Modèle de concours : CNC 2000 Mathématiques I (MP) — Concours National Commun

Cette épreuve est la Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2000, filière MP, pour l'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (durée 4 heures, calculatrice interdite, énoncé de 3 pages). C'est un problème d'analyse en quatre parties : une série entière G (partie I), l'opérateur intégral T de noyau K(x,t) = min(x,t)²/max(x,t) sur C([0,1]) (partie II), ses valeurs propres via une équation différentielle (partie III), puis l'orthonormalité des vecteurs propres, une série de Fourier et une approximation hilbertienne (partie IV). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : tout le problème repose sur deux formules à obtenir tôt : la forme fermée G(x) = (sin x − x cos x)/x^3/2 (I.2) et la décomposition F(x) = (1/x)∫₀^x t²f(t)dt + x²∫_x¹ f(t)/t dt (II.3a). Retenez aussi le schéma « T f = λ f ⇔ problème aux limites » : c'est lui qui transforme la recherche des valeurs propres en une équation sin ω = 0.

Partie I — La fonction G

Rappel : u_n = (−1)ⁿ/((2n+3)(2n+1)!) et G(x) = Σ u_n x^2n+3/2.

I.1 — G est C¹ sur ℝ₊

On écrit G(x) = x^3/2 S(x), où S(x) = Σ u_n x²ⁿ. Par la règle de d'Alembert, |u_n+1/u_n| → 0, donc S est une série entière de rayon infini : S est C^∞ sur ℝ. La fonction x ↦ x^3/2 est C¹ sur ℝ₊, de dérivée (3/2)x^1/2, continue en 0. Le produit donne G de classe C¹ sur ℝ₊, avec G(0) = 0 et G'(0) = 0.

I.2 — Calcul de xG'(x) + (3/2)G(x)

Sur ℝ₊^*, on dérive terme à terme la série S, puis on multiplie par x^3/2 :

xG'(x) + (3/2)G(x) = Σ u_n(2n + 3/2 + 3/2) x^2n+3/2 = Σ (−1)ⁿ x^2n+3/2/(2n+1)! = √x · Σ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!

d'où xG'(x) + (3/2)G(x) = √x sin x. L'énoncé écrit « x ∈ ℝ », mais G n'est définie que sur ℝ₊. En x = 0, l'égalité reste vraie (0 = 0).

Conséquence utile : (x^3/2G(x))' = x^1/2(xG' + (3/2)G) = x sin x. En intégrant de 0 à x, on obtient x^3/2G(x) = sin x − x cos x, soit G(x) = (sin x − x cos x)/x^3/2 pour x > 0.

Partie II — L'opérateur T

On a K(x,t) = t²/x si t < x, x²/t si x < t, et K(x,x) = x. Autrement dit, K(x,t) = min(x,t)²/max(x,t) si (x,t) ≠ (0,0), et K(0,0) = 0. On a donc toujours 0 ≤ K(x,t) ≤ min(x,t).

II.1(a) — Valeur et continuité en 0

Pour t > 0, K(0,t) = K(t,0) = 0²/t = 0, et K(0,0) = 0. Donc Tf(0) = 0. Pour x > 0, on a |Tf(x)| ≤ ∫₀¹ x |f(t)| dt ≤ x‖f‖_∞, qui tend vers 0 quand x → 0 : Tf est continue en 0.

II.1(b) — T est un endomorphisme

La linéarité vient de celle de l'intégrale. Continuité de Tf sur ]0,1] : avec l'écriture de II.3(a) (qui ne demande que la relation de Chasles), Tf(x) = (1/x)∫₀^x t²f + x²∫_x¹ f(t)/t dt. C'est une combinaison de primitives de fonctions continues sur ]0,1], donc une fonction continue. Avec (a), on conclut que Tf ∈ C([0,1]) : T est un endomorphisme de C([0,1]). On peut aussi dire que K est continue sur [0,1]² (majoration par min(x,t) près de l'origine) et appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre.

II.2 — Surjectivité

Non : toute fonction de l'image vérifie Tf(0) = 0, donc la fonction constante 1 n'est pas atteinte.

II.3(a)

On découpe ∫₀¹ en ∫₀^x (où t < x, donc K = t²/x) et ∫_x¹ (où t > x, donc K = x²/t). On obtient F(x) = (1/x)∫₀^x t²f(t)dt + x²∫_x¹ f(t)/t dt.

II.3(b) — F est C¹ sur [0,1]

Sur ]0,1], on dérive (primitives de fonctions continues). Les termes en f(x) se compensent (x f(x) − x f(x) = 0) :

F'(x) = −(1/x²)∫₀^x t²f(t)dt + 2x∫_x¹ f(t)/t dt, qui est continue sur ]0,1].

En 0, on a les majorations |(1/x²)∫₀^x t²f| ≤ ‖f‖_∞ x/3 et |2x∫_x¹ f/t| ≤ 2‖f‖_∞ x|ln x|. Donc F'(x) → 0 quand x → 0. F étant continue sur [0,1], le théorème de la limite de la dérivée donne F dérivable en 0 avec F(0) = 0 et F'(0) = 0, et F est C¹ sur [0,1].

En x = 1 : F(1) = ∫₀¹ t²f(t)dt et F'(1) = −∫₀¹ t²f(t)dt, d'où F'(1) + F(1) = 0.

II.3(c)

F' est encore dérivable sur ]0,1] :

F''(x) = (2/x³)∫₀^x t²f + 2∫_x¹ f/t − f(x) − 2f(x) = (2/x²)F(x) − 3f(x).

F'' est continue, donc F est C² sur ]0,1] et F'' − (2/x²)F = −3f.

II.4 — L'équation (E₀) : x²y'' − 2y = 0

• (a) On cherche y = x^λ : on obtient λ(λ−1) − 2 = 0, soit (λ−2)(λ+1) = 0. Les solutions sont x ↦ x² et x ↦ 1/x.
• (b) Sur ]0,1], (E₀) s'écrit y'' − (2/x²)y = 0 : c'est une équation linéaire normalisée d'ordre 2 à coefficient continu, donc son espace de solutions est de dimension 2 (Cauchy-Lipschitz). Le wronskien de x² et 1/x vaut x²(−1/x²) − 2x(1/x) = −3 ≠ 0. Donc S₀ = {x ↦ a x² + b/x, (a,b) ∈ ℝ²}.
• (c) Tf convient : c'est une solution d'après (3c), sa limite en 0 vaut Tf(0) = 0, et (Tf)'(1) + Tf(1) = 0 d'après (3b). Soit y une autre solution vérifiant les deux conditions. Alors y − Tf = a x² + b/x. La limite nulle en 0 impose b = 0, puis la condition en 1 donne 2a + a = 3a = 0. D'où y = Tf : unicité.

II.5 — Caractérisation des valeurs propres non nulles

(⇒) Supposons Tf = λf avec λ ≠ 0 et f ≠ 0. Posons y = Tf = λf. Alors y ≠ 0, y → Tf(0) = 0 en 0, et y'(1) + y(1) = 0. De plus y'' − (2/x²)y = −3f = −(3/λ)y. En multipliant par λx² : λx²y'' + (3x² − 2λ)y = 0.

(⇐) Soit y une solution non nulle sur ]0,1] vérifiant les deux conditions. On pose f = y/λ sur ]0,1] et f(0) = 0 : f est continue sur [0,1] grâce à la limite nulle. Alors y est solution de y'' − 2y/x² = −3f avec les conditions de II.4(c), donc y = Tf sur ]0,1], et aussi en 0 où les deux valent 0. Ainsi Tf = λf avec f ≠ 0.

Partie III — Résolution de (E_λ) : λx²y'' + (3x² − 2λ)y = 0

III.1 — Solution développable en série entière

On pose y = Σ a_nxⁿ. En identifiant les coefficients (avec a₋₁ = a₋₂ = 0), on trouve λ(n−2)(n+1)a_n = −3a_n−2. Pour n = 0 et n = 1, on obtient a₀ = a₁ = 0. Pour n = 2, la relation est 0 = 0, donc a₂ est libre. Tous les coefficients impairs sont nuls. La condition f_λ ∼ x² impose a₂ = 1, et la récurrence fixe tous les autres coefficients : unicité.

On pose b_p = a_2p+2. Alors b_p = −3b_p−1/(λ·2p(2p+3)), donc b_p = (−3/λ)^p/Π_j=1..p 2j(2j+3). On vérifie que Π_j=1..p 2j(2j+3) = (2p+1)!(2p+3)/3, d'où

f_λ(x) = 3 Σ_p≥0 u_p (3/λ)^p x^2p+2.

Le rayon est infini (règle de d'Alembert). Cette série est donc bien une solution sur ℝ, ce qui prouve l'existence.

III.2 — Lien avec G

La formule de l'énoncé suppose λ > 0. On pose ω = √(3/λ). Alors √x G(ωx) = Σ u_p ω^2p+3/2 x^2p+2. En comparant avec f_λ = 3Σ u_p ω^2p x^2p+2, on trouve :

K_λ = 3ω^−3/2 = 3(λ/3)^3/4 = 3^1/4λ^3/4.

Avec I.2, on obtient la forme fermée f_λ(x) = (3/ω³)·(sin ωx − ωx cos ωx)/x. Contrôle : sin u − u cos u ∼ u³/3, donc f_λ(x) ∼ x².

III.3 — Seconde solution

• (a) Comme f_λ(x)/x² → 1 quand x → 0, il existe a > 0 tel que f_λ > 0 sur ]0,a].
• (b) Sur ]0,a], on écrit y = z f_λ. En reportant dans (E_λ), les termes en z disparaissent puisque f_λ est solution. Il reste λx²(z''f_λ + 2z'f_λ') = 0, c'est-à-dire f_λ(z')' + 2f_λ' z' = 0, soit (f_λ²z')' = 0. Donc z' = C/f_λ².
• (c) On prend z(x) = 3∫_x^a dt/f_λ(t)². Comme 1/f_λ² ∼ 1/t⁴ (fonctions positives, intégrale divergente en 0), l'intégration des équivalents donne z(x) ∼ 3·1/(3x³) = 1/x³. La fonction g_λ = z f_λ est solution sur ]0,a], et g_λ(x) ∼ x²/x³ = 1/x. On la prolonge en une solution sur ]0,1] par le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, puisque l'équation normalisée y'' + (3/λ − 2/x²)y = 0 est à coefficients continus sur ]0,1].

III.4 — Structure des solutions

• (a) Supposons αf_λ + βg_λ = 0. En multipliant par x et en faisant tendre x vers 0 : x f_λ → 0 et x g_λ → 1, donc β = 0. Puis α = 0 car f_λ ≠ 0. La famille (f_λ, g_λ) est libre.
• (b) L'équation normalisée a un espace de solutions de dimension 2, donc Σ₀ = Vect(f_λ, g_λ).
• (c) Soit y = αf_λ + βg_λ. Si β ≠ 0, alors y ∼ β/x ne tend pas vers 0. Si β = 0, alors y → 0. Donc les solutions tendant vers 0 en 0 forment exactement Vect(f_λ).

III.5 — Valeurs propres de T

(a) Soit λ une valeur propre non nulle. D'après II.5 et III.4(c), il existe une solution y = αf_λ non nulle avec y'(1) + y(1) = 0, donc f_λ'(1) + f_λ(1) = 0.

• Si λ < 0 : f_λ(x) = 3Σ (3/|λ|)^p x^2p+2/((2p+3)(2p+1)!) a tous ses coefficients positifs, donc f_λ(1) > 0 et f_λ'(1) > 0. La condition est impossible : aucune valeur propre négative.
• Si λ > 0 : on pose φ(x) = (sin ωx − ωx cos ωx)/x. Alors φ'(x) = (ω²x² sin ωx + ωx cos ωx − sin ωx)/x², d'où φ(1) + φ'(1) = ω² sin ω. La condition équivaut à sin ω = 0, soit ω = kπ avec k ∈ ℕ^*, donc 3/λ = k²π² : λ = λ_k = 3/(k²π²).

(b) Réciproquement, pour λ = λ_k, f_λk est une solution non nulle, tend vers 0 en 0 et vérifie f'(1) + f(1) = ω² sin(kπ)·(3/ω³) = 0. Par II.5, λ_k est valeur propre.

(c) Les vecteurs propres sont les f = y/λ_k avec y ∈ Vect(f_λk) \ {0}. Le sous-espace propre est la droite Vect(x ↦ (sin kπx − kπx cos kπx)/x), prolongée par 0 en 0. C'est aussi Vect(h_k) avec h_k(x) = √x G(kπx).

Partie IV — Aspect hilbertien

IV.1 — T est symétrique

K est continue et symétrique sur [0,1]². Par Fubini (fonctions continues sur un pavé compact) : (Tf,g) = ∫∫K(x,t)f(t)g(x)dt dx = ∫∫K(t,x)g(x)f(t)dx dt = (f,Tg).

IV.2

• (a) h_k est proportionnelle à f_λk (III.2 avec √(3/λ_k) = kπ). C'est donc un vecteur propre : Th_k = (3/(k²π²)) h_k.
• (b) Pour j ≠ k : λ_k(h_k,h_j) = (Th_k,h_j) = (h_k,Th_j) = λ_j(h_k,h_j). Comme λ_k ≠ λ_j, on a (h_k,h_j) = 0. Les φ_k = h_k/‖h_k‖ sont unitaires : la famille (φ_k) est orthonormée.

IV.3 — Série de Fourier et Σ1/k⁴

(a) f(x) = 1 − x²/π² est paire, donc b_n = 0. On a a₀/2 = (1/π)∫₀^π(1 − x²/π²)dx = 2/3. Par deux intégrations par parties, ∫₀^πx²cos nx dx = 2π(−1)ⁿ/n², donc a_n = −(2/π³)·2π(−1)ⁿ/n² = 4(−1)ⁿ⁺¹/(π²n²). La fonction f est continue, C¹ par morceaux, et f(−π) = f(π) : sa série converge normalement vers f.

1 − x²/π² = 2/3 + (4/π²) Σ_n≥1 (−1)ⁿ⁺¹ cos(nx)/n² sur [−π,π]. Contrôle en x = 0 : 1 = 2/3 + (4/π²)(π²/12).

(b) Par Parseval, (1/2π)∫_−π^π f² = (a₀/2)² + (1/2)Σa_n². Le membre de gauche vaut ∫₀¹(1−u²)²du = 8/15. On obtient 8/15 − 4/9 = 4/45 = (8/π⁴)Σ1/n⁴, d'où Σ 1/k⁴ = π⁴/90.

(c) Par symétrie, ∫∫K² = 2∫₀¹∫₀^x t⁴/x² dt dx = 2∫₀¹ x³/5 dx = 1/10. De plus Σλ_k² = (9/π⁴)Σ1/k⁴ = 9/90 = 1/10 : les deux quantités sont égales (égalité de Parseval pour le noyau).

IV.4 — Approximation

• (a) (K_x, φ_k) = ∫K(x,t)φ_k(t)dt = Tφ_k(x) = λ_kφ_k(x). Donc K_N,x = Σ_k=1..N λ_k φ_k(x) φ_k.
• (b) Par Pythagore, ‖K_x − K_N,x‖² = ‖K_x‖² − Σ_k≤N λ_k²φ_k(x)². On intègre en x, en utilisant ∫‖K_x‖²dx = ∫∫K² = 1/10 et ∫φ_k² = 1 : ∫₀¹‖K_x − K_N,x‖²dx = 1/10 − Σ_k≤Nλ_k², qui tend vers 0 d'après 3(c).
• (c) Par IV.1, (F,φ_k) = (Tf,φ_k) = (f,Tφ_k) = λ_k(f,φ_k). Donc S_N(x) = Σ_k≤N(F,φ_k)φ_k(x) = (K_N,x, f), et F(x) − S_N(x) = (K_x − K_N,x, f). Par Cauchy-Schwarz, |F(x) − S_N(x)|² ≤ ‖f‖²‖K_x − K_N,x‖². En intégrant : ‖F − S_N‖² ≤ ‖f‖²∫₀¹‖K_x − K_N,x‖²dx → 0.

💡 À réviser pour le CNC MP : séries entières et résolution d'équations différentielles par séries (relation de récurrence, rayon), méthode de variation de la constante y = z·f₁ (abaissement de l'ordre), wronskien et dimension de l'espace des solutions, dérivation d'intégrales à bornes variables, théorème de la limite de la dérivée, intégration des relations de comparaison, Fubini sur un pavé, endomorphismes symétriques (orthogonalité des sous-espaces propres), Fourier + Parseval (valeurs de ζ(2) et ζ(4)), projection orthogonale et inégalité de Bessel. Ce sujet est un classique « noyau de Green / opérateur de Hilbert-Schmidt ». Savoir reconnaître Σλ_k² = ∫∫K² fait gagner du temps.