نموذج مباراة ولوج السنة الأولى بالمدرسة المحمدية للمهندسين (EMI) لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة والإجازة - دورة 15 يوليوز 2024 - اختبار الرياضيات

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CONCOURS D'ADMISSION EN PREMIÈRE
ANNÉE
DEUG ET LICENCE
‏لل‎ ———Ù—————
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Lundi 15 juillet 2024
Durée:3 heures
La Présentation, la lisibilité, l'orthographe,
0
CS ralsonnements <Atreront pour une pa
la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
rtimportante dans l'appréciation des copies.
Les candidats Sont invités
à cacadrer, dans la mesure d
calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun dacument. L'
interdit.
‎possible, les résultats de‏ نا
‎leurs
‎Usage de la calculatrice et
‎aussi
‎Si un candidat est am 806 3 8
Signalera sur sa copie et de
intitiatives qu'il a été amen
‎pérer ce qui peut lui se
1773 poursuivre sa
é à prendre,
‎mbler être une erreur d
‎‘énoncé, il le
composition en expliquant les
‎raisons des
‎Nombre de pages: 6

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IL Partie Algèbre
Exercice
3 1 -1
Soit À = 0 1 1 | ‏ع‎ M;(R); on note v J'endomorphisme de R? canoniquement associé à À
2 0 2
1. Calculer le polynôme caractéristique ‏ربز‎ de la matrice À et en déduire que À possède une
seule valeur propre À à préciser
Déterminer Ker(v — Aidz), le sous-cspace propre de v associé à son unique valeur
propre À
3. La matrice A est-elle diagonalisable dans M3(R)? Est-elle triagonalisable dans M; (R)?
4. On considère l’endomorphisme u
4.1 Montrer que l’endomorphisme u est nipoten
que ud = 0
42 Déterminer le noyau de l’endomorphisme ‏قير‎ puis vérifier que e, € Ker u 2
2(e,), ‏,(ر2 )ا‎ €.) est une base de R$ et ecrire la
A en fonction de T
+0 1 4k
k=0 gi À
= v—2idps et on pose & = (1,0,0)
t, c’est à dire, il existe un entier d >1tel
4.3 Montrer que la famille B = (u
matrice T de v dans la bäse B, puis exprimer la matrice
4.4 Calculer l’exponentielle de la matrice À. On rappelle que exp(A) = D
Problème
èbre des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients dans
atrices inversibles de M,(K). Une matrice À € M2(K)
où À € K et L, la matrice identité de M,(K).
Dans ce problème, M(K) désigne l’alg
K=R ou C, et GL,(K) le groupe des m
est dite scalaire si elle est de la forme A=Àb,
f ° ‏و‎ se note fg. Les deux parties du problème s ’enchaînent entre elle.
1" partie : Caractérisation des homothéties en dimension 2, AP
e dimension E et £(E) l’algèbre des endomorphismes de E. Si
ntavec f : C(F) =
plication au commutant
E désigne un espace vectoriel d
f € L(E), on note C(f) 1 ensemble des endomorphismes de E qui commute
‎LE); fg = gf}‏ 6 و
‎Soit f 6 L(E) tel que, pour tout x € E, la famille (x, f(x))‏ .1
‎Montrer que, pour tout x € E\{0g}, il existe un unique‏ .1.1
‎Soit (e:,e,) une base de E ; montrer que le = le:‏ .1.2
‎À.,. Montrer que f = À idg(homothétie de rapport À).‏ = ,و1 = ‎On pose À‏ .1.3
‎est liée.
À, € K tel que f(x) = ‏عمد‎
‎2. Soit fun endomorphisme de E.
2.1. Montrer que €(f) est un sous-espace vectoriel de LE).

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2.2. Déterminer €(f) sif est une homothétie.
3. Soit f un endomorphisme de E qui n’est pas une homothétie.
3.1. Justifier qu’il existe e € E tel que la famille (e, f(e)) soit une base de E.
3.2. Si ‏و‎ © L(E), justifier qu’il existe un unique couple (a, 6 K? tel que g(e) =
a e + B f(e) ct montrer que g © C(f) si, et seulement si, g = a ide + Bf.
3.3. Préciser C(f); quelle est sa dimension ?
4, Traduction matricielle : Soit À 6 M,(K); on pose C(A) = {M 6 M,(K); AM = MA).
4.1. Si À est une matrice scalaire, déterminer C (4).
4.2. Si À n'est pas une matrice scalaire, montrer que C(A) = Vect(I,, A); quelle est sa
dimension ?
2ème partie : Diagonalisation simultanée dans M,(K)
a b
1. Pour quels triplets (a, b,c) € K? la matrice À = ( 4 est-elle diagonalisable dans
M,(K)?
2. Donner alors un exemple de matrice de M,(K) qui n’est pas diagonalisable dans M,(K).
3. Soit A © M,(K) et À € K; montrer que la matrice À est diagonalisable dans M,(K) si, et
seulement si, la matrice À + AI, l’est aussi.
4. Soient À et B deux matrices diagonalisables de M,(K) telles que AB = BA.
4.1. Montrer que les matrices A et B sont simultanément diagonalisables dans M,(K),
c’est à dire qu’il existe P € GL,(K) telle que les matrices PAP-1 et PBP-1 soient
diagonales. On pourra remarquer que B € C(A) et traiter à part le cas où À est une
matrice scalaire.
4.2. Montrer que, pour tout À € K, la matrice À + À B est diagonalisable dansM,(K).
5. Familles de matrices diagonalisables
5.1. Soient (4:);e; une famille de matrices diagonalisables de M:(K). On suppose en
outre que ces matrices commutent deux à deux: V(i, j) € 12, À; ‏رذ‎ = A;Ai. Montrer
que les matrices À,, i € 1, sont simultanément diagonalisables dans M; Ko), c’est à
dire qu’il existe P 6 GL,(K) telle que, pour tout ‏أ‎ € 1, la matrice PA;P7* soit
diagonale. On pourra traiter à part le cas où toutes ces matrices sont scalaires.
5.2. Soit m € N°. Montrer que si 41, …, An sont des matrices involutives de M, K) qui
commutent deux à deux, alors m < 4. On rappelle que M € M,(K) est dite
involutive si M? = I,
6 o . _f0 0 1
n considère les matrices ] = 6 7 et K = (° 1 ‏ل‎ où a et d sont des nombres réels.
6.1. Montrer que, pour tout À € KR, la matrice [ + 1 1 est diagonalisable dans M, (R).
6.2. Est-ce que les matrices / et K commutent entre elles ?

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11. Partie Analyse: À rédiger sur une feuille à part
1?" partie
1. On considère une suite de récls (a,,), une suite de complexes (b,) et on note pour tout
entier naturel n :
— n 0 — n
Sh — ‏تارم‎ dk be , ‏عدوم "- ص‎ be.
En remarquant que, pour k > 1,b4 = By — By_1, démontrer que pour tout entier naturel
n non nul,
Sn = X=o (x — Ax+1)Bx + ‏وثلمه‎ (Transformation d’Abel).
2. On suppose que la suite (B,) est bornée et que la suite (a, ) est décroissante de limite
nulle.
2.1.  Démontrer que la série ‏مورلل‎ (ax — Ay+1) converge.
2.2. En déduire que la série },,6(anbA) converge.
2.3. En appliquant le résultat précèdent au cas où b, = (—1)", donner une
démonstration du théorème des séries alternées, après l’avoir énoncé.
3. Exemple.
Dans cette question, 8 est un réel différent de 2kr (k € Zjeta 6
3.1. Calculer pour n entier naturel non nul, DHL
. . , ‏8م‎
‎3.2. Discuter en fonction du réel « la nature de la série D cs
121 75
4. Soit la série de fonctions ‏د21‎ u, où pour x réel et n entier naturel non nul,
sin(nx)
un(x) =
Démontrer que cette série de fonctions converge simplement en tout point de R.
On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une série de complexes Ÿ u,converge si et
seulement si, les deux séries ayant pour termes généraux les parties réelles et parties
imaginaires (c’est-'a-dire Re(u,) et Im (us)) convergent.
On notera U sa fonction somme : pour tout réel x, ‏شال 5 - عل‎
1 7
297“ partie
Pour toute cette partie, on définit une famille d'équations différentielles F(A)nertpar:
+ 1 1 1 4 _
VAER ,Y +=Y (1+2)y=0.

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Et par “solution d’une équation différenticlle”, on fait référence aux solutions à valeurs
réclles.
1. Soitxun récl.
1.1. Étudier, sclon les valeurs de x, l’intégrabilité sur l'intervalle] 0,1 ] de la fonction :
tt let
1.2. Montrer que cette même fonction est intégrable sur l'intervalle [1, + [.
2. A quelle condition, nécessaire ct suffisante, sur le complexe z la fonction t —
t-le-test-clle intégrable sur l'intervalle ]0, +oo[ ?
3. Onpose r(z)= 7 t"1e"tdt, z € Cet Re(z) > 0.
3.1. Soit z un complexe tel que Re(z) > 0 ; montrer que l'(z + 1) = zT(z).
3.2. En déduire, pour tout réel &« > —1 ettoutp € N°, l’identité
T(&a+p+1)=(a+p}(«+ p— 1(...) + 1)T(a + 1).
3.3. Montrer que pour tout x > 0, (x) > 0.
3.4. Calculer (1) et en déduire la valeur de l(n + 1) pour tout entier naturel 7
4. Soit zun complexe tel que Re(z) > 0 ; montrer soigneusement que
+00
(— 1)7 1 +00
‏اج دم‎ + | tea
nl n+z 1
n=0
Cette formule permet de prolonger la fonction 1 à la partie C \ {0, —1, —2,...} du
plan complexe.
5. Montrer que la foncti +0 C1 éfini
q onx > Jo est définie sur R{0, —1, —2,...} et qu’elle y est continue.
6. Soientaet b deux réels avecO > a < b,etsoitt > 0.
6.1. Déterminer max(t4”1, t?-1) selon les valeurs de t
6.2. Montrer que
Vx € [a, ‏راط‎ 0 <t*-1 > max(tt”t, tn),
6.3. En déduire que la fonction l'est de classe 61 sur ‏بق‎ et donner l’expression de sa
dérivée sous forme intégrale.
7. Soient À > 0 , » ‏هنا‎ 1661 et ‏مجنل‎ Ah Z” une série entière, à coefficients réels et de
rayon de convergence R > 0. Pour tout x 6[0 ,R[, on pose

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+00
“تت ‎D‏ = تير
n=0
7.1. On suppose que la fonction y4 est solution de l’équation différentielle (F;) et que
ao # 0. Montrer que
‏ه(22 - ?)1+ م)) ,22 = ع‎ = 0, etVn>0 ((a+n)— À )dn =‏حوره‎
‎7.2. On suppose que « = À et que la fonction y,est solution de l’équation
différentielle (F,)avec ‏مه‎ # 0. Montrer que
aoT(a+1)
Vp € N, A2p+1 = 0et 020 = 220017 (a +p+1)
7.3. Les a, étant ceux trouvés précédemment ; calculer le rayon de convergence de la
série entière ‏وجول‎ An Z7-