Modèle de concours : CNC 2003 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2003, filière MP, d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (CPGE). Durée 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages. C'est un problème d'analyse sur la transformée de Fourier f̂(x) = ∫_R e^−ixtf(t) dt : étude de l'exemple ψ = ½φ(|x|) (exponentielle intégrale), propriétés générales, gaussienne et formule d'inversion. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : presque chaque question est une application d'un des trois théorèmes d'intégration du programme MP : continuité et dérivation sous le signe ∫ (hypothèse de domination), convergence dominée, Fubini sur un pavé compact. Rédigez toujours : fonction, variable, domination par une fonction intégrable indépendante du paramètre. C'est ce que le correcteur note.

I. Étude d'un exemple

1. Intégrabilités

• (a) t ↦ (1 − e^−t)/t est continue sur ]0, α] et tend vers 1 en 0⁺ : prolongeable par continuité sur [0, α], donc intégrable.
• (b) Sur [x, +∞[, 0 < e^−t/t ≤ e^−t/x, intégrable : intégrable par comparaison.

2. La fonction φ(x) = ∫_x^+∞ e^−t/t dt

• (a) Intégrande continue > 0, donc φ(x) > 0 ; et e^−t/t < e^−t/x pour t > x, d'où 0 < φ(x) < ∫_x^+∞ e^−t/x dt = e^−x/x.
• (b) φ(x) = φ(1) − ∫₁^x e^−t/t dt avec une intégrande continue sur R₊* : φ est C¹ et φ'(x) = −e^−x/x.
• (c) Pour 0 < x < 1, ln x = −∫_x¹ dt/t, donc φ(x) + ln x = φ(1) + ∫_x¹ e^−t/t dt − ∫_x¹ dt/t = φ(1) − ∫_x¹ (1 − e^−t)/t dt → C = φ(1) − ∫₀¹ (1 − e^−t)/t dt grâce à 1(a).
• (d) La même égalité vaut pour tout x > 0 et ∫_x¹ = ∫₀¹ − ∫₀^x, d'où φ(x) + ln x = C + ∫₀^x (1 − e^−t)/t dt. Or (1 − e^−t)/t = Σ_k≥1 (−1)^k−1t^k−1/k! (série entière de rayon infini) ; on intègre terme à terme sur [0, x] : φ(x) + ln x = C + Σ_k≥1 (−1)^k−1x^k/(k·k!).

3. La fonction ψ(x) = ½φ(|x|)

• (a) Sur ]0, +∞[ : au voisinage de 0, φ(x) = −ln x + C + o(1) et ln est intégrable en 0 ; au voisinage de +∞, 0 < φ(x) < e^−x/x ≤ e^−x (x ≥ 1). ψ est intégrable sur ]0, +∞[, et sur ]−∞, 0[ par parité.
• (b) |e^−ixtψ(t)| = ψ(t) intégrable, donc ψ̂(x) existe. En coupant en 0 et en posant t → −t sur R₋ : ψ̂(x) = ½∫₀^+∞ φ(t)(e^ixt + e^−ixt) dt = ∫₀^+∞ φ(t)cos(xt) dt.
• (c) ∂^k/∂x^k[φ(t)cos(xt)] = t^kφ(t)cos(xt + kπ/2), dominée par t^kφ(t), intégrable sur ]0, +∞[ (≤ t^k−1e^−t à l'infini, bornée près de 0 pour k ≥ 1 ; pour k = 0 c'est 3(a)). Par dérivation sous ∫ : ψ̂ est C^∞ et ψ̂^(k)(x) = ∫₀^+∞ t^kφ(t)cos(xt + kπ/2) dt.
• (d) Pour x ≠ 0, intégration par parties sur [ε, A] avec u = φ, v = sin(xt)/x : ∫_ε^A φ(t)cos(xt) dt = [φ(t)sin(xt)/x]_ε^A + (1/x)∫_ε^A e^−tsin(xt)/t dt. Le crochet tend vers 0 (φ(A) → 0 ; φ(ε)sin(xε) ~ −xε ln ε → 0). Donc ψ̂(x) = (1/x)∫₀^+∞ e^−tsin(xt)/t dt. Et ψ̂(0) = ∫₀^+∞ φ = [tφ(t)]₀^+∞ + ∫₀^+∞ e^−t dt = 1 (tφ(t) → 0 en 0 et en +∞).

4. Calcul de ψ̂

• (a) ∂/∂x[e^−tsin(xt)/t] = e^−tcos(xt), dominée par e^−t : Φ est dérivable (même sur R) et Φ'(x) = ∫₀^+∞ e^−tcos(xt) dt = Re 1/(1 − ix) = 1/(1 + x²).
• (b) Φ est dérivable sur R (domination indépendante de x), donc continue en 0, avec Φ(0) = 0 : Φ(x) = arctan x pour tout x. D'où, pour x ≠ 0, ψ̂(x) = arctan x / x (valeur cohérente avec ψ̂(0) = 1 par continuité). Remarque : ψ̂ n'est pas intégrable (~π/(2|x|)), ce qui est cohérent avec ψ non bornée en 0.

II. Propriétés de la transformée de Fourier

1. Fonction intégrable

• (a) |e^−ixtf(t)| = |f(t)| intégrable : f̂(x) est défini et |f̂(x)| ≤ ∫_R|f| = ‖f‖₁.
• (b) x ↦ e^−ixtf(t) est continue, dominée par |f| : par le théorème de continuité sous ∫, f̂ est continue.

2. Transformations

• (a) Linéarité de l'intégrale.
• (b) f_a est intégrable (translation) et, avec u = t − a : f̂_a(x) = e^−iaxf̂(x). Pour a ≠ 0, u = at (dt = du/|a| après remise des bornes dans l'ordre) : (_af)^(x) = (1/|a|)f̂(x/a).
• (c) ∫ e^−ixte^iatf(t) dt = f̂(x − a).
• (d) f paire : f̂(x) = 2∫₀^+∞ f(t)cos(xt) dt ; f impaire : f̂(x) = −2i∫₀^+∞ f(t)sin(xt) dt.
• (e) f réelle paire : f̂ réelle et paire ; f réelle impaire : f̂ imaginaire pure et impaire.

3. Dérivation

• (a) f(x) = f(0) + ∫₀^x f' et f' intégrable : f a une limite ℓ en +∞. Si ℓ ≠ 0, |f| ≥ |ℓ|/2 au voisinage de +∞, contraire à l'intégrabilité. Donc f → 0 en ±∞.
• (b) Par parties : ∫_−A^B e^−ixtf'(t) dt = [e^−ixtf(t)]_−A^B + ix∫_−A^B e^−ixtf(t) dt, et le crochet tend vers 0 par (a) : (f')^(x) = ix f̂(x). Pour x ≠ 0, |f̂(x)| ≤ ‖f'‖₁/|x| → 0 : f̂ → 0 en ±∞.
• (c) ∂/∂x[e^−ixtf(t)] = −it e^−ixtf(t), dominée par |t f(t)| intégrable : f̂ est C¹ et (f̂)'(x) = −i ĝ(x).

III. Une formule d'inversion

A. La gaussienne h(t) = e^−t²

• 1. h est intégrable, C¹, avec h' et t h(t) intégrables. Par II.3(c), ĥ est C¹ et ĥ' = −iĝ avec g(t) = t e^−t² = −½h'(t). Par II.3(b), ĝ(x) = −½ix ĥ(x). Donc ĥ'(x) = −i·(−½ix ĥ(x)) = −(x/2)ĥ(x) : ĥ' + (x/2)ĥ = 0.
• 2. Solutions : y = K e^−x²/4, et ĥ(0) = ∫h = √π : ĥ(x) = √π e^−x²/4.
• 3. e^−εt² = h(√ε t) = (_√εh)(t), donc par II.2(b) sa transformée est √(π/ε) e^−x²/(4ε).

B. Application à la formule d'inversion

• 1(a). v(y)e^−ε_ny² → v(y) simplement, et |v(y)e^−ε_ny²| ≤ |v(y)| intégrable : convergence dominée donne la limite ∫v.
• 1(b). w(x + ε_ny)e^−y² → w(x)e^−y² (w continue), dominée par ‖w‖_∞e^−y² : la limite vaut w(x)√π. Le résultat vaut pour toute suite de réels tendant vers 0, en particulier 2√ε_n.
• 2. L'intégrale intérieure est la transformée de y ↦ e^−ε_ny² au point t − x : √(π/ε_n) e^{−(t−x)²/(4ε_n)} (A.3). On pose t = x + 2√ε_n s, dt = 2√ε_n ds : √(π/ε_n)·2√ε_n∫ f(x + 2√ε_ns)e^−s² ds = 2√π∫_R f(x + 2√ε_ns)e^−s² ds.
• 3(a). La fonction (y, t) ↦ f(t)e^{−iy(t−x)−εy²} est continue sur le pavé compact [−p, p] × [−q, q] (f continue) : Fubini permet d'échanger les intégrations, et e^ixye^−iyt = e^−iy(t−x).
• 3(b). Pour chaque y, ∫_−q^q f(t)e^−iyt dt → f̂(y), et |e^ixy−εy²∫_−q^q …| ≤ ‖f‖₁e^−εy², intégrable : convergence dominée (sur la suite des q).
• 3(c). Pour chaque t, ∫_−p^p e^{−iy(t−x)−εy²} dy → ∫_R (même intégrale), avec |∫_−p^p …| ≤ ∫_Re^−εy² = √(π/ε). L'intégrande en t est dominée sur [−q, q] par √(π/ε)|f(t)| : convergence dominée.
• 3(d). Dans 3(a), faire p → +∞ : à gauche, l'intégrande en y est dominée par ‖f‖₁e^−εy², donc ∫_−p^p → ∫_R ; à droite, 3(c). Puis q → +∞ : à gauche, 3(b) ; à droite, l'intérieur est borné par √(π/ε) et f intégrable, donc ∫_−q^q → ∫_R. On obtient ∫_R f(t)(∫_R e^{−iy(t−x)−εy²} dy) dt = ∫_R e^ixy−εy²f̂(y) dy.
• 4. On prend ε = ε_n. À gauche, par 2 puis 1(b) (w = f, continue bornée, et 2√ε_n → 0) : 2√π·√π f(x) = 2π f(x). À droite, par 1(a) avec v(y) = e^ixyf̂(y), continue (II.1(b)) et intégrable par hypothèse : → ∫ e^ixyf̂(y) dy. D'où la formule d'inversion f(x) = (1/2π)∫_R e^ixyf̂(y) dy.

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : théorèmes de continuité et de dérivation des intégrales à paramètre (hypothèse de domination), convergence dominée (version suites), Fubini sur un compact, intégration par parties sur un intervalle ouvert avec limites aux bornes, développement en série entière et intégration terme à terme, calcul de la transformée de la gaussienne par équation différentielle. Résultats classiques à connaître : ∫₀^+∞ e^−tcos(xt) dt = 1/(1 + x²), ĥ(x) = √π e^−x²/4, (f')^ = ix f̂. Les parties I.1–2 et II.1–2 sont des points faciles à sécuriser en premier.