Modèle de concours : CNC 2004 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Cette épreuve est la Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2004 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines, filière MP (classes préparatoires), durée 4 heures, calculatrice interdite. C'est un problème d'analyse en trois parties autour de l'équation différentielle (E_f) : y' − y + f = 0, où f est continue sur ℝ : existence et unicité d'une solution bornée, cas f intégrable (endomorphisme de L¹), cas d'une intégrale semi-convergente, puis cas f 2π-périodique (séries de Fourier). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : tout le problème repose sur une seule formule, obtenue en I.2 : la solution candidate Y_f(x) = e^x ∫_x^+∞ e^−t f(t) dt, et sur le fait qu'au plus une solution est bornée au voisinage de +∞. Dès qu'on vous demande « montrer que Z = Y_f », vérifiez que Z est solution et bornée en +∞ : l'unicité fait le reste. Citez systématiquement les références des questions utilisées.

I. Exemples et résultats généraux

1. Un premier exemple : f_α(x) = e^αx

• (a) (E_f1) : y' − y = −e^x. Solutions homogènes Ce^x ; on cherche une solution particulière axe^x : (axe^x)' − axe^x = ae^x, d'où a = −1. Solutions : y(x) = (C − x)e^x, C ∈ ℝ. Comme (C − x)e^x → −∞ en +∞, aucune solution n'est bornée au voisinage de +∞.
• (b) i. α ≠ 1 : solution particulière ke^αx avec kα − k = −1, soit k = 1/(1 − α). Solutions : y(x) = Ce^x + e^αx/(1 − α).
• (b) ii. Si C ≠ 0 : pour α > 1 le terme e^αx domine, pour α < 1 c'est Ce^x : dans les deux cas |y| → +∞. Si C = 0 : y = e^αx/(1 − α) est bornée en +∞ ssi α ≤ 0. CNS : α ≤ 0 ; la seule solution bornée en +∞ est x ↦ e^αx/(1 − α).
• (c) Une solution bornée sur ℝ est bornée en +∞, donc α ≤ 0 et y = e^αx/(1 − α) ; elle doit aussi être bornée en −∞, ce qui impose α ≥ 0. Seul α = 0 convient (f = 1) : l'unique solution bornée sur ℝ est y ≡ 1. Pour α = 1 (question (a)) et α ≠ 0, aucune.

2. Résultats généraux

• (a) Équation linéaire du premier ordre à coefficients continus : l'ensemble des solutions est une droite affine y_p + Vect(x ↦ e^x) (théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire).
• (b) Variation de la constante : y = λ(x)e^x donne λ'(x)e^x = −f(x), donc λ(x) = λ − ∫₀^x e^−t f(t) dt. y_λ(x) = e^x(λ − ∫₀^x e^−t f(t) dt), λ ∈ ℝ, et toute solution est de cette forme (λ = y(0)).
• (c) Si |y_λ| ≤ M sur [A, +∞[, alors λ − ∫₀^x e^−tf(t)dt = e^−xy_λ(x), de valeur absolue ≤ Me^−x → 0. Donc ∫₀^+∞ e^−tf(t)dt converge et vaut λ.
• (d) D'après (c), le paramètre λ d'une solution bornée en +∞ est imposé : au plus une solution bornée au voisinage de +∞.
• (e) i. Y_f(x) = e^x(∫₀^+∞ − ∫₀^x) e^−tf(t)dt = e^x ∫_x^+∞ e^−t f(t) dt (Chasles, l'intégrale sur [x, +∞[ convergeant).
• (e) ii. Non. Contre-exemple : f(t) = e^t/(1 + t)². Alors ∫₀^+∞ e^−tf = ∫₀^+∞ dt/(1 + t)² = 1 converge, mais Y_f(x) = e^x/(1 + x) → +∞.
• (f) i. |f| ≤ M. Alors |e^−tf(t)| ≤ Me^−t : l'intégrale converge absolument et Y_f est définie. De plus |Y_f(x)| ≤ Me^x∫_x^+∞e^−tdt = M : Y_f est bornée sur ℝ. Toute autre solution bornée sur ℝ l'est en +∞, donc égale à Y_f par (d) : Y_f est l'unique solution bornée.
• (f) ii. Soit ε > 0 et A tel que |f(t)| ≤ ε pour t ≥ A. Pour x ≥ A : |Y_f(x)| ≤ εe^x∫_x^+∞e^−tdt = ε. Y_f → 0 en +∞.
• (f) iii. Soit ε > 0 et A tel que |f(t)| ≤ ε pour t ≤ A. Pour x ≤ A : Y_f(x) = e^x∫_x^A e^−tf + e^x∫_A^+∞ e^−tf, donc |Y_f(x)| ≤ ε(1 − e^x−A) + K_Ae^x ≤ ε + K_Ae^x, avec K_A = |∫_A^+∞e^−tf|. Le second terme tend vers 0 en −∞, d'où lim sup |Y_f| ≤ ε : Y_f → 0 en −∞.

3. Un autre exemple

• (a) Σn |un,p(x)| = e(2p+2)|x|/(2p + 1)!, puis Σp e(2p+2)|x|/(2p + 1)! = e|x| Σp (e|x|)2p+1/(2p + 1)! = e|x| sh(e|x|) < +∞. Par le théorème de sommation par paquets (familles positives), la famille double est sommable.
• (b) Sommabilité ⇒ pour tout x, la série Σ anxn/n! converge (absolument), donc rayon R = +∞, et on peut sommer dans l'autre ordre (Fubini) : Σn anxn/n! = Σp (−1)pe(2p+2)x/(2p + 1)! = ex Σp (−1)p(ex)2p+1/(2p + 1)! = ex sin(ex) = u(x).
• (c) e−tu(t) = sin(et). Changement de variable C1 bijectif θ = et (dθ = θ dt) : ∫0X sin(et)dt = ∫1eX (sin θ/θ) dθ, qui a une limite quand X → +∞ (intégrale de Dirichlet, convergente par intégration par parties). L'intégrale converge.
• (d) Même changement de variable sur [x, +∞[ : ∫x+∞ e−tu(t)dt = ∫ex+∞ (sin θ/θ) dθ.
• (e) Pour a > 0 : ∫a+∞ sin θ/θ dθ = [−cos θ/θ]a+∞ − ∫a+∞ cos θ/θ2 dθ = cos a/a − ∫a+∞ cos θ/θ2 dθ, donc |…| ≤ 1/a + 1/a = 2/a. Avec a = ex : |Yu(x)| = ex|∫ex+∞ sin θ/θ dθ| ≤ 2 pour tout x : Yu est bornée sur ℝ, alors que u n'est pas bornée (la réciproque de I.2.f est donc fausse).

II. Cas d'une fonction intégrable

A. f intégrable sur ℝ, G(x) = ∫_−∞^x f

• 1. G est la primitive de f continue (donc C¹, a fortiori continue) ; |G(x)| ≤ ∫_ℝ|f| = N₁(f) : bornée ; G(x) est le « reste » en −∞ d'une intégrale convergente : G(x) → 0 en −∞.
• 2. Pour t ≥ x : |e^−tf(t)| ≤ e^−x|f(t)|, et f est intégrable : t ↦ e^−tf(t) est intégrable sur [x, +∞[.
• 3. Par I.2.e.i, Y_f(x) = ∫_x^+∞ e^x−tf(t)dt et e^x−t ≤ 1 pour t ≥ x : |Y_f(x)| ≤ ∫_x^+∞|f(t)|dt. Donc |Y_f| ≤ N₁(f) (bornée sur ℝ) et Y_f → 0 en +∞ (reste d'une intégrale convergente).
• 4. G est continue bornée, donc Y_G existe et est bornée (I.2.f.i). Posons Z = −G + Y_G : Z' − Z + f = −f + Y_G' + G − Y_G + f = Y_G' − Y_G + G = 0. Z est donc solution de (E_f) et bornée ; Y_f aussi (II.A.3) ; par l'unicité I.2.d, Y_f = −G + Y_G. Comme G → 0 en −∞, I.2.f.iii donne Y_G → 0 en −∞, d'où Y_f → 0 en −∞.
• 5. |f| est continue et intégrable : on applique II.A.3 et II.A.4 à |f|. Y_|f| est bornée et tend vers 0 en ±∞.
• 6. Y_|f| ≥ 0 et, en intégrant Y' = Y − |f| sur [a, b] : ∫_a^b Y_|f| = Y_|f|(b) − Y_|f|(a) + ∫_a^b|f| ≤ 2 sup Y_|f| + N₁(f). Fonction positive à intégrales partielles majorées : Y_|f| est intégrable, et en passant à la limite (Y_|f| → 0 en ±∞) : ∫_ℝ Y_|f| = ∫_ℝ|f|.
• 7. |Y_f(x)| ≤ e^x∫_x^+∞e^−t|f(t)|dt = Y_|f|(x) : Y_f est intégrable. En intégrant Y_f' = Y_f − f sur [a, b] : ∫_a^bY_f = Y_f(b) − Y_f(a) + ∫_a^bf, et a → −∞, b → +∞ avec Y_f → 0 aux deux bouts (A.3, A.4) : ∫_ℝY_f = ∫_ℝf.
• 8. Pour g ∈ E, Y_g est C¹ et intégrable (A.7) : Φ(g) ∈ E. Φ est linéaire (Y_g(x) = e^x∫_x^+∞e^−tg, linéaire en g). Par A.7 et A.6 : N₁(Y_g) ≤ ∫Y_|g| = N₁(g) : Φ est continue et |||Φ||| ≤ 1. Pour g ≥ 0 non nulle, Y_g ≥ 0 et N₁(Y_g) = ∫Y_g = ∫g = N₁(g). Donc |||Φ||| = 1.

B. L'intégrale de f sur ℝ converge, F(x) = ∫_x^+∞ f

• 1. F est C¹ (F' = −f), F(x) → 0 en +∞ (reste) et F(x) → L = ∫_ℝf en −∞. Continue avec des limites finies en ±∞ : F est bornée.
• 2. Comme e^−tf(t) = −e^−tF'(t), une IPP sur [x, A] donne ∫_x^Ae^−tf = e^−xF(x) − e^−AF(A) − ∫_x^Ae^−tF(t)dt. Quand A → +∞ : e^−AF(A) → 0 et ∫_x^+∞e^−tF converge absolument (F bornée). D'où la convergence et, en multipliant par e^x : e^x∫_x^+∞e^−tf(t)dt = F(x) − Y_F(x).
• 3. Avec I.2.e.i, cela s'écrit Y_f = F − Y_F. F est bornée et tend vers 0 en +∞ : par I.2.f.i-ii, Y_F est bornée et tend vers 0 en +∞. Y_f est bornée et tend vers 0 en +∞.
• 4. En −∞, F → L. La constante L a pour image Y_L = L (e^x∫_x^+∞Le^−tdt = L). Par linéarité Y_F − L = Y_F−L, et F − L est bornée de limite nulle en −∞, donc Y_F−L → 0 en −∞ (I.2.f.iii). Ainsi Y_F → L et Y_f = F − Y_F → L − L = 0 en −∞.
• 5. ∫_a^bY_f = Y_f(b) − Y_f(a) + ∫_a^bf. Quand a → −∞ et b → +∞ indépendamment, le membre de droite tend vers 0 − 0 + ∫_ℝf : ∫_ℝY_f converge et vaut ∫_ℝf.

III. Cas d'une fonction 2π-périodique

• 1. f continue et périodique est bornée : par I.2.f.i, Y_f est l'unique solution bornée de (E_f).
• 2. Z(x) = Y_f(x + 2π) vérifie Z' = Y_f(x + 2π) − f(x + 2π) = Z − f(x) : Z est une solution bornée, donc Z = Y_f : Y_f est 2π-périodique. Elle est dérivable avec Y_f' = Y_f − f continue : classe C¹.
• 3. Pour Y C¹ 2π-périodique, c_n(Y') = in c_n(Y). De Y_f' = Y_f − f : in c_n(Y_f) = c_n(Y_f) − c_n(f), d'où c_n(Y_f) = c_n(f)/(1 − in), n ∈ ℤ.
• 4. (a) Par récurrence les f_n sont continues 2π-périodiques et c_k(f_n) = c_k(f)/(1 − ik)ⁿ. En fonction de f₁ : c_k(f_n) = c_k(f₁)/(1 − ik)ⁿ⁻¹ pour tout n ∈ ℕ (pour n = 0 : c_k(f) = (1 − ik)c_k(f₁)).
• (b) f₁ = Y_f est C¹ et 2π-périodique. Pour k ≠ 0 : |c_k(f₁)| = |c_k(f₁')|/|k| ≤ ½(1/k² + |c_k(f₁')|²), et Σ|c_k(f₁')|² < +∞ (Bessel/Parseval). La série de Fourier de f₁ converge normalement.
• (c) C'est la traduction de (b) : sup_x|c_ke^ikx| = |c_k|, donc Σ_k∈ℕ(|c_−k(f₁)| + |c_k(f₁)|) converge.
• (d) Pour n ≥ 1, f_n est C¹ (III.2 appliqué à f_n−1), donc, par le théorème de Dirichlet, f_n(x) = Σ_k∈ℤ c_k(f_n)e^ikx. De plus c₀(f_n) = c₀(f) et |1 − ik| = √(1 + k²) ≥ √2 pour k ≠ 0. D'où |f_n(x) − c₀(f)| ≤ Σ_k≠0 |c_k(f₁)|/(√(1 + k²))ⁿ⁻¹ ≤ (1/√2)ⁿ⁻¹ Σ_k≥1(|c_−k(f₁)| + |c_k(f₁)|).
• (e) Le majorant ne dépend pas de x et tend vers 0 : (f_n) converge uniformément sur ℝ vers la constante c₀(f) = (1/2π)∫₀^2π f(t)dt (valeur moyenne de f), à vitesse géométrique.

💡 À retenir et à réviser : méthode de variation de la constante et unicité par comportement à l'infini ; convergence d'intégrales généralisées (Dirichlet ∫ sin θ/θ, IPP pour obtenir des majorations en 1/a) ; familles sommables et Fubini pour les séries entières doubles ; norme subordonnée d'un opérateur (majorer puis exhiber un cas d'égalité, ici g ≥ 0) ; coefficients de Fourier d'une dérivée, convergence normale de la série de Fourier d'une fonction C¹, théorème de Dirichlet. Le CNC MP enchaîne toujours exemples → cas général → applications : ne sautez pas la partie I, elle fournit tous les outils de la suite.