نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM الدار البيضاء-مكناس 2013 - الفيزياء

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Concours commun d'accès en Première année de l’'ENSAM

Université Moulay Ismail Meknès Université Hassan II Mohammedia-Casablanca
Ecole Nationale Supérieure Ecole Nationale Supérieure
d’Arts et Métiers - Meknès d’Arts et Métiers - Casablanca
Filières : Sciences Mathématiques À et B
Epreuve de Physique
Durée : 2h 15 min le 29 Juillet 2013

- L'épreuve contient 5 pages
- Répondre dans les deux feuilles : « Fiche des réponses » à rendre avec la feuille d'examen
- Calculatrice non autorisée

Physique 1 (Mécanique) : Les parties |, II et III sont indépendantes.

L'objet de l'étude est un système, composé de 3 solides rigides (figure 1) qui sont un piston (un petit cylindre de
masse mp), une tige rigide inextensible (PQ) de longueur ‏,أ‎ de masse négligeable et un bras (OP) homogène de
longueur R et de masse m,, de moment d'inertie /, (par rapport à l'axe fixe (0,4)). La tige (PQ) permet de lier le
piston avec le bras et reste tout le temps en liaison avec le bras (au point P) et avec le piston (au point Q). Le
mouvement du piston est une translation suivant l’axe vertical Ox, celui du bras (OP) est une rotation d’axe fixe
(O,A) avec une vitesse de rotation constante ‏رت‎ (rd/s). On note (figure 1):

- angle de rotation instantanée du bras: @(#) ; angle d’inclinaison de la tige par rapport à Ox : /)(

- position instantanée du piston : x(#) telle que 00 = x(t)i, avec à est le vecteur unitaire suivant Ox ;

- Rapport des dimensions : ‏ع‎ = R//, L'accélération de la pesanteur : g = —gi , avec g(m/s”).

- Les forces de frottement appliquées sur le piston (à travers sa surface latérale) par son support sont

interprétées par le vecteur 7 = —Axi , ‏لاه‎ À est une constante positive donnée.

Important : La présente étude concerne seulement la plage de fonctionnement : O‹@(t)‹ x, correspondant à la
descente du piston.

Partie 1 : l’objet de cette partie consiste à déterminer le couple produit sur le bras lors de la descente du piston.
1. En se basant sur un raisonnement purement géométrique (relations dans le triangle OPQ), exprimer
sin # en fonction de 0 et ‏ع‎ ; puis exprimer la position du piston x(t) en fonction de R, let (٠

2. Quelle approximation peut-on considérer pour que x(#) peut s’écrire sous la forme : x(t) = Acos@(t) + B,
où À et B sont des constantes à identifier. Cette approximation sera considérée dans la suite du problème et
on écrit : x(t) = Acos6(t)+B.

3. Exprimer 0(t) (sachant que 00 =0)=0), la vitesse v(t) puis l’accélération y(t) du piston en fonction de R,

‎etletempst.‏ رت

‎Support
‎fixe

‎Fig.1

‎Support fixe Support fixe Fig.3

‎Dans la suite, on considère que le piston est soumis sur sa face supérieure à une force supplémentaire
F=-F(hi,où F@)= F, sin O(t) et FR estune constante positive donnée.

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4. On désigne par Fpn et Ë, ‏مر‎ les forces appliquées sur la tige, respectivement par le piston (p) au point Q et

par le bras (b) au point P. Etant donné que la masse de la tige (PQ) est négligeable, en appliquant le PFD
(principe fondamental de la dynamique), trouver la relation entre ces deux forces en précisant leurs
directions. Justifier la relation : F,, , + Fpn =0,où F,, est la force appliquée par la tige (t) sur le piston
(p) au point Q.

5. Au moyen d'un schéma (voir fiche des réponses), tracer le bilan des forces appliquées sur le piston.
Respecter le sens du mouvement indiqué.

6. En appliquant le PFD et en tenant compte de l’approximation cos =1, déterminer le module de la force

Ip tp

en fonction de m,, ‏ع‎ X, À, 6, À et FR, - En déduire le module de En (force de la tige (t) sur le bras
(b) au point P).

7. En appliquant le PFD (équation des moments) au bras, déterminer le couple C(t) produit sur ce bras, lors
de la descente du piston, en fonction de ‏م‎ g x, X, 6, ô, à, Fo» R, Ip, sachant que la distance du point O à
la droite (PQ) est approximée par A(t)= Rsin 0. Exprimer C(t) en fonction de m,, ‏ع‎ À, Fa, 2 , ‏وم‎ et le

temps t.

Partie II : Dans l'objectif d'estimer les forces de frottement s’opposant au mouvement du piston (masse mp),
nous réalisons une expérience, indépendante du système étudié, dans laquelle on rattache le piston à un ressort
(masse négligeable) de longueur à vide Lo, de raideur K (fig. 2).

8. Après la mise en place du piston (mp) sur le ressort, sa longueur est devenue L (le système piston-ressort
est au repos). Exprimer La-L en fonction de m, g et K. Dans la suite, cette position d'équilibre statique sera
considérée comme origine du mouvement vertical x(t) (fig. 2 et 3).

Les forces de frottement appliquées sur le piston sont toujours de la forme f = —Âxi (avec À ›0).
9. On écarte le piston de sa position d’équilibre et on l’abandonne à lui-même, en appliquant le principe de la
dynamique et en mettant l'équation du mouvement du piston sous la forme: Y+2,yt+w,?x=0,

préciser les constantes 4 et ‏وه‎ en fonction de mp, À et K.

10.0n admet que la solution générale de cette équation est donnée par l'expression : x(r) = Ae‘"" cos(ar),

où A et ‏ته‎ sont deux constantes positives. Exprimer 7 et æ en fonction de ‏بر‎ et ‏.رو‎ Préciser sous quelle
condition sur K, en fonction de À et m,, l'expression x(r) = ‏عم‎ /T cos(at) sera valable.

11. La quantité ( Ae”‘’" ) est dite amplitude instantanée du mouvement, calculer y et À sachant qu’au bout
de t=1s cette amplitude est devenue A/2, avec mp=0.5 kg (on donne In2=0.69).

Partie III : Un système 5 de levage (fig.4) est constitué d’une masse my, d’une poulie d'axe mobile, d’une poulie
d'axe fixe et d’un câble inextensible, tel que :

- Poulie mobile : centre O2, rayon R2, masse m2, moment d’inertie négligé,

- Poulie d’axe fixe : centre Oz (qui fait la distance d par rapport au support fixe), rayon R3, moment d'inertie Is,

vitesse de rotation (par rapport à son axe fixe) w3(t),

- Câble : inextensible, longueur totale L, de masse négligeable.
La trajectoire du point Oz est le segment de droite AB. On désigne par x;(t) et xz(t) les positions instantanées
respectives de la masse m1 et de la poulie mobile. Le sens positif est orienté vers le bas, l’accélération de la
pesanteur g est également vers le bas.

‎te ; 0 Support fixe‏ ا
‎les positions initiales (à t=0) respectives de my et de m2,‏ دولل ‎et‏ رملا ‎On note‏ .12

‎exprimer l’énergie potentielle Ep; de m, et Epz de mz en fonction de m,, in, g,
‏ور‎ Xa Xp; Et X92 €N CONsidérant Ep, nulle en xp; et Epz nulle en xp2-

‎13.Exprimer l'énergie cinétique Ec de S en fonction de my, ma, / ‏ررد‎ X, et 03;
En déduire son énergie mécanique En en fonction de m,, mm», ‏ما‎ R3, ‏يع‎ Xp ‏بو‎
‏يدود رمد‎ À, Et X,-

‎14.Du fait que le câble est inextensible, sa longueur totale L vérifie à chaque
instant l’équation L=x,+2x,+C. Trouver la constante C en fonction de ‏مو‎ R;

‎et la distance d.
15. Trouver l'accélération de la poulie mobile en fonction de m,, mr, 1, ‏رن‎ et g.

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Physique II (Electricité) : Les parties A, B, C, D et E sont indépendantes.

Le montage ci-dessous est alimenté par un générateur idéal de tension continue ayant pour force
électromotrice : E = 10V.

1
11 comporte : 5) Re
e Trois condensateurs de capacités : Ra A 2.3
1, Ca Et C7. Ur 1 4, EL, ‏ماق اميس‎
e Trois bobines d’inductances : RE
L,, La et ‏,وا‎ ayant toutes des ;
résistances internes négligeables. 2 : 1
e Quatre conducteurs ohmiques : 3 h ‏م م‎
‏ولا روط ري‎ et R,. ‏يأ رون‎ f ‏ل‎
‎; ; La 4 URI
e Quatre interrupteurs : k,, kz, k3 des c, “a c, ‹a ‏مسن‎ A
et ks. |
Le tableau suivant regroupe l’ensemble des composants avec leurs valeurs.
| Composant | Nature | Valeur
R Résistance R, = R, = R3 = R, = 1000
L Bobine ‏ما‎ = L, = SOmH et L = 100 mH
| 0 | Condensateur | C, = C, = 10uF ‏دوا‎ 100 uF

Partie A. k, est en position (1) et k est en position (1).

Dans cette partie, on note: C, la capacité du condensateur équivalent aux deux condensateurs C,et Cz en
parallèle. On note aussi: t,, l'instant où les interrupteurs basculent vers leurs positions respectives, et on
suppose qu'à cet instant les condensateurs sont totalement déchargés.

1. Quelle est la valeur du courant i, en régime permanent ?

En régime permanent, quelle sera la charge q,en mC, au niveau du condensateur C, ?

Quelle sera la valeur, en mJ, de l’énergie stockée au niveau du condensateur 7

Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la tension uç, en fonction de R,, C et E?

ua WVN

On donne l’expression temporelle du courant i,(t) = Ae”#*. Donner les expressions des constantes À et B
en fonction de R,,CetE.

Partie B. k, est en position (2).

Dans cette partie, on note : t,, l'instant où l'interrupteur k, bascule vers la position (2), et on suppose
que we, (to) = 10V.

6. Donner l'expression temporelle de la tension ‏ويا‎ (t) en fonction de R, et C,.

7. Quelle est la valeur, en mA, du courant ‏وا‎ qui traverse la résistance R, à l‘instant ta.

8. Quelle sera l'énergie stockée dans le condensateur C; en régime permanent 7

Partie C. k, est en position (3).

Dans cette partie, on note Q et ‏ريل‎ respectivement les charges aux niveaux des condensateurs C, et Cz, et
l'instant to, l'instant où l’interrupteur k, bascule vers la position (3).

9. Quelle sera l'expression de la charge Q3 en fonction de Qz (to), Q3 (to), Cz et C3 ?

10. Supposant que : 02 ‏(و2)‎ = 0.1 mC et Q4(t,) = OC, quelle sera la valeur de la tension ug, (t) ?

Qz(to)

5 Quelle est la valeur de l'énergie, en mJ, qui sera stockée

11. Supposant que : Qz(to) = 0.1 mC et Q4(to) =

au niveau de C3 ?
Partie D. k, est en position (3), kz est en position (1) et ‏يتا‎ est en position (1).
Dans cette partie, on note ‏ل‎ l’inductance équivalente des bobines L, et L, en série, ett,, l'instant où les
interrupteurs basculent vers leurs positions respectives.
On suppose aussi que ‏عا‎ (to) = 5V.
12. Quelle est la valeur, en mH, de l’inductance L ?
13. Quelle est la valeur, en mJ, de l’énergie maximale qui sera stockée au niveau de la bobine L,?
14. Quelle est la valeur maximale du courant traversant la bobine L, ?
Partie E. k, est en position (2), kz est en position (1) et k, est en position (2).
15. Donner l'équation différentielle vérifiée par la tension uc, -

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