نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش 2003 - الكهرمغناطيسية (ولوج السنة الثالثة)

Ce modèle est l'épreuve d'Électromagnétisme du concours d'accès de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad, année universitaire 2002-2003), session du 16 juillet 2003. Le pied de page indique un concours d'accès en 3^e année. Durée : 1 h 30. Quatre exercices : sphère diélectrique dans un champ uniforme, condensateur cylindrique, bobine torique, puis une question de cours au choix. Voici une correction proposée.

Exercice 1 — Sphère diélectrique dans un champ uniforme

Notons a le rayon de la sphère, (r, θ) les coordonnées polaires d'axe Oz parallèle à E₀, et k = 1/(4πε₀).

1) À l'extérieur, le champ est la superposition du champ appliqué et du champ du dipôle m = mu_z (le rappel donne, en polaires, E_r = 2km cosθ/r³ et E_θ = km sinθ/r³). Avec E₀ = E₀(cosθ u_r − sinθ u_θ) :

E_r = (E₀ + 2km/r³) cosθ ; E_θ = (−E₀ + km/r³) sinθ.

2) À l'intérieur, E_int = E_intu_z, soit E_r = E_int cosθ, E_θ = −E_int sinθ. Relations de passage en r = a (pas de charges libres) :

• continuité de la composante tangentielle de E : −E_int = −E₀ + km/a³ ;
• continuité de la composante normale de D : ε₀ε_rE_int = ε₀(E₀ + 2km/a³).

En éliminant km/a³ = E₀ − E_int : ε_rE_int = 3E₀ − 2E_int, d'où

E_int = 3E₀/(ε_r + 2) et m = 4πε₀a³ (ε_r − 1)/(ε_r + 2) · E₀.

Le champ intérieur est uniforme et plus faible que E₀ (ε_r > 1).

3) La polarisation est uniforme : P = ε₀(ε_r − 1)E_int = 3ε₀(ε_r − 1)/(ε_r + 2) · E₀. Le champ dépolarisant est le champ créé par la matière polarisée à l'intérieur :

E_p = E_int − E₀ = [3/(ε_r + 2) − 1]E₀ = −(ε_r − 1)/(ε_r + 2) · E₀ = −P/(3ε₀). ✔

Cohérence : m = (4/3)πa³P (moment dipolaire total de la sphère) redonne bien l'expression de la question 2.

Exercice 2 — Condensateur cylindrique

Par symétrie (cylindres infinis, coaxiaux), V ne dépend que de r. Entre les armatures il n'y a pas de charge : ΔV = 0, soit

(1/r) d/dr (r dV/dr) = 0 ⇒ r dV/dr = A ⇒ V(r) = A ln r + B.

Conditions aux limites : V(R₁) = 0 et V(R₂) = 220 V, d'où A = 220/ln(R₂/R₁) et

V(r) = 220 · ln(r/R₁) / ln(R₂/R₁), avec R₂/R₁ = 30 mm / 2 mm = 15 et ln 15 ≈ 2,708 : V(r) ≈ 81,2 · ln(r / 2 mm) (en volts).

Champ : E = −dV/dr u_r = −(81,2 / r) u_r (V/m, r en mètres) : radial, dirigé vers le cylindre intérieur (du potentiel le plus haut vers le plus bas). Valeurs : |E(R₁)| = 81,2/0,002 ≈ 4,06 × 10⁴ V/m ; |E(R₂)| = 81,2/0,03 ≈ 2,7 × 10³ V/m. Le champ est maximal contre le conducteur intérieur.

Exercice 3 — Bobine torique à section carrée

1) Par symétrie, B est orthoradial et ne dépend que de la distance ρ à l'axe Δ. Théorème d'Ampère sur un cercle d'axe Δ de rayon ρ intérieur au tore (R − a < ρ < R + a), pour le circuit 1 seul : B·2πρ = μ₀N₁I₁, soit B = μ₀N₁I₁/(2πρ) (B = 0 hors du tore).

Flux à travers une spire (section carrée de hauteur 2a) :

Φ₁ = ∫_R−a^R+a μ₀N₁I₁/(2πρ) · 2a dρ = (μ₀N₁I₁a/π) · ln[(R + a)/(R − a)].

Le flux propre est N₁Φ₁ et le flux à travers les N₂ spires du second circuit (même section) est N₂Φ₁. Avec λ = (μ₀a/π) ln[(R + a)/(R − a)] :

L₁ = λN₁² ; de même L₂ = λN₂² ; M = λN₁N₂ = (μ₀N₁N₂a/π) ln[(R + a)/(R − a)].

2) M² = L₁L₂, soit M = √(L₁L₂) : couplage parfait (coefficient de couplage k = 1), car tout le flux de l'un traverse l'autre.

3) M/L₁ = N₂/N₁ : c'est le rapport de transformation d'un transformateur idéal.

Exercice 4 — question au choix

Questions a

• Forme locale (régime permanent) : rot B = μ₀j ; en régime variable (Maxwell-Ampère) : rot B = μ₀(j + ε₀ ∂E/∂t).
• Forme globale : ∮_C B·dl = μ₀I_enlacé ; en régime variable : ∮_C B·dl = μ₀[I_enlacé + ε₀ dΦ_E/dt], Φ_E étant le flux de E à travers une surface s'appuyant sur C.
• Terme correctif de Maxwell : le courant de déplacement j_D = ε₀∂E/∂t (∂D/∂t dans un milieu). Sans lui, div(rot B) = 0 imposerait div j = 0, ce qui contredit la conservation de la charge ∂ρ/∂t + div j = 0 en régime variable. Avec div(ε₀E) = ρ, on a bien div(j + ε₀∂E/∂t) = 0.
• Courant alternatif et condensateur : aucun porteur de charge ne traverse l'isolant entre les armatures. Mais la charge q(t) des armatures varie, donc le champ E = q/(ε₀S) entre elles varie, et le courant de déplacement à travers l'isolant vaut ε₀S dE/dt = dq/dt = i : il prolonge exactement le courant de conduction des fils. En sinusoïdal, i = C du/dt, d'où l'impédance 1/(jCω) : le condensateur « laisse passer » l'alternatif, d'autant mieux que la fréquence est élevée, et bloque le continu.

Question b

• E_T2 = E_T1 : on calcule la circulation de E sur un petit rectangle de longueur l à cheval sur l'interface, de hauteur h → 0. En statique ∮E·dl = 0 (en régime variable, −dΦ_B/dt → 0 avec la surface). Les côtés de longueur h ne contribuent plus, il reste (E_T2 − E_T1)l = 0.
• D_N2 − D_N1 = σ_libre : théorème de Gauss pour D (∯D·dS = Q_libre) sur un cylindre plat de section S à cheval sur l'interface, de hauteur → 0. Le flux latéral s'annule et il reste (D_N2 − D_N1)S = σ_libreS, la normale étant orientée de (1) vers (2).
• Sans charges libres surfaciques (σ_libre = 0) : D_N2 = D_N1.