نموذج مباراة ولوج كلية طب الأسنان الدار البيضاء 2003 - الرياضيات

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات لمباراة ولوج كلية طب الأسنان بالدار البيضاء — دورة 2003 (Concours d'entrée 2003, épreuve de mathématique). عدد الأسئلة: 6، والأجوبة تُكتب في الخانات. ما يلي تصحيح مقترح مع خطوات الحساب.

السؤال 1 — العدد العقدي Z

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (√2−i):

• البسط: [(√2−1)+i(√2+1)](√2−i) = (2−√2)+(√2+1) + i[−(√2−1)+(2+√2)] = 3+3i.
• المقام: (√2+i)(√2−i)=2+1=3.

Z = 1+i؛ |Z| = √2؛ Arg Z ≡ π/4 [2π].

Zⁿ=(√2)ⁿ·e^(inπ/4) تخيلي محض ⇔ nπ/4 ≡ π/2 [π] ⇔ n ≡ 2 [4]. n = 4k+2 (k عدد صحيح طبيعي): n=2، 6، 10… (مثال: Z²=2i).

السؤال 2 — المعادلة Z²−2Z sinθ+2sin²θ=0

المميز المختصر: Δ′ = sin²θ−2sin²θ = −sin²θ = (i sinθ)².

Z′ = sinθ(1+i) و Z″ = sinθ(1−i) (عندما sinθ=0 أي θ∈{−π,0,π} يكون للمعادلة حل مزدوج هو 0).

• |Z′| = |Z″| = √2·|sinθ|.
• إذا كان θ∈]0,π[ (sinθ>0): Arg Z′ ≡ π/4 و Arg Z″ ≡ −π/4 [2π].
• إذا كان θ∈]−π,0[ (sinθ<0): Z′=|sinθ|·(−1−i) إذن Arg Z′ ≡ −3π/4، و Z″=|sinθ|·(−1+i) إذن Arg Z″ ≡ 3π/4 [2π].
• إذا كان sinθ=0 فإن Z′=Z″=0 وليس لهما عمدة.

السؤال 3 — المعادلة التفاضلية y″−5y′+6y=3cos(2x−π/2)

الطرف الثاني: 3cos(2x−π/2)=3sin2x. نبحث عن حل خاص y₀=a cos2x+b sin2x: y₀″−5y₀′+6y₀ = (2a−10b)cos2x + (10a+2b)sin2x. بالمطابقة: 2a−10b=0 و 10a+2b=3، ومنه b=3/52 و a=15/52.

y₀(x) = (15cos2x + 3sin2x)/52.

المعادلة المميزة r²−5r+6=0 لها جذران r=2 و r=3، إذن الحل العام:

y(x) = C₁e^(2x) + C₂e^(3x) + (15cos2x + 3sin2x)/52 ، حيث C₁ و C₂ ثابتتان حقيقيتان.

السؤال 4 — الجداء المتجهي

M(x,y,z): MA(−½−x, −y, −z) و MB(½−x, −y, −z).

• المركبة الأولى: (−y)(−z)−(−z)(−y)=0؛ الثانية: (−z)(½−x)−(−½−x)(−z)=−z؛ الثالثة: (−½−x)(−y)−(−y)(½−x)=y.
  MA∧MB = (0 ; −z ; y).
• M₀C=(−x ; 1−y ; −z). المساواة (0 ; −z ; y)=(−x ; 1−y ; −z) تعطي x=0 و y=−z و −z=1−y، ومنه z=−½ و y=½.
  M₀(0 ; ½ ; −½).
• في المستوى (yoz) نجد نفس النظمة، وحلها الوحيد M₀ (وهي فعلاً في (yoz) لأن x=0). المجموعة هي {M₀}.
  إجابة مرجّحة: إذا كان المقصود في هذا البند تساوي المنظمين ‖MA∧MB‖=‖MC‖ (وهو ما يفسّر عبارة «مجموعة النقط»)، فمع x=0: z²+y²=(1−y)²+z² ⇔ y=½، فتكون المجموعة المستقيم ذا المعادلتين x=0 و y=½.

السؤال 5 — الدالة f(x)=(eˣ−1)/(eˣ+1)

• D = ℝ (eˣ+1>0).
• f′(x) = 2eˣ/(eˣ+1)²: [eˣ(eˣ+1)−eˣ(eˣ−1)]/(eˣ+1)².
• جدول التغيرات: f′(x)>0 على ℝ؛ lim_(−∞) f=−1 (لأن eˣ→0) و lim_(+∞) f=1 (بقسمة البسط والمقام على eˣ)؛ f(0)=0. الدالة تزايدية قطعاً من −1 إلى 1. ونلاحظ أن f فردية (f(−x)=−f(x)).
• المماس عند A(0,0): f′(0)=2/4=½، إذن y = x/2.
• التمثيل المبياني: منحنى على شكل S يمر من O، مقارباه الأفقيان y=−1 (عند −∞) و y=1 (عند +∞)، O نقطة انعطاف (المنحنى محدب ثم مقعر) والمماس y=x/2 يخترق المنحنى عندها.
• وجود الدالة العكسية: f متصلة وتزايدية قطعاً على ℝ، إذن f تقابل من ℝ نحو f(ℝ)=]−1,1[.
• الدالة العكسية: y=(eˣ−1)/(eˣ+1) ⇔ eˣ(1−y)=1+y ⇔ x=ln((1+y)/(1−y)).
  f⁻¹(x) = ln((1+x)/(1−x)) و x ∈ ]−1,1[.
• تمثيل f⁻¹: مماثل منحنى f بالنسبة للمنصف الأول y=x؛ مقاربان عموديان x=−1 و x=1، ومماس عند O ميله 2.

السؤال 6 — الاحتمالات (سحب تآني لـ 4 كرات من 11)

• N₁ = C(11,4) = 330 سحبة ممكنة.
• كرة سوداء واحدة و 3 بيضاء: N₂ = C(5,1)×C(6,3) = 5×20 = 100.
• 4 كرات بيضاء: C(6,4)=15، إذن p = 15/330 = 1/22 (≈0,045).