نموذج مباراة ولوج كلية طب الأسنان الرباط 2012 - الرياضيات

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات لمباراة ولوج السنة الأولى بكلية طب الأسنان بالرباط (جامعة محمد الخامس السويسي)، دورة 28 يوليوز 2012. يتكوّن من ثلاثة تمارين من نوع «صحيح/خطأ» (13 عبارة): متتالية ودالة عكسية، دالة عددية وتكامل، أعداد عقدية وتحويلات. ما يلي تصحيح مقترح مع التعليل.

💡 قبل أن تبدأ: في أسئلة «صحيح/خطأ» يكفي أحياناً مثال مضاد سريع (قيمة n = 0 أو x = 0) لإسقاط عبارة، بينما تحتاج العبارة الصحيحة إلى حساب عام. ابدأ بالتحقق العددي ثم أثبت.

التمرين الأول

g(x) = −1 + 1/√(x+1) على I = ]−1 ; +∞[ ، u₀ = 1 ، u_n+1 = −1 + 1/√(u_n+1) = g(u_n) ، v_n = ln(u_n+1).

1) g تقابل من I إلى I و g⁻¹(x) = −1 + 1/(1+x)² — صحيح

g متصلة وتناقصية قطعاً على I (لأن x ↦ √(x+1) تزايدية قطعاً وموجبة قطعاً). النهايتان: عند −1⁺ يؤول g إلى +∞، وعند +∞ يؤول إلى −1. إذن g(I) = ]−1 ; +∞[ = I، و g تقابل من I نحو I.

لحل y = g(x) مع y ∈ I: y + 1 = 1/√(x+1) ⟹ √(x+1) = 1/(y+1) ⟹ x = −1 + 1/(y+1)². إذن g⁻¹(x) = −1 + 1/(1+x)².

2) (v_n) هندسية أساسها 1/2 — خطأ

بما أن g(I) ⊂ I و u₀ ∈ I فإن u_n > −1 لكل n، فالمتتالية v_n معرفة. u_n+1 + 1 = (u_n + 1)^−1/2 ⟹ v_n+1 = −(1/2)·ln(u_n+1) = −(1/2)·v_n. المتتالية هندسية لكن أساسها −1/2 لا 1/2.

3) u_n = −1 + 2^(−1/2)n — صحيح

v₀ = ln 2، إذن v_n = ln 2 · (−1/2)ⁿ، و u_n = −1 + e^v_n = −1 + e^{(−1/2)n·ln 2} = −1 + 2^(−1/2)n. تحقق: n = 0 يعطي −1 + 2 = 1 = u₀.

4) lim u_n = −1 — خطأ

بما أن |−1/2| < 1 فإن (−1/2)ⁿ → 0، إذن 2^(−1/2)n → 2⁰ = 1، و lim u_n = 0 (وهو الحل الوحيد للمعادلة g(x) = x في I).

التمرين الثاني

F(x) = (1/2)x² + x − 2 ln(1 + e^x) على ℝ.

1) F دالة زوجية — صحيح

ln(1 + e^−x) = ln((e^x + 1)/e^x) = ln(1 + e^x) − x. إذن F(−x) = (1/2)x² − x − 2 ln(1 + e^x) + 2x = (1/2)x² + x − 2 ln(1 + e^x) = F(x)، و ℝ متماثل بالنسبة لـ 0.

2) F'(x) = x + 1 − 2e^x/(1 + e^x) — صحيح

مشتقة ln(1 + e^x) هي e^x/(1 + e^x)، ومنه النتيجة مباشرة.

3) F'(x) = x − 1 + 2/(1 + e^x) — صحيح

1 − 2e^x/(1 + e^x) = (1 − e^x)/(1 + e^x) و −1 + 2/(1 + e^x) = (1 − e^x)/(1 + e^x): التعبيران متساويان.

4) lim_x→+∞ F(x) = +∞ — صحيح

F(x) = (1/2)x² + x − 2x − 2 ln(1 + e^−x) = (1/2)x² − x − 2 ln(1 + e^−x)، والحد الأخير يؤول إلى 0، إذن F(x) → +∞.

5) ∫₋₂⁰ (x − 1 + 2/(1 + e^x)) dx = 2 ln((1 + e²)/(2e²)) — صحيح

الدالة المكاملة هي F' (العبارة 3)، إذن التكامل = F(0) − F(−2). F(0) = −2 ln 2 ؛ F(−2) = 2 − 2 − 2 ln(1 + e⁻²) = −2 ln(1 + e⁻²). التكامل = 2 ln(1 + e⁻²) − 2 ln 2 = 2 ln((1 + e⁻²)/2) = 2 ln((e² + 1)/(2e²)).

التمرين الثالث

a = −1 + i ، b = 2 + 2i ، c = 3 + i ، d = −1 − i ، ولحق U هو 1.

1) D صورة C بالتحاكي الذي مركزه U ونسبته −1 — صحيح

صورة C: z' − 1 = −(c − 1) ⟹ z' = 2 − c = 2 − 3 − i = −1 − i = d. (التحاكي ذو النسبة −1 هو التماثل المركزي الذي مركزه U، أي U منتصف [CD].)

2) D صورة C بالدوران الذي مركزه A وزاويته −π/2 — خطأ

(d − a)/(c − a) = (−2i)/4 = −i/2، معياره 1/2 ≠ 1، إذن AD ≠ AC ولا يمكن أن يكون D صورة C بدوران مركزه A. (صورة C بهذا الدوران لحقها a − i(c − a) = −1 − 3i.)

3) المثلث BCD قائم الزاوية في B — صحيح

(d − b)/(c − b) = (−3 − 3i)/(1 − i) = (−3 − 3i)(1 + i)/2 = (−3 − 6i + 3)/2 = −3i: عدد تخيلي صرف، إذن (BC) ⊥ (BD) والمثلث قائم في B.

4) النقط A و B و C و D متداورة — صحيح

المثلث BCD قائم في B، إذن B تنتمي إلى الدائرة التي قطرها [CD]، ومركزها منتصف [CD] أي U (لحقه 1) وشعاعها |c − 1| = |2 + i| = √5. و |a − 1| = |−2 + i| = √5، إذن A تنتمي إلى الدائرة نفسها. النقط الأربع متداورة.