نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة الدار البيضاء 2015 - الرياضيات

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات في مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني)، دورة 2015-2016. المدة: 30 دقيقة، وعدد الأسئلة: 6 (دالة، نهاية، تكامل، أعداد عقدية، متتالية، احتمالات). الأجوبة تُكتب في الإطارات. ما يلي تصحيح مقترح مع خطوات الحساب.

💡 30 دقيقة لستة أسئلة: ابحث دائماً عن التبسيط الذكي (تعميل، تغيير متغير، شكل مثلثي) بدل الحساب الطويل.

I – الدالة f(x) = e^x(cos x − sin x)

1 – حساب النهاية عند −∞

لدينا |cos x − sin x| ≤ 2، إذن |f(x)| ≤ 2e^x، و lim_x→−∞ e^x = 0.

lim_x→−∞ f(x) = 0 (جداء دالة محدودة في دالة تؤول إلى 0).

2 – الدراسة على المجال [π/2 ، 3π/2]

المشتقة: f'(x) = e^x(cos x − sin x) + e^x(−sin x − cos x) = −2e^x sin x.

2-1 – النقطة التي يكون فيها المماس أفقياً

المماس أفقي ⇔ f'(x) = 0 ⇔ sin x = 0، وفي المجال [π/2 ، 3π/2] الحل الوحيد هو x = π.

f(π) = e^π(cos π − sin π) = e^π(−1 − 0) = −e^π.

A(π ، −e^π)

2-2 – نعم أو لا

إشارة f'(x) = −2e^x sin x هي عكس إشارة sin x (لأن e^x > 0).

• أ – الدالة تناقصية على [3π/4 ، π]: نعم. على هذا المجال sin x ≥ 0، إذن f'(x) ≤ 0.
• ب – الدالة تناقصية على [5π/4 ، 3π/2]: لا. على هذا المجال sin x < 0، إذن f'(x) > 0 والدالة تزايدية.

II – حساب النهاية

البسط متطابقة هامة: 3 + 2√3x + x² = (x + √3)²، والمقام: 3 − x² = (√3 − x)(√3 + x).

إذن لكل x ≠ −√3 : (3 + 2√3x + x²)/(3 − x²) = (x + √3)/(√3 − x).

عند +∞ نأخذ الحدّين الأعليين: (x + √3)/(√3 − x) ~ x/(−x) = −1.

lim_x→+∞ (3 + 2x√3 + x²)/(3 − x²) = −1

III – حساب التكامل J

نضع u = x²، إذن du = 2x dx، وعندما x يتغير من 0 إلى 1 فإن u يتغير من 0 إلى 1:

J = ½ ∫₀¹ du / (2u² + 3u + 9/8)

نلاحظ أن: 2u² + 3u + 9/8 = 2(u² + (3/2)u + 9/16) = 2(u + 3/4)².

J = ¼ ∫₀¹ du / (u + 3/4)² = ¼ [ −1/(u + 3/4) ]₀¹ = ¼ ( −4/7 + 4/3 ) = ¼ × 16/21

J = 4/21

IV – الأعداد العقدية

z_B − z_A = (4 + 2i) − (2 − 4i) = 2 + 6i ، و z_C − z_A = (8 − 6i) − (2 − 4i) = 6 − 2i.

1 – معيار وعمدة W

W = (2 + 6i)/(6 − 2i) = (2 + 6i)(6 + 2i) / (36 + 4) = (12 + 4i + 36i − 12)/40 = 40i/40 = i.

|W| = 1 و Arg W ≡ π/2 [2π].

2 – طبيعة المثلث BAC

|W| = AB/AC = 1، إذن AB = AC؛ و (AC→ ، AB→) ≡ arg W ≡ π/2 [2π]، إذن الزاوية في A قائمة.

المثلث BAC قائم الزاوية ومتساوي الساقين في A.

V – المتتالية (U_n)

1 – طبيعة المتتالية

كل يوم يزيد عدد البكتيريا بـ 50 %: U_n+1 = U_n + 0,5 U_n = 1,5 U_n.

(U_n) متتالية هندسية حدّها الأول U₀ = 1000.

2 – أساسها

q = 1,5 = 3/2، ومنه U_n = 1000 × (1,5)ⁿ.

VI – الاحتمالات

نرتّب المعطيات: 3 كرات سوداء، 7 كرات مزينة، منها كرة واحدة سوداء ومزينة. إذن:

1 – احتمال أن تكون الكرة سوداء أو مزينة

P(N ∪ D) = P(N) + P(D) − P(N ∩ D) = 3/10 + 7/10 − 1/10 = 9/10

P = 0,900

2 – ثلاث كرات بيضاء ومزينة (سحب بإحلال)

في كل سحب: احتمال كرة بيضاء ومزينة = 6/10 = 0,6، والسحوبات مستقلة لأن السحب بإحلال.

P' = (0,6)³ = 0,216