نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش 2004 - الكهرمغناطيسية (ولوج السنة الثالثة)

Ce modèle est l'épreuve d'Électromagnétisme du concours d'accès de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad, année universitaire 2003-2004), session du 9 juillet 2004. Le pied de page indique un concours d'accès en 3^e année. Durée : 1 h 30. Cinq exercices : deux circuits (Thévenin, superposition en régime sinusoïdal), une bobine tournante, le champ électrique induit par un solénoïde et l'inductance d'un câble coaxial. Voici une correction proposée.

Exercice 1 — Théorème de Thévenin

Lecture du schéma : prenons la masse au point bas de R₃. La grande plaque (borne +) de E₁ est côté gauche, celle de E₂ côté droit. Les deux générateurs portent donc les extrémités gauche et droite à +12 V et +18 V, et tous deux débitent vers le nœud A (haut de R₃).

Générateur de Thévenin vu par R₃ (R₃ débranchée) :

• E_th = V_A à vide = (E₁/R₁ + E₂/R₂)/(1/R₁ + 1/R₂) = (4 + 4,5)/(7/12) = 102/7 ≈ 14,57 V ;
• R_th = R₁ // R₂ (sources éteintes) = 3×4/7 = 12/7 ≈ 1,71 Ω.

I₃ = E_th/(R_th + R₃) = (102/7)/(12/7 + 42/7) = 102/54 = 17/9 ≈ 1,89 A, de A vers la masse (vers le bas dans R₃).

💡 Contrôle par Millman : V_A = (12/3 + 18/4)/(1/3 + 1/4 + 1/6) = 8,5/0,75 ≈ 11,33 V, et I₃ = 11,33/6 ≈ 1,89 A.

Exercice 2 — Théorème de superposition

V₁ = 50∠90° = j50 V, V₂ = 50∠0° = 50 V, Z = 3 + j4 Ω. On lit les flèches comme pointant vers la borne + : la borne haute de V₁ est à +j50, la borne haute de V₂ à −50 V par rapport à la ligne du bas. On cherche le courant I dans Z, compté de haut en bas.

V₁ seule (V₂ court-circuitée) :

• Z // j5 = (3 + j4)(j5)/(3 + j9) = 0,833 + j2,5 Ω ; impédance vue par V₁ : 5,833 + j2,5 Ω.
• Courant débité : j50/(5,833 + j2,5) ; diviseur de courant : I′ = j50/(5,833 + j2,5) × j5/(3 + j9) = 0,345 + j4,138 A ≈ 4,15∠85,2° A.

V₂ seule (V₁ court-circuitée) :

• Z // 5 = (3 + j4)·5/(8 + j4) = 2,5 + j1,25 Ω ; impédance vue par V₂ : 2,5 + j6,25 Ω.
• I″ = (−50)/(2,5 + j6,25) × 5/(8 + j4) = 0,345 + j4,138 A.

Superposition : I = I′ + I″ = 0,69 + j8,28 A ≈ 8,30∠85,2° A.

💡 Contrôle par la méthode des nœuds : V_A(1/5 + 1/Z + 1/(j5)) = j50/5 + (−50)/(j5) donne le même I = V_A/Z. Réponse probable : elle dépend du sens des flèches de tension. Si l'on considérait V₂ orientée en sens inverse, les deux contributions seraient opposées et le courant dans Z serait nul.

Exercice 3 — Bobine plate tournante

1°/ Soit θ = ωt l'angle entre la normale à la bobine et B. Flux total : Φ(t) = NBπr² cos ωt. Force électromotrice induite (loi de Faraday) : e = −dΦ/dt = NBπr²ω sin ωt. En négligeant l'auto-inductance :

i(t) = (NBπr²ω/R) sin ωt : courant alternatif sinusoïdal de pulsation ω, d'amplitude NBπr²ω/R.

2°/ Le courant induit est nul à tout instant ⇔ e = 0 ⇔ le flux Φ reste constant.

• a/ Direction fixe, module B(t) variable : Φ = Nπr²B(t) cos ωt = constante impose B(t) = B(0)/cos ωt. Cette loi diverge quand cos ωt = 0 (plan de la bobine parallèle à B). Elle n'est donc réalisable que sur des intervalles où cos ωt ≠ 0 ; à tout instant, seule la solution triviale B = 0 convient.
• b/ Module constant, direction variable : il faut que l'angle entre B et la normale reste constant. B doit donc tourner autour du même axe, à la même vitesse angulaire ω et dans le même sens que la bobine (champ tournant synchrone) : B(t) = B[cos(ωt + α) u_x + sin(ωt + α) u_y], α constant.

Exercice 4 — Champ électrique induit par un solénoïde

1) Solénoïde infini, n spires par mètre, courant i : B = μ₀n i u_z à l'intérieur (ρ < a), B = 0 à l'extérieur (sens de u_z donné par la règle de la main droite avec le sens de i).

2) Par symétrie, E = E(ρ)u_θ (orthoradial). On applique la relation donnée sur un cercle Γ d'axe Oz et de rayon ρ :

• ρ < a : 2πρE = −μ₀n (di/dt) πρ² ⇒ E = −(μ₀nρ/2) (di/dt) u_θ ;
• ρ > a : 2πρE = −μ₀n (di/dt) πa² ⇒ E = −(μ₀na²/(2ρ)) (di/dt) u_θ.

Le champ électrique induit existe même à l'extérieur, où B est nul. Il est continu en ρ = a et, par le signe −, s'oppose à la variation du courant (loi de Lenz).

Exercice 5 — Inductance propre d'un câble coaxial

1) Symétrie : B = B(r)u_θ. Théorème d'Ampère sur un cercle d'axe Oz de rayon r :

• r < R₁ : courant enlacé nul (courant surfacique) ⇒ B = 0 ;
• R₁ < r < R₂ : courant enlacé I ⇒ B = μ₀I/(2πr) u_θ ;
• r > R₂ : courant enlacé I − I = 0 ⇒ B = 0.

2) w_m = B²/(2μ₀) : w_m = μ₀I²/(8π²r²) pour R₁ < r < R₂, et 0 ailleurs.

3) Avec dV = 2πr l dr :

W = ∫_R1^R₂ μ₀I²/(8π²r²) · 2πr l dr = (μ₀I²l/(4π)) ln(R₂/R₁).

4) W = ½ L_l I² pour une longueur l, d'où L_l = (μ₀l/(2π)) ln(R₂/R₁) et, par unité de longueur, L = (μ₀/(2π)) ln(R₂/R₁) (en H/m).