نموذج مباراة ولوج كلية طب الأسنان الدار البيضاء 2003 - الفيزياء

هذا النموذج هو اختبار الفيزياء في مباراة ولوج كلية طب الأسنان بالدار البيضاء، دورة 2003. عدد الأسئلة: 5 (البصريات، الميكانيك، التحريض الذاتي، الدارة LC، النشاط الإشعاعي). المعطيات المطبوعة: g = 10 m/s² ، √10 = 3,16 ، ln2 = 0,69. ما يلي تصحيح مقترح مع خطوات الحساب.

1) العدسة الرقيقة

نوجّه المحور في منحى انتشار الضوء. المعطيات: OA = +3 cm ، OA' = +4 cm (قيم جبرية).

طبيعة الشيء

OA > 0: الشيء يوجد بعد العدسة (في منحى انتشار الضوء)، إذن الشيء AB وهمي (تتقارب نحوه أشعة قادمة من نظمة سابقة).

المسافة البؤرية OF'₁

علاقة المرافقة: 1/OA' − 1/OA = 1/OF'

1/OF'₁ = 1/4 − 1/3 = (3 − 4)/12 = −1/12 ⇒ OF'₁ = −12 cm (العدسة مفرّقة).

قوة العدسة C

C = 1/OF'₁ = 1/(−0,12 m) ⇒ C ≈ −8,33 δ (أي −25/3 δ).

شعاع العدسة R

بما أن العدسة مفرّقة والوجهان لهما نفس الشعاع، فهي عدسة مقعرة الوجهين: |C| = (n − 1)(1/R + 1/R) = 2(n − 1)/R

R = 2(n − 1)/|C| = 2 × 0,5 / (25/3) = 3/25 m ⇒ R = 0,12 m = 12 cm.

العدسة الثانية الملتصقة

الصورة A'B' التي تعطيها العدسة الأولى (OA' = +4 cm) تصبح شيئاً للعدسة الثانية (نفس المركز O لأنهما ملتصقتان). لتتكوّن الصورة A"B" في اللانهاية يجب أن يكون هذا الشيء في البؤرة الشيئية للعدسة الثانية: OF₂ = +4 cm، إذن:

OF'₂ = −OF₂ = −4 cm ← العدسة الثانية مفرّقة (C₂ = −25 δ).

المجموعة: C = C₁ + C₂ = −25/3 − 25 = −100/3 δ ⇒ OF' = −3 cm.

تحقق: الشيء الأصلي AB (OA = +3 cm) يوجد فعلاً في البؤرة الشيئية للمجموعة (OF = +3 cm)، فصورته في اللانهاية.

2) النابض والجسم

m = 100 g = 0,1 kg ، k = 100 N/m ، l₀ = 20 cm ، l₁ = 12 cm ⇒ الانضغاط البدئي: x₀ = l₀ − l₁ = 8 cm = 0,08 m.

أ – الطاقات والسرعة والدور والمعادلة الزمنية

• الطاقة الحركية عند t = 0: الجسم محرَّر بدون سرعة بدئية ⇒ E_c = 0.
• طاقة الوضع المرنة للنابض عند t = 0: E_p = ½ k x₀² = ½ × 100 × (0,08)² = 0,32 J.
• السرعة عند المرور بالنقطة O (موضع التوازن، النابض غير مشوَّه): انحفاظ الطاقة الميكانيكية (بدون احتكاك): ½ m v² = 0,32 ⇒ v² = 2 × 0,32 / 0,1 = 6,4 ⇒ v = √6,4 = 0,8√10 ≈ 0,8 × 3,16 ⇒ v ≈ 2,53 m/s (وتكون عندها E_c = 0,32 J).
• الدور الخاص: T₀ = 2π√(m/k) = 2π√(10^-3) = 2π × 0,0316 ⇒ T₀ ≈ 0,2 s.
• المعادلة الزمنية: x(t) = X_m cos(ω₀t + φ) مع ω₀ = √(k/m) = √1000 ≈ 31,6 rad/s و X_m = 0,08 m. بأخذ أصل المحور في O وتوجيهه من A نحو B، عند t = 0: x = −0,08 m و v = 0 ⇒ cos φ = −1 ⇒ φ = π.
  x(t) = 0,08 cos(31,6 t + π) (x بالمتر، t بالثانية).

ب – الانزلاق على السكة

ينفلت الجسم من النابض في O بالسرعة v (v² = 6,4 m²/s²)، ثم ينزلق بدون احتكاك على AB الأفقي فيصل إلى B بنفس السرعة، ثم يصعد القوس BC (مركزه فوق B، و θ الزاوية بين الشاقول والشعاع المار من M).

الزاوية θ: ارتفاع M بالنسبة لـ B هو h = r − r cos θ. انحفاظ الطاقة بين B و M (السرعة منعدمة في M):

½ m v² = m g r(1 − cos θ) ⇒ 1 − cos θ = v²/(2gr) = 6,4/(2 × 10 × 0,4) = 0,8

cos θ = 0,2 ⇒ θ ≈ 78,5°.

تأثير السكة في M: بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على المحور المنظمي (نحو المركز): R − m g cos θ = m v_M²/r، ومع v_M = 0:

R = m g cos θ = 0,1 × 10 × 0,2 ⇒ R = 0,2 N.

ت – النابض على المستوى المائل

إطالة النابض عند التوازن: شرط التوازن على محور المستوى المائل: k Δl₀ = m g sin α

Δl₀ = m g sin α / k = 10^-2 sin α (m) = sin α (cm). قيمة الزاوية α غير مطبوعة في الورقة (تظهر في الشكل فقط)، لذا يُعطى الجواب بدلالة α.

الدور: لا يتعلّق بزاوية الميل: T₀ = 2π√(m/k) ≈ 0,2 s (نفس القيمة).

المعادلة الزمنية: x(t) = X_m cos(ω₀t + φ) مع X_m = 0,04 m و ω₀ ≈ 31,6 rad/s. عند t = 0 يمرّ الجسم لأول مرة بموضع التوازن: x(0) = 0 ⇒ cos φ = 0. إجابة مرجّحة: بتوجيه المحور نحو أسفل المستوى وإزاحة الجسم نحو الأسفل قبل تحريره، يمرّ الجسم بموضع التوازن وهو يصعد (v < 0) ⇒ sin φ > 0 ⇒ φ = π/2:

x(t) = 0,04 cos(31,6 t + π/2). (لو أُزيح الجسم نحو الأعلى لكانت φ = −π/2؛ الورقة لا تحدّد منحى الإزاحة.)

3) الملف اللولبي

L = 1 mH = 10^-3 H ، i = t² + 3.

التدفق الذاتي: Φ = L·i ⇒ Φ(t) = 10^-3(t² + 3) (Wb).

القوة الكهرمحركة المحرّضة: e = −dΦ/dt = −L·di/dt = −10^-3 × 2t. عند t = 1 s: e = −2×10^-3 V = −2 mV.

4) المكثف والدارة LC

• الشحنة: Q = C·U = 10^-6 × 100 ⇒ Q = 10^-4 C.
• الدور الخاص: T₀ = 2π√(LC) = 2π√(10^-2 × 10^-6) = 2π × 10^-4 ⇒ T₀ ≈ 6,28×10^-4 s.
• الشحنة بدلالة الزمن: q(t) = Q_m cos(ω₀t + φ) مع ω₀ = 1/√(LC) = 10⁴ rad/s. عند t = 0: q = Q و i = 0 ⇒ φ = 0: q(t) = 10^-4 cos(10⁴ t) (C).
• التوتر: u(t) = q(t)/C ⇒ u(t) = 100 cos(10⁴ t) (V).
• الطاقة الكهربائية المخزونة: E = Q²/(2C) = ½ C U² = ½ × 10^-6 × 10⁴ ⇒ E = 5×10^-3 J.

5) تفتت الراديوم

معادلة التفاعل

بتطبيق قانوني انحفاظ عدد النويات A وعدد الشحنة Z:

²²⁶₈₈Ra → ²²²₈₆Rn + ⁴₂He (تفتت α)

عدد نوترونات الرادون

N = A − Z = 222 − 86 ⇒ N = 136.

عدد التفتتات خلال ثانية (النشاط)

عدد النوى في العينة: N_Ra = (m/M)·N_A = (2,26×10^-3 / 226) × 6,02×10²³ = 10^-5 × 6,02×10²³ = 6,02×10¹⁸ نواة.

dn = λ·N_Ra = 10^-11 × 6,02×10¹⁸ ⇒ dn ≈ 6,02×10⁷ تفتت في الثانية (6,02×10⁷ Bq).

النقص الكتلي والطاقة المحرّرة

لكل نواة: Δm = m(Ra) − m(Rn) − m(He) = 226,0957 − 222,0866 − 4,003873 = 0,005227 u.

لمول واحد: Δm = 0,005227 g/mol ⇒ Δm ≈ 5,23×10^-6 kg.

E = Δm·c² = 5,227×10^-6 × (3×10⁸)² ⇒ E ≈ 4,7×10¹¹ J لكل مول (أي حوالي 4,87 MeV لكل نواة، باستعمال 1 u ≈ 931,5 MeV/c²).

عمر النصف

T = ln2/λ = 0,69 / 10^-11 ⇒ T = 6,9×10¹⁰ s (حوالي 2 200 سنة بقيمة λ المعطاة).