Modèle de concours : CNC 2008 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2008, filière MP des classes préparatoires, pour l'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : ENIM). Durée : 4 heures, calculatrice interdite, 5 pages. C'est un problème en quatre parties qui reconstruit, avec les outils du programme MP, la théorie des fonctions holomorphes : la « propriété (H) » est la condition de Cauchy-Riemann ∂f̃/∂y = i ∂f̃/∂x. On montre qu'elle entraîne l'analyticité (séries de Fourier, formule de Gutzmer), puis on en déduit Liouville, d'Alembert-Gauss, le prolongement analytique, le principe du maximum et le calcul de ∫e^−zt²+ivt dt. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : le fil conducteur est simple : (H) ⇒ développable en série entière (Partie 3) ⇒ tous les grands théorèmes (Partie 4). La Partie 2 est très rentable (calculs de dérivées partielles, règle de la chaîne) ; la Partie 3 demande de bien citer les théorèmes (dérivation sous ∫, convergence normale d'une série de Fourier, Parseval). Notez que (H) signifie : ∂f̃/∂y = i ∂f̃/∂x ; posez systématiquement f̃ = P + iQ quand il faut « déplier » les calculs.

1^ère Partie : résultats préliminaires

1. L'application ψ(x,y) = x + iy

• (a) ψ est ℝ-linéaire, bijective d'inverse z ↦ (Re z, Im z), et |ψ(x,y)| = ‖(x,y)‖ : c'est une isométrie, donc ψ et ψ⁻¹ sont continues.
• (b) {(x,y) ; x + iy ∈ Ω} = ψ⁻¹(Ω) : image réciproque d'un ouvert par une application continue, donc ouvert de ℝ².
• (c) Ω = Re⁻¹(]0,+∞[) avec Re continue (1-lipschitzienne) : ouvert. Ω est convexe (si Re z₁, Re z₂ > 0, Re((1−t)z₁ + t z₂) > 0), donc le segment t ↦ (1−t)z₁ + t z₂ relie deux points : connexe par arcs.

2. Zéros isolés d'une série entière

• (a) a_n = 0 pour n < p, donc f(z) = z^p Σ_k≥0 a_k+p z^k. La série g(z) = Σ_k≥0 a_k+p z^k a le même rayon R (multiplier par z^p ne change pas la convergence pour z ≠ 0), et g(0) = a_p ≠ 0.
• (b) g est continue sur D(0,R) et g(0) ≠ 0 : il existe r ∈ ]0,R[ tel que g ne s'annule pas sur D(0,r). Pour z ∈ D(0,r)∖{0}, f(z) = z^p g(z) ≠ 0.

2^ème Partie : la propriété (H)

1. Exemples

• (a) f̃(x,y) = e^xe^iy est C^∞ ; ∂f̃/∂x = e^xe^iy, ∂f̃/∂y = i e^xe^iy = i ∂f̃/∂x : e^z vérifie (H).
• (b) Avec r = √(x² + y²) et x > 0 : |y/r| < 1, et arcsin est C¹ sur ]−1,1[, donc f̃(x,y) = ½ ln(x²+y²) + i arcsin(y/r) est C¹. Comme arcsin'(y/r) = r/x :
  ∂/∂x arcsin(y/r) = (r/x)(−xy/r³) = −y/r² ; ∂/∂y arcsin(y/r) = (r/x)(x²/r³) = x/r².
  Donc ∂f̃/∂x = (x − iy)/r² = 1/z et ∂f̃/∂y = (y + ix)/r² = i(x − iy)/r² = i/z = i ∂f̃/∂x : (H) est vérifiée.
  Si θ = arcsin(y/|z|) ∈ ]−π/2, π/2[, alors sin θ = y/|z| et cos θ = √(1 − y²/|z|²) = x/|z| (car x > 0), donc e^f(z) = |z| e^iθ = z : f est une détermination du logarithme sur Ω.
• (c) f̃(x,y) = P(x + iy) est polynomiale en (x,y), donc C¹. Pour z^k : ∂/∂x = k z^k−1, ∂/∂y = ik z^k−1. Par linéarité : ∂f̃/∂x (x,y) = P'(x + iy) et ∂f̃/∂y = iP'(z) : (H) est vérifiée.
• (d) f̃(x,y) = x − iy : ∂f̃/∂x = 1, ∂f̃/∂y = −i ≠ i. z ↦ z̄ ne vérifie pas (H).

2. Fonction définie par une intégrale

• (a) |e^−zt²+ivt| = e^{−Re(z) t²}. Si Re z > 0, c'est intégrable (o(1/t²)) ; si Re z ≤ 0, le module est ≥ 1 et ne tend pas vers 0 : non intégrable. Intégrable sur ℝ ⇔ Re z > 0.
• (b) f̃_v(x,y) = ∫e^{−(x+iy)t²+ivt} dt. À x > 0 fixé, la dérivée en y de l'intégrande est −it²e^−zt²+ivt, de module t²e^−xt² intégrable et indépendant de y. Par dérivation sous ∫ : ∂f̃_v/∂y (x,y) = −i ∫ t² e^−zt²+ivt dt.
• (c) En x, la dérivée de l'intégrande est −t²e^−zt²+ivt, de module t²e^−xt² ≤ t²e^−at² pour x ≥ a > 0 : domination sur [a,+∞[ pour tout a > 0, donc sur ]0,+∞[. D'où ∂f̃_v/∂x = −∫t²e^−zt²+ivt dt, c'est-à-dire ∂f̃_v/∂y = i ∂f̃_v/∂x.
• (d) Les deux dérivées partielles sont continues sur U par le théorème de continuité sous ∫ (domination t²e^−at² sur [a,+∞[×ℝ), donc f̃_v est C¹, et la relation de (c) donne (H).

3. Somme d'une série entière

• (a) Pour x ∈ I = ]−√(R²−y₀²), √(R²−y₀²)[, |x + iy₀| < R. Posons u_n(x) = a_n(x + iy₀)ⁿ, C¹, u_n'(x) = n a_n(x + iy₀)ⁿ⁻¹. Sur un segment [−c,c] ⊂ I, avec ρ = √(c² + y₀²) < R : |u_n'(x)| ≤ n|a_n|ρⁿ⁻¹, terme d'une série convergente (la série dérivée a le rayon R). Convergence simple de Σu_n + convergence normale de Σu_n' sur tout segment ⇒ x ↦ f(x + iy₀) est C¹ sur I et sa dérivée est Σ_n≥1 n a_n(x + iy₀)ⁿ⁻¹.
• (b) Même raisonnement en y à x₀ fixé (u_n' = i n a_n(x₀ + iy)ⁿ⁻¹). En tout (x,y) ∈ U : ∂f̃/∂x = Σ n a_n zⁿ⁻¹ et ∂f̃/∂y = i ∂f̃/∂x.
• (c) ∂f̃/∂x = S∘ψ où S(z) = Σ n a_n zⁿ⁻¹ est continue sur D(0,R) (somme de série entière) : dérivées partielles continues, f̃ est C¹ et f vérifie (H).

4. Propriétés générales

• (a) Linéarité de la dérivation : ∂_y(λf̃ + g̃) = iλ∂_xf̃ + i∂_xg̃ = i∂_x(λf̃ + g̃) : λf + g vérifie (H).
• (b) Leibniz : ∂_y(f̃g̃) = (i∂_xf̃)g̃ + f̃(i∂_xg̃) = i∂_x(f̃g̃) : fg vérifie (H).
• (c) Écrivons f̃ = P + iQ. Alors (F∘f)~(x,y) = F̃(P(x,y), Q(x,y)), C¹ par composition. Règle de la chaîne et (H) pour F (∂_YF̃ = i∂_XF̃) :
  ∂_x(F∘f)~ = ∂_XF̃ ∂_xP + ∂_YF̃ ∂_xQ = ∂_XF̃ · ∂_xf̃, et de même ∂_y(F∘f)~ = ∂_XF̃ · ∂_yf̃ = i ∂_XF̃ · ∂_xf̃. Donc F∘f vérifie (H).
• (d) F(w) = 1/w sur l'ouvert ℂ* : F̃ est C¹, ∂_XF̃ = −1/w², ∂_YF̃ = −i/w² = i∂_XF̃. Comme f(Ω) ⊂ ℂ*, (c) donne : 1/f vérifie (H).
• (e) i. ∂f̃/∂y (x₀,y₀) = i(a + ib) = −b + ia, donc df̃(x₀,y₀)(h,k) = (a + ib)(h + ik) = (ah − bk) + i(bh + ak), et la matrice jacobienne est A = [[a, −b], [b, a]].
• (e) ii. Avec a + ib = ρe^iθ (ρ > 0) : A = ρ [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]. L'endomorphisme est une similitude directe de rapport ρ = √(a²+b²) et d'angle θ = arg(a + ib) ; c'est une rotation si et seulement si a² + b² = 1.
• (f) Si f̃ est C², ∂_yyf̃ = ∂_y(i∂_xf̃) = i∂_x(∂_yf̃) (Schwarz) = i∂_x(i∂_xf̃) = −∂_xxf̃. Donc Δf̃ = 0 : f̃ est harmonique.

3^ème Partie : analyticité des applications vérifiant (H)

1.

Ω est ouvert et z₀ ∈ Ω : il existe ρ > 0 avec D(z₀,ρ) ⊂ Ω, donc l'ensemble est non vide. Il est stable par passage à un ρ plus petit, donc D(z₀,R) = ∪D(z₀,ρ) ⊂ Ω (utile pour la suite).

2. φ(r,θ) = f̃(x₀ + r cos θ, y₀ + r sin θ)

(r,θ) ↦ (x₀ + r cos θ, y₀ + r sin θ) est C^∞ de ]0,R[×ℝ dans U (car D(z₀,R) ⊂ Ω), donc φ est C¹. Règle de la chaîne et (H) :
∂φ/∂r = cos θ ∂_xf̃ + sin θ ∂_yf̃ = e^iθ ∂f̃/∂x ; ∂φ/∂θ = −r sin θ ∂_xf̃ + r cos θ ∂_yf̃ = i r e^iθ ∂f̃/∂x,
les dérivées de f̃ étant prises en (x₀ + r cos θ, y₀ + r sin θ). Relation : ∂φ/∂θ = i r ∂φ/∂r.

3. Série de Fourier de φ_r

• (a) φ_r(θ + 2π) = φ_r(θ) car e^iθ est 2π-périodique ; φ_r est C¹ comme application partielle de φ, et φ_r'(θ) = i r e^iθ ∂f̃/∂x (x₀ + r cos θ, y₀ + r sin θ).
• (b) φ_r continue, C¹, 2π-périodique : c_n(φ_r') = in c_n(r). Par Bessel (ou Parseval) Σ|n c_n(r)|² < ∞, et pour n ≠ 0, |c_n| ≤ ½(1/n² + n²|c_n|²) : (c_n(r)) est sommable. La série de Fourier converge donc normalement, donc uniformément sur ℝ ; comme φ_r est continue et C¹ par morceaux (théorème de Dirichlet, ou : la somme uniforme a les mêmes coefficients et deux fonctions continues de mêmes coefficients sont égales), φ_r(θ) = Σ_n∈ℤ c_n(r) e^inθ pour tout θ.

4. h_n(r) = c_n(r)/rⁿ

• (a) c_n(r) = (1/2π) ∫₀^2π f(z₀ + re^iθ) e^−inθ dθ.
• (b) Sur [a,b] ⊂ ]0,R[, (r,θ) ↦ ∂φ/∂r (r,θ) e^−inθ est continue sur le compact [a,b]×[0,2π], donc bornée : dérivation sous ∫ sur un segment, c_n'(r) = (1/2π)∫∂_rφ e^−inθ dθ. Avec ∂_rφ = (1/(ir))∂_θφ et une IPP (le crochet est nul par périodicité) : ∫₀^2π∂_θφ e^−inθ dθ = in ∫₀^2π φ e^−inθ dθ. D'où c_n'(r) = (n/r) c_n(r).
• (c) h_n'(r) = c_n'(r)/rⁿ − n c_n(r)/rⁿ⁺¹ = 0 sur l'intervalle ]0,R[ : h_n constante.
• (d) Pour n ≥ 1, h_−n(r) = rⁿc_−n(r) = K constante. Pour 0 < r ≤ r₁ < R, |c_−n(r)| ≤ M = max de |f| sur le disque fermé D̄(z₀,r₁) (compact contenu dans Ω, f continue) : c_−n est bornée au voisinage de 0⁺. Donc |K| ≤ M rⁿ → 0, K = 0 et c_−n(r) = 0 sur ]0,R[.

5. Développement en série entière

Pour n ≥ 0, c_n(r) = a_nrⁿ. Pour tout r < R, Σ|a_n|rⁿ = Σ|c_n(r)| < ∞ (3.b), donc le rayon de Σa_nzⁿ est ≥ R. Pour z = z₀ + re^iθ, 0 < r < R : f(z) = φ_r(θ) = Σ_n≥0 c_n(r)e^inθ = Σ a_n(re^iθ)ⁿ = Σ a_n(z − z₀)ⁿ. En z₀ : a₀ = c₀(r) = moyenne de f sur le cercle, qui tend vers f(z₀) quand r → 0 (continuité uniforme), et c₀ est constante, donc a₀ = f(z₀).

6. Unicité

Si f(z) = Σb_n(z − z₀)ⁿ aussi sur D(z₀,R), alors, pour 0 < r < R, la série Σb_nrⁿe^inθ converge normalement en θ, et l'intégration terme à terme donne c_n(r) = b_nrⁿ = a_nrⁿ. Donc b_n = a_n (unicité des coefficients).

7. Formule de Gutzmer

Théorème utilisé : formule de Parseval pour la fonction φ_r, continue et 2π-périodique : (1/2π)∫₀^2π|φ_r|² = Σ_n∈ℤ|c_n(r)|². Comme c_n(r) = 0 pour n < 0 et c_n(r) = a_nrⁿ pour n ≥ 0 : (1/2π)∫₀^2π|f(z₀ + re^iθ)|² dθ = Σ_n≥0|a_n|²r²ⁿ.

4^ème Partie : propriétés fondamentales

A. Théorème de Liouville

• 1. Si |f| ≤ M sur ℂ, Gutzmer donne Σ|a_n|²r²ⁿ ≤ M² pour tout r > 0, donc pour n ≥ 1 : |a_n|² ≤ M²/r²ⁿ → 0 quand r → +∞. a_n = 0 pour n ≥ 1 : f = a₀ est constante.
• 2.(a) |P(z)| = |a_d||z|^d·|1 + Σ_k<d a_k/(a_dz^d−k)| et le dernier facteur tend vers 1 : |P(z)| ~ |a_d||z|^d, donc g(z) → 0 quand |z| → +∞ (d ≥ 1). Il existe A avec |g| ≤ 1 pour |z| ≥ A ; sur le compact D̄(0,A), g est continue (P ne s'annule pas) donc bornée : g est bornée.
• 2.(b) P vérifie (H) (2.1.c) et ne s'annule pas, donc g = 1/P vérifie (H) (2.4.d). Par Liouville, g est constante, donc P aussi : contradiction. Tout polynôme non constant a une racine dans ℂ (d'Alembert-Gauss).

B. Principe du prolongement analytique

• 1. Ω est connexe par arcs : il existe γ : [0,1] → Ω continue, γ(0) = z₀, γ(1) = z₁.
• 2. 0 ∈ I (f(z₀) = 0) et I ⊂ [0,1] : I est non vide majoré, σ = sup I existe. Par continuité de γ en 0, il existe η > 0 avec γ([0,η]) ⊂ D(z₀,ρ), donc η ∈ I et σ ≥ η > 0. Pour s < σ, il existe t ∈ I avec t > s, donc f(γ(s)) = 0 ; par continuité de f∘γ, f(γ(σ)) = 0 : σ ∈ I.
• 3. Si t ∈ I, [0,t] ⊂ I ; donc [0,σ] ⊂ I. f(γ(1)) = f(z₁) ≠ 0 donc 1 ∉ I et σ < 1. Tout t ∈ ]σ,1] n'est pas dans I : il existe s ∈ ]σ,t] avec f(γ(s)) ≠ 0. On construit par récurrence t_k en appliquant ceci à un point de ]σ, min(t_k−1, σ + 1/k)[ : on obtient (t_k) strictement décroissante, σ < t_k ≤ σ + 1/k, f(γ(t_k)) ≠ 0. Si γ(σ) = z₀, alors γ(t_k) → z₀, donc γ(t_k) ∈ D(z₀,ρ) pour k grand et f(γ(t_k)) = 0 : absurde. Donc γ(σ) ≠ z₀.
• 4.(a) On applique la 3^ème Partie au point γ(σ) ∈ Ω : il existe r₁ > 0 (le R associé à γ(σ)) avec D(γ(σ),r₁) ⊂ Ω et f(z) = Σa_n(z − γ(σ))ⁿ sur ce disque, rayon ≥ r₁.
• 4.(b) Si tous les a_n étaient nuls, f serait nulle sur D(γ(σ),r₁), qui contient γ(t_k) pour k grand (γ(t_k) → γ(σ)) : contradiction avec B.3. Les a_n ne sont donc pas tous nuls, et la question 2.(b) des préliminaires donne r ∈ ]0,r₁[ tel que f(z) ≠ 0 sur D(γ(σ),r)∖{γ(σ)}.
• 5. L'ensemble {t ∈ [0,σ] ; γ(t) = γ(σ)} est fermé (image réciproque d'un point) et non vide : sa borne inférieure β est atteinte, γ(β) = γ(σ), et β > 0 car γ(0) = z₀ ≠ γ(σ). Par continuité de γ en β, il existe t ∈ [0,β[ avec γ(t) ∈ D(γ(σ),r), et γ(t) ≠ γ(σ) par minimalité de β. Donc γ([0,σ]) ∩ D(γ(σ),r)∖{γ(σ)} ≠ ∅. Mais t ∈ [0,σ] ⊂ I donne f(γ(t)) = 0, alors que 4.(b) donne f(γ(t)) ≠ 0 : contradiction. Conclusion : f est nulle sur Ω.

C. Applications

1. Principe du maximum.

• (a) D(z₀,ρ) ⊂ Ω donc ρ ≤ R. Pour 0 < r < ρ, Gutzmer : Σ_n≥0|a_n|²r²ⁿ = (1/2π)∫|f(z₀ + re^iθ)|² ≤ |f(z₀)|² = |a₀|². Donc Σ_n≥1|a_n|²r²ⁿ ≤ 0, soit a_n = 0 pour n ≥ 1, et f(z) = a₀ = f(z₀) sur D(z₀,ρ).
• (b) f − f(z₀) vérifie (H) (une constante vérifie (H) ; 2.4.a), est nulle sur D(z₀,ρ), et Ω est connexe par arcs : par B, f = f(z₀) sur Ω.

2. Calcul d'une intégrale.

• (a) i. ∂/∂v de e^−ut²+ivt = it e^−ut²+ivt, de module |t|e^−ut² intégrable, indépendant de v : μ est dérivable et μ'(v) = i∫t e^−ut²e^ivt dt. IPP avec t e^−ut² = −(1/2u)(e^−ut²)' (crochet nul à l'infini) : ∫t e^−ut²e^ivt dt = (iv/2u) μ(v). D'où μ'(v) = −(v/2u) μ(v).
• (a) ii. Changement t = s/√u : μ(0) = √(π/u). L'équation linéaire donne μ(v) = √(π/u) e^−v²/(4u).
• (b) i. Pour u > 0 réel, f(u) = ln u + i arcsin 0 = ln u, donc √π e^−f(u)/2e^−v²/(4u) = √π u^−1/2e^−v²/(4u) = μ(v) = f_v(u).
• (b) ii. f vérifie (H) (2.1.b) ; z ↦ z vérifie (H) et ne s'annule pas sur Ω, donc 1/z aussi (2.4.d) ; la combinaison z ↦ −f(z)/2 − v²/(4z) vérifie (H) (2.4.a) ; on compose par exp (2.1.a et 2.4.c) puis on multiplie par √π : z ↦ √π e^−f(z)/2e^−v²/(4z) vérifie (H).
• (b) iii. Soit D = f_v − G, où G est la fonction de ii. D vérifie (H) sur Ω (2.2.d et 2.4.a) et D est nulle sur ]0,+∞[ (i). D(1,1) ⊂ Ω ; par la 3^ème Partie, D(z) = Σa_n(z − 1)ⁿ sur D(1,1). La série w ↦ Σa_nwⁿ s'annule pour w réel dans ]−1,1[ ; si ses coefficients n'étaient pas tous nuls, la question 2.(b) des préliminaires donnerait r > 0 avec une somme non nulle sur D(0,r)∖{0}, ce qui contredit l'annulation en w ∈ ]0,r[. Donc D = 0 sur D(1,1). Ω étant connexe par arcs (1.1.c), le prolongement analytique (B) donne D = 0 sur Ω : ∫_−∞^+∞e^−zt²+ivt dt = √π e^−f(z)/2e^−v²/(4z) pour tout z ∈ Ω (e^−f(z)/2 est la racine carrée principale de 1/z).

💡 Résultats clés à retenir : (H) = Cauchy-Riemann ; jacobienne [[a,−b],[b,a]] = similitude directe ; Δf̃ = 0 ; c_n'(r) = (n/r)c_n(r) ⇒ développement en série entière ; Gutzmer = Parseval ⇒ Liouville, principe du maximum ; ∫e^−ut²+ivt dt = √(π/u) e^−v²/(4u). À réviser pour le CNC MP : topologie de ℝ² et ℂ (ouverts, connexité par arcs, bornes sup/inf et compacité), fonctions de classe C¹ et règle de la chaîne, dérivation et continuité sous le signe ∫, séries de fonctions (convergence normale, dérivation terme à terme), séries entières (rayon, zéros isolés, unicité), séries de Fourier (Dirichlet, Parseval, coefficients de la dérivée), équations différentielles linéaires.