁿn!). Avec 1·3···(2n−3) = (2n−2)!/(2ⁿ⁻¹(n−1)!), on obtient (−1)ⁿ⁻¹(2n−2)!/(2²ⁿ⁻¹n!(n−1)!). De l’autre côté, C_2nⁿ/((2n−1)2²ⁿ) = (2n)(2n−1)(2n−2)!/((2n−1)2²ⁿ·n!·n(n−1)!) = (2n−2)!/(2²ⁿ⁻¹n!(n−1)!). Pour n = 0 les deux membres valent 1. D’où C_1/2ⁿ = (−1)ⁿ⁻¹C_2nⁿ/((2n−1)2²ⁿ).
• (b) Pour x ∈ [−1, 1], 1 − x² ∈ [0, 1] et |x| = √(1 − (1 − x²)) = f(1 − x²). Donc |x| = Σ_k≥0 C_1/2^k(−1)^k(1 − x²)^k = −Σ_k≥0 C_2k^k(1 − x²)^k/((2k−1)2^2k). Le reste vérifie sup_[−1,1] | |x| − L_n(x) | ≤ Σ_k>n c_k → 0 (reste d’une série convergente) : L_n → |x| uniformément sur [−1, 1].

Coquille d’énoncé à signaler : L_n est imprimé −Σ C_2k^k(1/(2k−1))(1 − X²)^k, sans le facteur 1/2^2k. Sous cette forme, en x = 0 les termes C_2k^k/(2k−1) tendent vers +∞ et la suite diverge. Le polynôme voulu (cohérent avec (a)) est L_n = −Σ_k=0ⁿ C_2k^k(1 − X²)^k/((2k−1)2^2k), c’est-à-dire la somme partielle de f(1 − x²).

Problème, 2ème partie : suites de polynômes plus simples

A.1 Intégrales de Wallis I_n = ∫₀^π/2 cosⁿt dt

• (a) I₀ = π/2, I₁ = 1. cosⁿ est continue, positive, non identiquement nulle sur [0, π/2] : I_n > 0.
• (b) Intégration par parties sur cosⁿ⁻¹t · cos t : I_n = [cosⁿ⁻¹t sin t]₀^π/2 + (n−1)∫cosⁿ⁻²t sin²t dt = (n−1)(I_n−2 − I_n), d’où nI_n = (n−1)I_n−2.
• (c) La suite nI_nI_n−1 = (n−1)I_n−2I_n−1 est constante, égale à 1·I₁I₀ : nI_nI_n−1 = π/2.

A.2 Équivalent

• (a) cosⁿ ≤ cosⁿ⁻¹ sur [0, π/2] : (I_n) décroissante. Pour n ≥ 2 : I_n/I_n−1 ≥ I_n/I_n−2 = (n−1)/n et I_n/I_n−1 ≤ 1 ; pour n = 1 c’est 0 ≤ 2/π ≤ 1. Donc (n−1)/n ≤ I_n/I_n−1 ≤ 1.
• (b) Par encadrement I_n ~ I_n−1, donc nI_n² ~ nI_nI_n−1 = π/2 et, I_n étant positif, I_n ~ √(π/(2n)).

B.1 Intégrabilité

h_n(t) = (1 − (1 − t²)ⁿ)/t² est continue sur ]0, 1] et (1 − t²)ⁿ = 1 − nt² + o(t²) donne h_n(t) → n en 0 : h_n se prolonge par continuité sur [0, 1], elle est intégrable sur ]0, 1].

B.2 Suite v_n(1)

• (a) Changement t = sin θ : ∫₀¹(1 − t²)^pdt = ∫₀^π/2cos^2pθ cos θ dθ = I_2p+1.
• (b) Avec q = 1 − t², 1 − qⁿ = (1 − q)Σ_p=0ⁿ⁻¹q^p, donc h_n(t) = Σ_p=0ⁿ⁻¹(1 − t²)^p et v_n(1) = Σ_p=0ⁿ⁻¹ I_2p+1.
• (c) I_2p+1 ~ √(π/(4p+2)) ~ (√π/2)·1/√p, terme positif d’une série divergente : les sommes partielles sont équivalentes. Par comparaison série-intégrale, Σ_p=1ⁿ⁻¹1/√p ~ ∫₁ⁿdt/√t = 2√n − 2. Donc v_n(1) ~ (√π/2)∫₁ⁿdt/√t ~ √(πn).

B.3 Suite u_n(1)

• (a) En itérant A.1(b) : I_2n = [(2n−1)(2n−3)···1]/[(2n)(2n−2)···2]·π/2 = (2n)!/(2²ⁿ(n!)²)·π/2, donc C_2nⁿ/2²ⁿ = (2/π)I_2n.
• (b) Avec A.2(b) : C_2nⁿ/2²ⁿ ~ (2/π)√(π/(4n)) = 1/√(πn). Par 1.C.5(a), |C_1/2ⁿ| = C_2nⁿ/((2n−1)2²ⁿ) ~ 1/(2√π·n^3/2) : C = 1/(2√π).
• (c) u_n(1) = (C_2nⁿ/2²ⁿ)v_n(1) ~ (1/√(πn))·√(πn) = 1 : u_n(1) → 1.

B.4 Convergence uniforme sur [a, 1], 0 < a < 1

• (a) Pour x, y ∈ [a, 1] : |u_n(x) − u_n(y)| = (C_2nⁿ/2²ⁿ)|∫_y^xh_n| et 0 ≤ h_n(t) ≤ 1/t² ≤ 1/a² : u_n est k_n-lipschitzienne, k_n = C_2nⁿ/(a²2²ⁿ).
• (b) Pour x ∈ [a, 1] : |u_n(x) − 1| ≤ k_n(1 − x) + |u_n(1) − 1| ≤ k_n + |u_n(1) − 1|, indépendant de x, et k_n ~ 1/(a²√(πn)) → 0 : (u_n) → 1 uniformément sur [a, 1].

B.5 Borne uniforme

• (a) v_n est continue sur [0, 1] (intégrale d’une fonction intégrable, v_n(0) = 0), dérivable sur ]0, 1] de dérivée h_n ≥ 0 : u_n est croissante sur [0, 1].
• (b) 0 = u_n(0) ≤ u_n(x) ≤ u_n(1), et (u_n(1)) converge donc est bornée : M = sup_n u_n(1) convient.

C.1 P_n(x) = x u_n(x)

Binôme : 1 − (1 − t²)ⁿ = Σ_k=1ⁿ(−1)^k−1C_n^kt^2k, donc h_n(t) = Σ(−1)^k−1C_n^kt^2k−2 et v_n(x) = Σ(−1)^k−1C_n^kx^2k−1/(2k−1). En multipliant par x·C_2nⁿ/2²ⁿ : P_n(x) = x u_n(x) sur [0, 1] (en x = 0 les deux valent 0).

C.2 P_n → |x| uniformément

Pour x ∈ [0, 1] : |P_n(x) − x| = x|u_n(x) − 1|. Sur [0, a] c’est ≤ a(M + 1) ; sur [a, 1] c’est ≤ sup_[a,1]|u_n − 1|. Soit ε > 0 : on choisit a = min(1/2, ε/(2(M+1))), puis n₀ tel que sup_[a,1]|u_n − 1| ≤ ε/2 pour n ≥ n₀ (B.4). Alors sup_[0,1]|P_n(x) − x| ≤ ε. P_n et |x| étant pairs, P_n → |x| uniformément sur [−1, 1].

C.3 Q_n

2k/(2k−1) = 1 + 1/(2k−1), donc Q_n = P_n + (C_2nⁿ/2²ⁿ)Σ(−1)^k−1C_n^kX^2k = P_n + (C_2nⁿ/2²ⁿ)(1 − (1 − X²)ⁿ). Sur [−1, 1], 0 ≤ 1 − (1 − x²)ⁿ ≤ 1 et C_2nⁿ/2²ⁿ ~ 1/√(πn) → 0 : le second terme tend uniformément vers 0, donc Q_n → |x| uniformément.

C.4 P̃_n et Q̃_n

On remplace C_2nⁿ/2²ⁿ par son équivalent 1/√(nπ) : P̃_n = λ_nP_n, Q̃_n = λ_nQ_n avec λ_n = (1/√(nπ))/(C_2nⁿ/2²ⁿ) → 1. Sur [−1, 1], |P_n(x)| = |x|u_n(|x|) ≤ M et |Q_n| ≤ M + 1, donc |P̃_n − |x|| ≤ |λ_n − 1|M + |P_n − |x|| → 0 uniformément ; idem pour Q̃_n. Les deux suites convergent uniformément vers |x| sur [−1, 1].

Coquille d’énoncé : P̃_n et Q̃_n sont imprimés avec la même formule (facteur 2k/(2k−1)). Le P̃_n voulu est vraisemblablement avec 1/(2k−1), par analogie avec P_n. La preuve ci-dessus couvre les deux lectures.

💡 À retenir pour le CNC MP (Maths I) : ce sujet mobilise des classiques à maîtriser par cœur : dérivées de fonctions composées de deux variables, EDO se ramenant à (u·x′)′ = …, Vandermonde et prolongement polynomial d’une identité, règle de Raabe-Duhamel (a_n+1/a_n = 1 − γ/n + O(1/n²) ⇒ a_n ~ l/n^γ), série du binôme (1 + x)^α et produit de Cauchy, intégrales de Wallis et C_2nⁿ/4ⁿ ~ 1/√(πn), comparaison série-intégrale, et découpage [0, a] ∪ [a, 1] pour la convergence uniforme. Rédigez chaque justification de convergence (normale, uniforme, domination) avec le théorème cité : c’est là que se jouent les points.