Modèle de concours : CNC 2001 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Cette épreuve est la Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2001, filière MP, pour l'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (durée 4 heures, calculatrice interdite, énoncé de 4 pages). C'est un problème d'analyse consacré aux fonctions de Bessel J_n(x) = (1/π)∫₀^π cos(x sin θ − nθ)dθ et à l'équation (E_n) : x²y'' + xy' + (x² − n²)y = 0. Il compte cinq parties : premières propriétés, comportement en +∞ (lemme de Gronwall), seconde solution non bornée en 0, une série de Fourier, et la transformée de Laplace de J₀. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : la formule de dérivation J_n^(p)(x) = (1/π)∫ sin^pθ cos(x sin θ − nθ + pπ/2)dθ sert dans les parties 1 et 3. Le changement I_n = √x J_n est la clé de la partie 2. Les parties 4 et 5 sont largement indépendantes : il vaut mieux les traiter si l'on bloque sur les inégalités de la partie 2. L'énoncé autorise à admettre un résultat en le signalant.

1^re partie — Premières propriétés de J_n

1. Définition et bornitude

L'intégrande est continue sur le segment [0,π] et bornée par 1. Donc J_n est définie sur ℝ et |J_n(x)| ≤ 1.

2. J_−n = (−1)ⁿJ_n

On a J_−n(x) = (1/π)∫₀^π cos(x sin θ + nθ)dθ. On pose θ = π − φ : sin θ = sin φ et nθ = nπ − nφ. L'intégrande devient cos(nπ − (nφ − x sin φ)) = (−1)ⁿcos(x sin φ − nφ). D'où J_−n = (−1)ⁿJ_n.

3. Classe C^∞

Posons h(x,θ) = cos(x sin θ − nθ). Alors ∂^ph/∂x^p = sin^pθ cos(x sin θ − nθ + pπ/2). Ces dérivées sont continues sur ℝ×[0,π] et bornées par 1, ce qui domine sur un segment. Le théorème de dérivation des intégrales à paramètre donne J_n ∈ C^∞(ℝ) et J_n^(p)(x) = (1/π)∫₀^π sin^pθ cos(x sin θ − nθ + pπ/2)dθ.

4. J_n est solution de (E_n)

On note φ = x sin θ − nθ. On a J_n' = −(1/π)∫ sin θ sin φ et J_n'' = −(1/π)∫ sin²θ cos φ. Donc

x²J_n'' + xJ_n' + (x² − n²)J_n = (1/π)∫₀^π[(x²cos²θ − n²)cos φ − x sin θ sin φ]dθ.

L'intégrande est exactement d/dθ[(x cos θ + n) sin φ], car dφ/dθ = x cos θ − n. Le crochet vaut (n − x)sin(−nπ) = 0 en π et (x+n)sin 0 = 0 en 0. L'intégrale est nulle : J_n est solution de (E_n) sur ℝ.

5. Dimension

Sur ℝ₊^*, (E_n) ⇔ y'' + y'/x + (1 − n²/x²)y = 0. C'est une équation linéaire normalisée d'ordre 2 à coefficients continus. Par Cauchy-Lipschitz, l'espace des solutions est de dimension 2.

2^e partie — Comportement de J_n en +∞

1. Lemme de type Gronwall

(a) On note E(s) = exp(∫_y^s v). La fonction w est dérivable comme produit de fonctions C¹ (u et v sont continues) :

w'(s) = v(s)E(s)[u(s) + ∫_y^s uv].

Par Chasles, α(s) = α(y) − ∫_y^s uv. L'hypothèse u(s) ≤ α(s) donne donc u(s) + ∫_y^s uv ≤ α(y). Comme v ≥ 0 et E > 0, on obtient w'(s) ≤ α(y)v(s)E(s) = α(y)·d/ds[E(s)].

(b) Pour x ∈ ]0,y], on intègre de x à y. Comme w(y) = 0 et E(y) = 1 : −w(x) ≤ α(y)(1 − E(x)). Or −w(x) = (∫_x^y uv)E(x) et E(x) = exp(−∫_x^y v). Donc ∫_x^y uv ≤ α(y)(exp(∫_x^y v) − 1), puis

u(x) ≤ α(x) = α(y) + ∫_x^y uv ≤ α(y) exp(∫_x^y v).

On fait y → +∞ : α(y) → A par intégrabilité de uv, et ∫_x^y v → ∫_x^+∞ v. D'où u(x) ≤ A exp(∫_x^+∞ v).

2. L'équation (F_p) : y'' + (1+p)y = 0

• (a) y = A cos x + B sin x, avec (A,B) ∈ ℝ².
• (b) On note h = −pf. Par variation des constantes, avec A'cos x + B'sin x = 0 et −A'sin x + B'cos x = h, on obtient A' = −h sin, B' = h cos. D'où y(x) = A cos x + B sin x + ∫_b^x h(t) sin(x − t)dt. Cela donne k_p(x,t) = −p(t) sin(x − t) = p(t) sin(t − x). Toute solution s'écrit ainsi (solution particulière + solution générale homogène).
• (c) Une solution z de (F_p) vérifie z'' + z = −p z. On applique (b) avec f = z, ce qui donne la formule demandée.

3. Application à J_n (ici a = 0)

(a) On pose y = I/√x. Le calcul donne x²y'' + xy' + (x² − n²)y = x^3/2[I'' + (1 + (1/4 − n²)/x²)I] : le terme en I' disparaît. On prend donc q(x) = 1/√x, soit I_n = √x J_n, et p_n(x) = (1 − 4n²)/(4x²).

(b) Pour t ≥ 1 : |I_n(t)k_pn(x,t)| ≤ √t·|1/4 − n²|/t² = c·t^−3/2, qui est intégrable sur [1,+∞[. En développant sin(t − x) = sin t cos x − cos t sin x :

∫₁^+∞ I_nk = cos x·∫I_np_nsin t − sin x·∫I_np_ncos t. C'est une combinaison linéaire de cos et sin, définie pour tout réel x.

(c) On applique 2(c) avec b = 1 : I_n(x) = A cos x + B sin x + ∫₁^+∞ − ∫_x^+∞. On absorbe le terme ∫₁^+∞ (combinaison de cos et sin) dans les constantes, ce qui donne I_n(x) = C cos x + D sin x − ∫_x^+∞ I_n(t)k_pn(x,t)dt. L'intégrale converge sur [x,+∞[ par la même majoration.

(d) Comme |k_pn(x,t)| ≤ |p_n(t)| et |C cos x + D sin x| ≤ |C| + |D|, on obtient l'inégalité demandée. On applique la question 1 avec u = |I_n|, v = |p_n| et A = |C| + |D| (v et uv sont intégrables d'après (b)) :

|I_n(x)| ≤ (|C| + |D|)·exp(|1/4 − n²|/x).

Si (C,D) = (0,0), alors I_n ≡ 0, donc J_n ≡ 0 sur ℝ₊^*. Par continuité, toutes ses dérivées seraient nulles en 0, ce qui contredit J_n⁽ⁿ⁾(0) = 1/2ⁿ (partie 3, question 1(c)). Donc (C,D) ≠ (0,0). Pour x ≥ 1, |I_n(x)| ≤ (|C|+|D|)e^|1/4−n2| : I_n est bornée sur [1,+∞[.

(e) Soit M un majorant de |I_n| sur [1,+∞[. Alors |∫_x^+∞ I_nk| ≤ M∫_x^+∞|p_n| = M|1/4 − n²|/x = O(1/x). On écrit C cos x + D sin x = A_n sin(x + β_n) avec A_n = √(C²+D²) ≠ 0, cos β_n = D/A_n et sin β_n = C/A_n. En divisant par √x :

J_n(x) = (A_n/√x) sin(x + β_n) + O(x^−3/2).

3^e partie — Une solution N_n non bornée en 0

1. Dérivées en 0

(a) On part de J_m−1^(k−1)(0) − J_m+1^(k−1)(0) = (1/π)∫ sin^k−1θ[cos(−(m−1)θ + (k−1)π/2) − cos(−(m+1)θ + (k−1)π/2)]dθ. Par cos a − cos b = −2 sin((a+b)/2) sin((a−b)/2), le crochet vaut −2 sin θ sin(−mθ + (k−1)π/2) = 2 sin θ cos(−mθ + kπ/2). On obtient 2J_m^(k)(0) = J_m−1^(k−1)(0) − J_m+1^(k−1)(0).

(b) On montre par récurrence sur k la propriété P(k) : « pour tout entier m > k, J_m^(k)(0) = 0 ».

• P(0) : J_m(0) = (1/π)∫₀^π cos(mθ)dθ = sin(mπ)/(mπ) = 0 pour m ≥ 1.
• Hérédité : si m > k ≥ 1, alors m−1 et m+1 sont > k−1, et (a) donne J_m^(k)(0) = 0.

Pour k ≤ n−1 < n : J_n^(k)(0) = 0.

(c) On a 2J_n⁽ⁿ⁾(0) = J_n−1⁽ⁿ⁻¹⁾(0) − J_n+1⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = J_n−1⁽ⁿ⁻¹⁾(0), car n+1 > n−1. En itérant : J_n⁽ⁿ⁾(0) = J₀(0)/2ⁿ = 1/2ⁿ.

(d) Par la formule de Taylor-Young, J_n(x) ∼ xⁿ/(2ⁿn!) en 0, quantité > 0 pour x > 0. Il existe donc α > 0 tel que J_n > 0 sur ]0,α].

2. L'équation (ε_n)

On écrit y = J_nφ. En reportant dans (E_n), les termes en φ disparaissent puisque J_n est solution. Il reste x²(J_nφ'' + 2J_n'φ') + xJ_nφ' = 0. Avec z = φ' : (ε_n) : z' = −(2J_n'/J_n + 1/x)z. L'équivalence est claire, car y ↔ φ_y = y/J_n est une bijection sur ]0,α].

3. La fonction ψ_n

On pose ψ_n(x) = 2n/x − 2J_n'(x)/J_n(x) = 2(nJ_n − xJ_n')/(xJ_n). Elle est continue sur ]0,α]. Par Taylor avec c = 1/(2ⁿn!), on a J_n = cxⁿ + O(xⁿ⁺¹) et J_n' = ncxⁿ⁻¹ + O(xⁿ). Donc nJ_n − xJ_n' = O(xⁿ⁺¹) tandis que xJ_n ∼ cxⁿ⁺¹. Ainsi ψ_n est bornée au voisinage de 0, donc sur ]0,α].

4. Construction de y_n

(a) z(x) = K x^−(2n+1) exp(−∫_x^α ψ_n), K ∈ ℝ.

(b) ψ_n est bornée donc intégrable sur ]0,α]. On peut réécrire z(x) = K' x^−(2n+1) exp(∫₀^x ψ_n) et choisir K' = −1. On pose ζ_n(x) = exp(∫₀^x ψ_n) − 1 : cette fonction est continue, bornée (|∫₀^x ψ_n| ≤ α sup|ψ_n|) et tend vers 0 en 0. Avec φ(x) = ∫_x^α(1 + ζ_n(t))t^−(2n+1)dt, on a φ' = z. La fonction y_n = J_nφ convient.

(c) Cas n = 0 : 1 + ζ₀ ≥ 1/2 près de 0, donc φ(x) ≥ (1/2)ln(1/x) + cste → +∞. Comme J₀(0) = 1, on obtient y₀ → +∞.

(d) Cas n ≥ 1 : par intégration des équivalents (fonctions positives, intégrale divergente), φ(x) ∼ 1/(2n x²ⁿ). Donc y_n(x) ∼ (xⁿ/(2ⁿn!))·1/(2n x²ⁿ) = 1/(2ⁿ⁺¹n·n!·xⁿ), et y_n → +∞.

5. Prolongement

On note N_n l'unique solution de (E_n) sur ℝ₊^* (équation normalisée, Cauchy-Lipschitz) ayant les mêmes conditions initiales que y_n en α. Par unicité, N_n = y_n sur ]0,α], donc lim_0⁺ N_n = +∞.

6. Solutions bornées

J_n est bornée et N_n ne l'est pas, donc (J_n, N_n) est libre : c'est une base (question 1.5). Au voisinage de +∞, toute solution est bornée. En effet, la partie 2 (questions 3(c) à 3(e)) n'utilise que le fait que √x·y est solution de (F_pn), donc y = O(1/√x). Une solution y = aJ_n + bN_n avec b ≠ 0 vérifie |y| ≥ |b||N_n| − |a| → +∞ en 0. Donc V = Vect(J_n) = ℝJ_n.

4^e partie — Série de Fourier de f(x) = √(1−x²) (période 2)

Pour la période 2, on a a_n(f) = ∫₋₁¹ f(x)cos(nπx)dx et b_n(f) = ∫₋₁¹ f(x)sin(nπx)dx. On note aussi ∫₀¹ f = π/4 (aire d'un quart de disque).

1. Parités et relation

f est paire, donc b_n(f) = 0. g est bien 2-périodique : g(x+2) − g(x) = ∫₋₁¹ f − 2∫₀¹ f = 0 par parité. g est impaire, car ∫₀^−x f = −∫₀^x f. Donc a_n(g) = 0.

g est C¹ avec g' = f − π/4 (voir 5(a)). En intégrant par parties b_n(g) = ∫₋₁¹ g sin(nπx)dx (le terme de bord s'annule par périodicité et parité), on obtient b_n(g) = (1/(nπ))∫₋₁¹ g'cos(nπx)dx = a_n(f)/(nπ). D'où a_n(f) = nπ·b_n(g) pour n ≥ 1.

2.

Pour x ≠ 0, θ ↦ sin(x sin θ)/x est une primitive de cos(x sin θ)cos θ, et elle s'annule en 0 et en π. Pour x = 0, ∫₀^π cos θ dθ = 0. Donc ∫₀^π cos(x sin θ)cos θ dθ = 0.

3. Expression intégrale de J₁ et coefficients

(a) On développe : J₁(x) = (1/π)∫[cos(x sin θ)cos θ + sin(x sin θ)sin θ]dθ = (1/π)∫₀^π sin(x sin θ)sin θ dθ, par la question 2. On intègre par parties (v = −cos θ ; le terme de bord est nul) : J₁(x) = (x/π)∫₀^π cos²θ cos(x sin θ)dθ = (2x/π)∫₀^π/2 cos²θ cos(x sin θ)dθ, par symétrie θ ↔ π − θ. Avec t = sin θ, on a cos²θ dθ = √(1−t²)dt, d'où J₁(x) = (2x/π)∫₀¹ cos(xt)√(1−t²)dt.

(b) a_n(f) = 2∫₀¹ √(1−t²)cos(nπt)dt. Avec (a) en x = nπ, cette intégrale vaut J₁(nπ)/(2n). Donc a_n(f) = J₁(nπ)/n pour n ≥ 1, et a₀(f) = π/2.

4. Convergence

(a) Par la partie 2, J₁(x) = O(1/√x). Donc a_n(f) = O(n^−3/2).

(b) Comme |a_ncos(nπx)| ≤ Cn^−3/2, terme général d'une série de Riemann convergente, la série de Fourier de f converge normalement, donc uniformément sur ℝ.

5. La fonction g

(a) f est continue sur ℝ : elle l'est sur ]−1,1[, et en ±1 ses limites valent 0 = f(−1), la périodicité faisant le reste. Donc g, qui vaut une primitive de f moins une fonction linéaire, est C¹ avec g' = f − π/4.

(b) g est continue, C¹ (a fortiori C¹ par morceaux) et 2-périodique. Par le théorème de Dirichlet (convergence normale), g = Σ b_n(g) sin(nπx) en tout point.

6. Conclusion pour f

Le théorème de Dirichlet ne s'applique pas directement à f, qui n'est pas C¹ par morceaux (dérivée infinie en ±1). On passe par g :

• la série Σ b_n(g) sin(nπx) converge simplement vers g (question 5) ;
• la série des dérivées, Σ nπb_n(g) cos(nπx) = Σ a_n(f) cos(nπx), converge uniformément (question 4) ;
• par le théorème de dérivation terme à terme, g' = Σ a_n(f) cos(nπx).

Donc f = π/4 + Σ a_n(f) cos(nπx) = a₀(f)/2 + Σ a_n(f) cos(nπx), c'est-à-dire √(1−x²) = π/4 + Σ_n≥1 (J₁(nπ)/n) cos(nπx) en tout point. Autre méthode possible : la somme S de la série est continue et a les mêmes coefficients que f, donc f − S = 0 par Parseval et continuité.

5^e partie — Transformée de Laplace de J₀

• 1. Comme |J₀(t)e^−pt| ≤ e^−pt, qui est intégrable sur ℝ₊ pour p > 0, F(p) est bien définie.
• 2. Les deux intégrandes sont majorés en module par e^−pt, car |J₀| ≤ 1 et |cos| ≤ 1. Et ∫_a^+∞ e^−ptdt = e^−ap/p.
• 3. On a ∫₀^a J₀e^−ptdt = (1/π)∫₀^π(∫₀^a e^−ptcos(t sin θ)dt)dθ, par Fubini (fonction continue sur le pavé [0,a]×[0,π]). En remplaçant chaque ∫₀^a par ∫₀^+∞, on commet une erreur ≤ e^−ap/p de chaque côté (question 2). Donc |F(p) − (1/π)∫₀^π∫₀^+∞…| ≤ 2e^−ap/p → 0 quand a → +∞, ce qui prouve l'égalité.
• 4. On a ∫₀^+∞ e^−ptcos(ωt)dt = Re(1/(p − iω)) = p/(p² + ω²). Avec ω = sin θ et la symétrie θ ↔ π − θ : F(p) = (2/π)∫₀^π/2 p/(p² + sin²θ)dθ. Avec u = tan θ, on obtient ∫₀^π/2 dθ/(p² + sin²θ) = ∫₀^+∞ du/(p² + (1+p²)u²) = π/(2p√(1+p²)). D'où F(p) = 1/√(1+p²).

💡 À réviser pour le CNC MP : intégrales à paramètre (continuité, dérivation, domination sur un segment), équations différentielles linéaires d'ordre 2 (Cauchy-Lipschitz, variation des constantes, abaissement de l'ordre y = J·φ, changement de fonction pour supprimer le terme en y'), lemme de Gronwall, intégration des relations de comparaison, formule de Taylor-Young, séries de Fourier (Dirichlet, convergence normale, dérivation terme à terme, coefficients d'une dérivée), Fubini sur un pavé et calcul de ∫e^−ptcos(ωt)dt. Les fonctions de Bessel sont un thème récurrent des concours : les résultats J_n ∼ xⁿ/(2ⁿn!) en 0, J_n = O(1/√x) en +∞ et ℒ(J₀)(p) = 1/√(1+p²) sont à connaître comme contrôles.