Modèle de concours : CNC 2002 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale Ministère de l'Enseignement
Enseignement Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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Concours National Commun - Session 2002 -- MP

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours MP,
comporte 5 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .

Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction
seront des éléments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le résultat
d'une question non résolue s‘ils l‘indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les des questions abordées.
Définitions et notations

Quand on ouvre progressivement un robinet, on assiste à la superposition d'états périodiques
(goutte à goutte) dont les périodes ne sont pas nécessairement multiples d’une même fréquence,
contrairement à la théorie classique des Séries de FOURIER. L'objet de ce problème est donc de
donner un contexte dans lequel on puisse étudier des sommes de phénomènes périodiques de
périodes quelconques.

On travaille dans R®, qui est l’espace vectoriel de toutes les fonctions de R dans lui même ; on
notera aussi C°(R) (resp. CP(R), C®(R)) le sous-espace vectoriel des fonctions continues (resp. de
classes CP, C®),

Soient f € R” et w € R. On dira que f est w-périodique (ou que w est une période de f) si pour
toutréelx, f(x + w) = f(x).

On notera ||.|| la norme de la convergence uniforme sur R ; elle est définie, pour toute fonction
réelle à bornée sur R, par :

Ille = sup[f(æ)|-
26

I. VALEUR MOYENNE D'UNE FONCTION

On appellera valeur moyenne d’une fonction f définie sur R la quantité suivante, quand elle
existe :

1 A
= lim — t) dt.
‏أ جو مسا = ام‎ 10
1. Valeur moyenne d’une fonction périodique

(a) Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes :
C,:t+—cost Sao: t—sin2t Co: t+—1.

Dans les deux questions suivantes, f désigne une fonction continue sur R, à valeurs
réelles, w-périodique, avec w › 0.

(b) Montrer que la suite de terme général u, = — f(t) dt, pour n › 1, est constante.
(c) En déduire soigneusement la valeur de u( f) sous forme d’une intégrale sur un segment.

2. Transformations

(a) Montrer que l’ensemble des fonctions continues de R dans R et qui admettent une valeur
moyenne est un espace vectoriel réel, et que l'application ‏:بر‎ f — y (f) est une forme
linéaire sur cet espace.

Épreuve de Mathématiques I 1/5 Tournez la page S.V.P.

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(b) On considère un endomorphisme de l’espace vectoriel RE :

Montrer que si f € C°(R) est une fonction bornée ayant une valeur moyenne, alors Ta(f)
aussi et que l’on a

(c) Faire une étude similaire pour

(d) Que peut-on dire de la valeur moyenne d’une fonction impaire.

(e) Donner une expression simplifiée de la valeur moyenne d’une fonction paire.

3. Valeur moyenne d’une fonction convergente

On considère des fonctions continues de R dans R.

(a) Calculer la valeur moyenne de g : t — ES 7
(b) On suppose que f(t) — 0 quand t ‏ج‎ Æoo. Montrer que ‏)بر‎ f) existe et vaut 0.
(c) On suppose que f admet une limite € en +oc et en —co. Que dire de u(f) ?
(d) On suppose enfin que f converge en ‏مها‎ et en —oo vers deux limites + et (_. Exprimer
4. Valeur moyenne d’une fonction intégrable

On suppose que f est intégrable sur R. Montrer que z:( f) existe et donner sa valeur.
5. Valeur moyenne et fonctions bornées
(a) La fonction t + ,/|t| cost est-elle bornée sur R ? Calculer sa valeur moyenne.

(b) On définit une fonction paire, continue par morceaux, par

0 si0‹t‹1,
x(t)= 4 1 si3% ‹t ‹ 32011 pour un certain p € N,
0 ‏تقو › 32071و‎ pourunpeN*.

Calculer 37” x(t) dt puis en déduire que x n’a pas de valeur moyenne.
0

IL. UN PRODUIT SCALAIRE
On veut définir un produit scalaire par la formule

Nous allons construire progressivement des espaces de plus en plus gros pour lesquels ce
produit scalaire est bien défini. Certains exemples de la première partie prouvent que l’on ne peut
pas y faire figurer n'importe quelle fonction.

1. Exemples

On note de façon abrégée ‏ون‎ : t — cos(wt) et S, : t — sin(nt), pour w › 0 et 7 › 0 donnés.

(a) Calculer (Ca|C3). On trouvera trois valeurs distinctes selon les cas.

(b) Donner sans démonstration les valeurs de (Sa|Sg) et de (Ca|S8).

Épreuve de Mathématiques I 275 ‏ب‎

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2. Sommes finies de fonctions périodiques

On considère le sous-espace vectoriel 7 de RŸ engendré par les C, et ‏وى‎ pour tous les w › 0
etm › 0.

(a) Est-ce que la fonction h : t — cost + cos(xt) est périodique ?

(b) Est-ce que h est un élément de 7 ? Ett — =. 27" cos(3"t) ?

(c) Montrer que (f, g) — (f|g) définit un produit scalaire sur F.

3. Continuité

On considère une suite (fr)nen d'éléments de F qui tend vers 0 au sens de la norme uniforme,
c’est à dire que
Falls —› 0.

Montrer que (fn! fn) ‏ب‎ 0 et en déduire que, pour tout ‏و‎ € F, ‏(وام/)‎ vi 0.

4. Limites uniformes

(a) Produit scalaire et limites uniformes
On considère dans 7 une suite d'applications (fn)nen (resp. (gn)nen) qui converge
uniformément sur R vers une fonction continue f (resp. g) . Montrer que la suite
((Falgn)) en €St convergente.

(b) Nommer un théorème qui assure que toute application w-périodique continue est limite
uniforme sur R d’une suite d'éléments de F, tous w-périodiques.
5. Une extension de (.|.)

On veut maintenant définir (f|g) pour deux applications continues périodiques (de périodes
arbitraires) ; pour cela on considère une application w-périodique f continue et une applica-
tion n-périodique ‏و‎ continue elle aussi.

On considère donc dans F une suite d'applications w-périodiques (fn )nen (resp. n-périodiques
(gn)nen) qui converge vers f (resp. g) uniformément sur R, et on pose

(a) Montrer que cette quantité existe, et qu’elle ne dépend pas du choix des suites (fn )nen et
(gn)nen dans F.

(b) Montrer que l'expression précédente est bilinéaire par rapport au couple (f,g) et que
pour g = f, elle est positive ou nulle.

(c) On suppose que la suite d'applications w-périodiques (fn)nen converge vers f, uni-
formément sur R. Montrer que f est w-périodique et que

; 1 w
GI) - ‏كر | خ - قرام‎
(d) Montrer que pour f continue et périodique, on a (f|f) = 0 seulement quand f est la
fonction nulle.
6. Groupe des périodes d’une fonction

(a) Sous-groupe de (R, +)
On considère un sous-groupe G de R pour la loi +. On suppose que G # {0} et on pose
a = inf GN]O, +oo|.

Épreuve de Mathématiques I 3/5 Tournez la page S.V.P.

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e Sia › 0, montrer que a € © et que G = aZ(on pourra utiliser le critère de la borne inférieure).

e Sia = 0, montrer que G rencontre tout intervalle de la forme Ja, ‏إن‎ (a › b) et conclure que
G est dense dans R.
(b) Application au groupe des périodes d’une fonction
Soit f une fonction de R dans R. On note G; l’ensemble, éventuellement réduit à {0},
des périodes de f.
e Montrer que G; est un sous-groupe additif de R.

e On suppose que f est continue sur R, et périodique. Montrer que f possède une plus
petite période strictement positive ou bien que f est constante.

7. Théorème du mélange

On considère deux fonctions f w-périodique et g n-périodique. f et g sont de plus continues.

(a) On suppose que w/n est un nombre rationnel.
Montrer que f et ‏و‎ possèdent une période commune 7, en déduire l'existence et une
expression intégrale de (f|9).

(b) On suppose que w/n est un nombre irrationnel.
À l'aide d’un résultat précédemment démontré dans ce problème, montrer que l’on a

II. UNE ALGÈBRE DE FONCTIONS PRESQUE-PÉRIODIQUES

On note A l'ensemble des fonctions de la forme t — ›; (An Cos(Wnt) + Bn Sin(w)t)) OÙ encore

n=0

›, (AnCwn + ÉnSw )/ OÙ les suites des amplitudes ‏(م83) ,لمه)‎ sont des familles sommables de réels,
n=0
et la suite des fréquences (w,) est une suite quelconque de réels distincts deux à deux.

1. Structure d’algèbre

(a) Que pouvez-vous dire de la convergence de la série de fonctions définissant un élément
de A ? Conclure que A € C°(R) et montrer que A est un espace vectoriel réel.

(b) Justifier que le produit de deux élément de A est encore dans A : c’est donc une sous-
algèbre de l'algèbre des applications continues.

2. Structure préhilbertienne

(a) Montrer que le produit scalaire de 7 se prolonge à A. On précisera la valeur du carré
+00

scalaire de ›. (anCwn + BnSwn)-
n=0
(b) Soit f € A. Quelles valeurs peuvent prendre ( f|C_uw) et (f|S_w) quand w varie dans R ?
L'écriture de à = ›, (AnCw, +PnSw, ) S'appelle son développement en série de FOURIER-BOHR.
n=0
(c) Étant donnés deux éléments f et g de À, calculer (f|g) en fonction des coefficients de leur
développement de FOURIER-BOHR. On admettra qu'il est possible de prendre pour f et
‏و‎ une même suite (w,) des fréquences.

Épreuve de Mathématiques I 4/5 ‏ب‎

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IV. LA FONCTION cos x + cos(xrw/2)

Dans cette dernière section, plus expérimentale, on étudie un exemple célèbre de fonction
presque-périodique. On définit une fonction de F, la fonction B : x ‏جر‎ cos x + cos(xy/2).

1. Près de V2

(a) Montrer que (3 + 2/2)" = ‏وم‎ + qn V2 définit deux suite d’entiers naturels (pn) et (gn)-

(b) Vérifier que (3 — 2/2)" = Pn — Qn v2 pour tout n € N.

(c) En déduire des expressions de pn, ‏بمو‎ P2 — 292, en tirer un équivalent de p, et de qn.
2. Approximation rationnelle de ‏2ب‎

Montrer qu'ils existe des fractions p/q avec q arbitrairement grand et vérifiant

3. Maxima de B

Soit › 0 donné. Montrer qu'il existe des entiers naturel / et k’ arbitrairement grands tels que

En déduire que la fonction B prend une infinité de fois des valeurs supérieures à 2 — €.

4. Presque périodicité-la définition de BOHR
On étudie sur cet exemple de la fonction B la définition générale des applications quasi
périodiques.
On fixe un ‏ع‎ › 0. Avec les notations de la question 2., montrer que pour q assez grand on a
27

On a ainsi montré que B possède des “quasi-périodes” c telles que

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Mathématiques I 5/5 FIN

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