نموذج مباراة ولوج أكاديمية الفنون التقليدية بالدار البيضاء (مؤسسة مسجد الحسن الثاني) 2017-2018 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année de l'Académie des Arts Traditionnels (Fondation de la Mosquée Hassan II de Casablanca), année académique 2017/2018. Durée : 1 heure, calculatrice non programmable autorisée, cinq exercices notés sur 20. Voici une correction détaillée.

💡 Méthode : même structure chaque année (complexes, espace, suites, fonction, problème concret). Entraînez-vous sur les sessions voisines : les questions changent surtout par les nombres.

Exercice 1 : nombres complexes (3 pts)

1) Forme algébrique de Z = (1 + 2i)/(1 − i) : on multiplie par le conjugué du dénominateur.

Z = (1 + 2i)(1 + i) / ((1 − i)(1 + i)) = (1 + i + 2i + 2i²)/2 = (−1 + 3i)/2.

Donc Z = −1/2 + (3/2) i.

2) Forme trigonométrique de W = 1 − i√3 : |W| = √(1 + 3) = 2.
W = 2(1/2 − i√3/2). L'angle de cosinus 1/2 et de sinus −√3/2 est −π/3.
W = 2(cos(−π/3) + i sin(−π/3)).

Exercice 2 : géométrie dans l'espace (4 pts)

A(1, 1, 2), B(−1, 1, 1), C(2, −1, 0).

1) Droite (AB) : elle passe par A et a pour vecteur directeur AB(−2, 0, −1).

x = 1 − 2t ; y = 1 ; z = 2 − t, avec t ∈ ℝ.

2) a) On a AB(−2, 0, −1) et AC(1, −2, −2). On calcule le produit vectoriel coordonnée par coordonnée :

• 1^re coordonnée : 0×(−2) − (−1)×(−2) = 0 − 2 = −2
• 2^e coordonnée : (−1)×1 − (−2)×(−2) = −1 − 4 = −5
• 3^e coordonnée : (−2)×(−2) − 0×1 = 4

Donc AB ∧ AC = −2i − 5j + 4k.

b) Le vecteur n(−2, −5, 4) est normal au plan (ABC), d'équation −2x − 5y + 4z + d = 0.

Comme A appartient au plan : −2 − 5 + 8 + d = 0, donc d = −1.

(ABC) : −2x − 5y + 4z − 1 = 0, soit 2x + 5y − 4z + 1 = 0.
Vérification avec B : −2 + 5 − 4 + 1 = 0. Avec C : 4 − 5 − 0 + 1 = 0.

Exercice 3 : suites (4,5 pts)

u_n+1 = 2u_n + 3, u₀ = 1/2, v_n = u_n + 3.

1) a) v_n+1 = u_n+1 + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n.

(v_n) est donc géométrique de raison 2, de premier terme v₀ = 1/2 + 3 = 7/2.

b) v_n = v₀ × 2ⁿ = (7/2) × 2ⁿ = 7 × 2ⁿ⁻¹.

c) u_n = v_n − 3, donc u_n = 7 × 2ⁿ⁻¹ − 3.

2) La somme compte 18 termes d'une suite géométrique de raison 2 :

v₀ + … + v₁₇ = v₀ × (2¹⁸ − 1)/(2 − 1) = (7/2)(2¹⁸ − 1) = (7/2) × 262 143 = 917 500,5 (soit 1 835 001/2).

Exercice 4 : f(x) = (ln x)² − 2 ln x sur ℝ₊* (5 pts)

1) Limites : on écrit f(x) = ln x (ln x − 2).

• En 0⁺ : ln x → −∞ et ln x − 2 → −∞, donc lim f(x) = +∞.
• En +∞ : les deux facteurs tendent vers +∞, donc lim f(x) = +∞.
• f(x)/x = (ln x)²/x − 2 (ln x)/x. Or (ln x)/x → 0 et (ln x)²/x → 0 (croissances comparées), donc lim f(x)/x = 0. La courbe a une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

2) a) f'(x) = 2 ln x × (1/x) − 2/x = (2/x)(ln x − 1).

b) Pour x > 0, 2/x > 0, donc f'(x) a le signe de ln x − 1, qui s'annule en x = e.

f(e) = 1 − 2 = −1.

Exercice 5 : coût de production (3,5 pts)

f(x) = x³ − (87/2)x² − 90x + 100 000, avec x ≥ 10.

1) f(10) = 1 000 − 4 350 − 900 + 100 000 = 95 750 DH.

2) a) f'(x) = 3x² − 87x − 90 = 3(x² − 29x − 30) = 3(x − 30)(x + 1).

b) Pour x ≥ 10, on a x + 1 > 0. Donc f'(x) < 0 sur [10 ; 30[ et f'(x) > 0 sur ]30 ; +∞[. Le coût est minimal pour x = 30 moteurs.

f(30) = 27 000 − 39 150 − 2 700 + 100 000 = 85 150 DH.