نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك المهندسين (EMI - ECC) لحاملي DEUG والإجازة - المدرسة المحمدية للمهندسين - دورة 15 يوليوز 2016 - اختبار الرياضيات

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Concours EMI 2016 - Epreuve de mathématiques
CONCOURS D'AD AE
EN PREMIÈRE ANNE
EMI - ECC
DEUG - LICENCE
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUE:
Vendredi 1% juillet 2016
Durée 4 heures
Prémentation, la Baibilité, l'orthographe, ‏ما‎ qualité de la rédaction, la clarté et la précision
PGO EIRE CHÉTETONE pour une part Hiportante dans l'appréciation des copies
éahlilate mont irivités À encadrer, dans ‏ما‎ mesure du pousible, les résultats de leurs calculs.
he doivent faire ‏مسو‎ d'aucun ‏يعمل‎
Wu canclidel cut ainené à repérer ce qui ‏ارصم‎ fui eesubler étre une erreur d'énoncé, il le signalera
sn Cojne ‏ام‎ devra poursuivre ‏وو‎ conpmition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a
١ ‏املظ‎ À protdre
Beive cennporte deux problines indépendants à rédiger sur des feuilles séparées
f silles séparée
4 ستريب ‎de pages ) celle-ci mens‏ ايل

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Concours EMI 2016 - Epreuve de mathématiques
1 PARTIE I : ANALYSE: ‏مون‎ Rieman
- Autour de la foncti >rnée :
‏ل‎ tion zeta alte nie par
Objectifs : On note F la fonction zeta alternée de Riemann définie F
F e (=D
= Er
CEE
اج
et la fonction zeta de Riemann définie sur ]1;+oo[ par
1 م
‎=D‏
‎ste de F et 6:‏ 7" :
‎Ce problème Propose une étude croisée de quelques propriétés‏
‎Déterminer l’ensemble de définition de F.‏ .)1°
‎définie SUT lp: LR‏ رحولمو) ‎On considère la suite de fonctions‏ .)2°
k=0 we
me de convergence dominée,
Déterminer lalimite simple ‏و‎ de ‏(مو)‎ puis, en utilisant le théorè
1
montrer que F(1) = [ g(t)dt. En déduire la valeur de F().
0
]. En
‎=D" t sur [2;+00‏ أ
‎Démontrer que la série de fonctions D» 7 converge normalement! 2‏ .)3°
‎n>1‏
‎déduire la limite de F en +.
‎4°). Dériwabilité de F
‎(a) Soit x > 0. Étudier les variations sur ]0;+oo[ de la fonction t + ra et en déduire
‎que la suite ( ) est monotone à partir d’un certain rang (dépendant de x) que l’on
n21
‎précisera.
‎{b) Pour n > 1, on pose ‏لمحت جرع :ول‎ Si a est un réel strictement positif, démontrer
n
‎que la série des dérivées ‏رج‎ / converge uniformément sur {a; +oo.
‎n>1
‎En déduire que Fest une fonction de classe 01 sur [0 +oof.
‎}. Lien avec (
Calculer, pour x > 1; F(x) - ))*( en fonction de x et de G(x). En déduire que :
‎Fr) = )1- 2-1)

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1 Puis en déduire La limite de 6 en +00
IL Produit de Cauchy de la série alternée P.
i On rappelle que le produit de Cauc hy de deux séries 2
ni
Cn = > Gxbn_4. Dans cette Partie, on veut déterminer la uat
k=]
n
1 Cn{z), produit de Ca 4 1) ème:
2 pi it de Cauchy de > a Par elle méme
Cette étude va illustrer le fait que le produit de Cauchÿ d 1
2 strictement à
néc “essairemment une série convergente. à
égal à
Dans toute cette partie, n désigne un entier supérieur ou 6€
\posit if.
6°). Étude de la con vergence i
! duit :
. érie pro
| n deF de la sêr
(a) Indiquer sans aucun calcul la nature et la somme 61 fonctio
‎L‏ > ع ‎cn(s), lorsque‏ ل
‎n22‏
‎VAT FU
(b) Démontrer que pour x > 0, | (x) |< ne
‎En déduire pour 0 > 2 > 1/2, la nature de la série 5 Cn(t)
‎n22
‏1 = ع لاه ‎Cas‏ .)7°
‎V{a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle Xn=X)
‎(sorame partielle de la série harmonique).
‎17
‎(b) Déterminer la monotonie de la suite ( -
‎(e) En déduire la nature de la série S cr).
‎n22

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Concours EMI 2016 - Epreuve de mathématiques
16 ens » n SU
, 0 ie
de dimension fn |
‏مجو(‎ engen* dre
0
9161-6
4 M le
11 dit « 1
' que | endomorphi ‏ل‎
‎nique est c “nes
Polynôme
li mn un espace vectoriel ‏كا‎
‎Yclique S'il existe un tan de E tel que { uX(xo)
Minima] de y 0
(a) Montrer
que l icati {x est lin
de noyau li application P ++ Pu(ro) de K{X] sur Ee
laquel déal (M). En déduire que (xo,u(ro) um ‏((رج)‎ est une
la matrice de u est la matrice compagnon associée à M.
() Montrer que l’application :
1e Fi = {R(u)(xo)lR € 1} ble des
0 e
est une bijection de l’ensemble des idéaux 7 de K{X] contenant Me Te spaces
Sous-espace stables par u de E. En déduire qu'il n'existe qu'un nombre fini de sou
stables par u.
ermnent
i iqu
(c) Montrer que les sous-espaces de 127 stables par l’endomorphisme u canoniq
associé à la matrice triangulaire supérieure :
sont de la forme Zmu* pour k € [0,n].
Nb : On rappelle que la matrice compagnon associée à ui polynôme unitaire
مه + يه + .+ "رمه + تآ = ‎P(X)‏
écrit sous la forme :

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PARTIE 11: ‏تكاج‎ 1111
1: on 4 ‏يد‎
‎1 de MA®)
Soit ri mipétieur où égal à 2, NI À 2 (e,,) ont 8 patrie le
VS ci
ra
k
LA) = Dam 94)
k
1
» / 59 apmtih
d(A) 2? ; Ghh a(A) 2- ‏ل‎
‎matrices À ‏أ‎ rifinnt
/ (a) Montrer que l'ensemble No den
V(,3) € [nf li(A) ‏إن‎ = 0
: 18 1)’
eat un voun-enpace vectoriel de M,(E) de dimension (n = 1)
den matrices À vérifiant :
‎(b) Montrer que l'ensemble N‏ ل
‎vip) e [tn], ‏الا الال‎
‎est un vous-espace vectoriel de M,(t) de dimension (n — 1)? 4 ٠
‎{ (c) Montrer que pour n 2 4 l'ensemble Mo des matrices À vérifiant
‎déA) = AA) = 0 ‏كلا اك‎ LA) ‏د‎ cj(A) ‏تك‎
‎est un sous-cnpace vectoriel de M,{E) de dimension (n 1 9
‎/ (d) Montrer que pour 12 0 l'ensemble M des matrices À vérifiant
‎V(i,j)e fl nf”, LCA) = ‏(ابان‎ = d(A) » (A)
‎est un sous-espace vectoriel de M,(t) de dimension (n 1(4 1