Modèle de concours : CNC 2005 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Cette épreuve est la Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2005 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs ou assimilées (présidence EHTP), filière MP, durée 4 heures, calculatrice interdite. C'est un problème d'analyse sur les séries trigonométriques Σ(a_ncos nx + b_nsin nx) : résultats préliminaires (dérivée seconde symétrique, convergence des coefficients), identification des coefficients de Fourier quand la somme est continue (méthode de Riemann), puis séries impaires à coefficients décroissants et condition nécessaire nb_n → 0. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : trois outils reviennent partout : la transformation d'Abel (u_n = S_n − S_n−1), la convergence normale pour dériver ou intégrer terme à terme, et les formules c_n(G') = in c_n(G) (version réelle : a_n(G') = n b_n(G), b_n(G') = −n a_n(G)). La partie II est le cœur (théorème de Riemann) : chaque sous-question est courte si l'on suit exactement l'indication.

I. Résultats préliminaires

A. Un résultat de dérivation

• 1. f deux fois dérivable, Taylor-Young à l'ordre 2 : f(x₀ + h) = f(x₀) + h f'(x₀) + (h²/2) f''(x₀) + o(h²) et f(x₀ − h) = f(x₀) − h f'(x₀) + (h²/2) f''(x₀) + o(h²).
• 2. En additionnant, les termes en f' se compensent : f(x₀ + h) + f(x₀ − h) − 2f(x₀) = h²f''(x₀) + o(h²), d'où le quotient tend vers f''(x₀).
• 3. Si f'' = 0, f' est constante et f est affine (inégalité des accroissements finis, deux fois).

B. Un résultat de convergence (v_n → 0 simplement)

• 1-1. Si |b_n| ≤ M : v_n² → 0 simplement sur [0, 2π] et |v_n²| ≤ M², intégrable sur ce segment. Par le théorème de convergence dominée : ∫₀^2π v_n² → 0.
• 1-2. ∫₀^2π sin²(nx)dx = ∫₀^2π(1 − cos 2nx)/2 dx = π, donc πb_n² = ∫₀^2π v_n² → 0 : b_n → 0.
• 2-1. 0 ≤ c_n ≤ 1 : (c_n) bornée. De plus c_n ≤ |b_n| donne |w_n(x)| ≤ |v_n(x)| → 0 : w_n → 0 simplement.
• 2-2. On applique B.1 à la suite bornée (c_n) (w_n joue le rôle de v_n) : c_n → 0. À partir d'un rang, c_n < 1, donc c_n = |b_n| : b_n → 0. (Sans hypothèse de bornitude au départ.)

II. Série trigonométrique dont la somme est continue

Hypothèse : Σu_n converge simplement sur ℝ, de somme f continue.

• 1-1. Le terme général d'une série convergente tend vers 0 : u_n(x) → 0 pour tout x.
• 1-2. En x = 0 : u_n(0) = a_n → 0. a_n → 0.
• 1-3. |v_n(x)| = |u_n(x) − a_ncos nx| ≤ |u_n(x)| + |a_n| → 0 : v_n → 0 simplement, puis par I.B.2 : b_n → 0.
• 2-1. (a_n) et (b_n) convergentes sont bornées par un M : sup_ℝ|u_n/n²| ≤ 2M/n², terme d'une série convergente. Convergence normale ; les termes étant continus, la somme −F est continue.
• 2-2. Chaque terme est 2π-périodique, donc F aussi. La convergence normale (donc uniforme) permet d'intégrer terme à terme contre cos(nt) et sin(nt) ; par orthogonalité : a₀(F) = 0, a_n(F) = −a_n/n², b_n(F) = −b_n/n² (n ≥ 1).
• 3-1. sin t/t = Σ_k≥0 (−1)^kt^2k/(2k + 1)! pour t ≠ 0, et cette série entière de rayon infini vaut 1 en 0 : t ↦ sin t/t (prolongée par 1) est C^∞. Donc φ, son carré, est C^∞, a fortiori C¹, avec φ'(0) = 0.
• 3-2. Pour t ≠ 0 : φ'(t) = sin(2t)/t² − 2sin²t/t³. Pour t ≥ 1 : |φ'(t)| ≤ 1/t² + 2/t³, intégrable sur [1, +∞[ ; φ' est continue sur [0, 1]. φ' est intégrable sur [0, +∞[.

4. Méthode de Riemann

• 4-1. cos(n(x + 2h)) + cos(n(x − 2h)) − 2cos(nx) = 2cos(nx)(cos 2nh − 1) = −4 sin²(nh) cos(nx), et de même pour le sinus. Donc u_n(x + 2h) + u_n(x − 2h) − 2u_n(x) = −4 sin²(nh) u_n(x). Avec F = −Σu_n/n² (séries convergentes, on combine terme à terme) : [F(x + 2h) + F(x − 2h) − 2F(x)]/(4h²) = Σ u_n(x) sin²(nh)/(n²h²) = Σ_n≥1 u_n(x) φ(nh).
• 4-2. Transformation d'Abel avec u_n = S_n − S_n−1 : Σ_n=1^N u_nφ(nh) = Σ_n=0^N−1 S_n(φ(nh) − φ((n + 1)h)) + S_Nφ(Nh). Or S_N → f(x) et 0 ≤ φ(Nh) ≤ 1/(N²h²) → 0 : Σ u_nφ(nh) = Σ_n≥0 S_n(φ(nh) − φ((n + 1)h)). Par télescopage, Σ_n≥0(φ(nh) − φ((n + 1)h)) = φ(0) − 0 = 1, donc f(x) = Σ f(x)(φ(nh) − φ((n + 1)h)). En soustrayant : la relation demandée.
• 4-3 i. S_n(x) → f(x) et A > 0 (φ n'est pas constante) : il existe N tel que |S_n(x) − f(x)| ≤ ε/(2A) pour n ≥ N.
• 4-3 ii. φ(nh) − φ((n + 1)h) = −∫_nh^(n+1)h φ'(t)dt, donc |Σ_n≥N…| ≤ (ε/2A) Σ_n≥N∫_nh^(n+1)h|φ'| = (ε/2A)∫_Nh^+∞|φ'| ≤ ε/2.
• 4-3 iii. Il reste la somme finie Σ_n=0^N−1(S_n(x) − f(x))(φ(nh) − φ((n + 1)h)), avec N indépendant de h : par continuité de φ en 0, chaque facteur φ(nh) − φ((n + 1)h) → 0 quand h → 0⁺. Elle est donc ≤ ε/2 pour h petit, et l'écart total ≤ ε. [F(x + 2h) + F(x − 2h) − 2F(x)]/(4h²) → f(x).

5. Identification des coefficients

• 5-1. F₁(x) = x∫₀^xf − ∫₀^xt f(t)dt. f continue ⇒ F₁'(x) = ∫₀^xf + xf(x) − xf(x) = ∫₀^xf, puis F₁'' = f : F₁ est C².
• 5-2. H = F − F₁ est continue. Avec k = 2h : [H(x + k) + H(x − k) − 2H(x)]/k² → f(x) − F₁''(x) = 0 (II.4-3 iii pour F, I.A.2 pour F₁). Par le résultat admis, F − F₁ est affine. Donc F est C² et F'' = F₁'' = f.
• 5-3. F est 2π-périodique donc f = F'' aussi. Deux intégrations par parties (F de classe C² périodique) : a_n(F'') = −n²a_n(F), b_n(F'') = −n²b_n(F). Avec II.2-2 : a_n(f) = a_n et b_n(f) = b_n pour n ≥ 1 (et a₀(f) = 0). Autrement dit, une série trigonométrique partout convergente de somme continue est la série de Fourier de sa somme.

III. Séries trigonométriques impaires

A. Application (Σv_n converge simplement, somme f continue)

• 1. C'est la partie II avec a_n = 0 : b_n → 0 (II.1-3) et même b_n = b_n(f) (II.5-3).
• 2. |b_n| ≤ M. Les dérivées d'ordre 0, 1, 2 du terme v_n/(n²(n² + 1)) sont majorées par M/n⁴, M/n³ et M/(n² + 1) : convergence normale des trois séries, donc (théorème de dérivation terme à terme) ψ est C² et ψ''(x) = −Σ b_nsin(nx)/(n² + 1).
• 3. |b_nsin(nx)/(n² + 1)| ≤ M/(n² + 1) : g est bien définie (convergence normale). Comme 1/(n² + 1) = 1/n² − 1/(n²(n² + 1)) : g = Σ v_n/n² − ψ = −F − ψ, où F est la fonction de II (ici a_n = 0). Par II.5-2 F est C² avec F'' = f, et ψ est C² avec ψ'' = −g. Donc g est C² et g'' = −f + g, soit −g'' + g = f.
• 4. Solutions de −y'' + y = f : y = g + αe^x + βe^−x, (α, β) ∈ ℝ². On a g(0) = 0 et g(π) = Σ b_nsin(nπ)/(n² + 1) = 0. y(0) = y(π) = 0 impose α + β = 0 et αe^π + βe^−π = 0, d'où 2α sh π = 0, α = β = 0. g est l'unique solution nulle en 0 et en π.

B. (b_n) décroissante de limite nulle

• 1-1. Pour x ∉ 2πℤ, e^ix ≠ 1 et A_n + iB_n = Σ_k=1ⁿ(e^ix)^k = e^ix(1 − e^inx)/(1 − e^ix). Avec 1 − e^iθ = −2i sin(θ/2)e^iθ/2 : A_n + iB_n = e^i(n+1)x/2 sin(nx/2)/sin(x/2). Partie imaginaire : B_n(x) = sin(nx/2) sin((n + 1)x/2)/sin(x/2). Partie réelle : A_n = cos((n + 1)x/2) sin(nx/2)/sin(x/2) et 2cos((n + 1)x/2)sin(nx/2) = sin((n + ½)x) − sin(x/2), d'où ½ + A_n(x) = sin((n + ½)x)/(2 sin(x/2)).
• 1-2. Si x ∈ 2πℤ, B_n(x) = 0 ; sinon |B_n(x)| ≤ 1/|sin(x/2)| : suite bornée.
• 2-1. Avec sin(kx) = B_k − B_k−1 (B₀ = 0), transformation d'Abel : Σ_k=1ⁿb_k(B_k − B_k−1) = Σ_k=1ⁿb_kB_k − Σ_k=1ⁿ⁻¹b_k+1B_k = b_nB_n(x) + Σ_k=1ⁿ⁻¹(b_k − b_k+1)B_k(x).
• 2-2. b_p − b_p+1 ≥ 0 et |B_p(x)| ≤ M_x : |(b_p − b_p+1)B_p(x)| ≤ M_x(b_p − b_p+1), série télescopique convergente (de somme M_xb₁). Convergence absolue.
• 2-3. b_nB_n(x) → 0 (bornée × tend vers 0) : les sommes partielles de Σv_n(x) convergent. Σv_n converge simplement sur ℝ ; chaque v_n est impaire et 2π-périodique, donc f aussi.

3. Exemple b_n = 1/n, x ∈ ]0, 2π[

• 3-1. Sur le segment d'extrémités x et π (inclus dans ]0, 2π[), sin(t/2) ≠ 0. On intègre ½ + A_n(t) = sin((n + ½)t)/(2 sin(t/2)) entre x et π : (π − x)/2 + Σ_k=1ⁿ[sin(kt)/k]_x^π = (π − x)/2 − Σ_k=1ⁿsin(kx)/k. D'où Σ_k=1ⁿ sin(kx)/k = (π − x)/2 − ½∫_x^π sin((n + ½)t)/sin(t/2) dt.
• 3-2. Avec λ = n + ½ et h(t) = 1/sin(t/2), C¹ sur le segment : ∫_x^πsin(λt)h(t)dt = [−cos(λt)h(t)/λ]_x^π + (1/λ)∫_x^πcos(λt)h'(t)dt = O(1/λ) → 0. Donc S(x) = (π − x)/2 pour x ∈ ]0, 2π[.
• 3-3. S(0) = 0 (tous les termes sont nuls), alors que S(x) → π/2 quand x → 0⁺ (et −π/2 quand x → 0⁻ par imparité). S n'est pas continue (discontinue en chaque point de 2πℤ) : la décroissance de b_n ne suffit pas à la continuité.

4. Condition nécessaire de continuité (f continue)

• 4-1. f impaire ⇒ G(−θ) = ∫₀^−θf = ∫₀^θf(−u)(−du) = G(θ) : G paire. G(θ + 2π) − G(θ) = ∫_θ^θ+2πf = ∫_−π^πf = 0 (périodicité puis imparité) : G 2π-périodique.
• 4-2. G est la primitive de f continue nulle en 0 : G est C¹, G' = f, et f(0) = 0 (impaire). DL : G(θ) = G(0) + f(0)θ + o(θ) = o(θ).
• 4-3. Par III.A.1 (II.5-3), b_n(f) = b_n et a_n(f) = 0. G étant C¹ périodique, une IPP donne b_n(G') = −n a_n(G) et a_n(G') = n b_n(G). Donc a_n(G) = −b_n/n et b_n(G) = 0 (cohérent avec G paire).
• 4-4. G est C¹ et 2π-périodique : sa série de Fourier converge normalement (donc uniformément) vers G. En θ = 0 : 0 = G(0) = a₀(G)/2 + Σ a_n(G) = a₀(G)/2 − Σ b_n/n. Σ b_n/n converge et vaut a₀(G)/2.
• 4-5 i. Pour E(k/2) + 1 ≤ n ≤ k : π/2 < nπ/k ≤ π, donc cos(nπ/k) ≤ 0 et 1 − cos(nπ/k) ≥ 1. Par décroissance, b_n/n ≥ b_k/k. Il y a k − E(k/2) ≥ k/2 termes, donc la somme est ≥ (k/2)(b_k/k) = b_k/2.
• 4-5 ii. Avec 4-3 et 4-4 : G(θ) = a₀(G)/2 − Σ(b_n/n)cos(nθ) = Σ_n≥1(b_n/n)(1 − cos nθ). En θ = π/k tous les termes sont ≥ 0 (b_n ≥ 0 car décroissante de limite nulle), donc G(π/k) ≥ somme partielle de i. ≥ b_k/2 ≥ 0 : 0 ≤ b_k/2 ≤ G(π/k). Par 4-2, G(π/k) = o(1/k), donc 0 ≤ k b_k ≤ 2kG(π/k) → 0 : n b_n → 0. (Cohérent avec l'exemple b_n = 1/n, où nb_n = 1 et S est discontinue.)

💡 À retenir et à réviser : transformation d'Abel et critère d'Abel (b_n décroissante → 0, sommes partielles bornées) ; noyau de Dirichlet ½ + Σcos(kx) ; lemme de Riemann-Lebesgue par IPP ; convergence dominée ; théorèmes de dérivation terme à terme sous convergence normale ; coefficients de Fourier d'une dérivée et convergence normale de la série de Fourier d'une fonction C¹ ; la série Σsin(nx)/n = (π − x)/2 sur ]0, 2π[, grand classique à connaître par cœur. Au CNC MP, rédigez en citant les références (II.4-3 iii, I.A.2…) : c'est explicitement noté.