نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM مكناس 2008 - الرياضيات - شعبة العلوم التجريبية والتقنية

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année de l'ENSAM de Meknès (Université Moulay Ismaïl), filière Sciences expérimentales et techniques, session du mardi 22 juillet 2008. Durée : 3 h 03 min. Rédaction en français ou en arabe. Quatre exercices : I et II (5 questions à 2 pts chacun), III (12 propositions vrai/faux, 14 pts, notées de façon à pénaliser le hasard), IV (10 questions à réponse précise, 12 pts). Voici une correction proposée.

💡 Exercice III : dès 5 réponses fausses, la note de l'exercice tombe à 0. Ne répondez que lorsque vous avez une justification (un contre-exemple suffit pour « faux »).

Exercice I

Q1.1 Développement télescopique : (1 + q + … + qⁿ) − (q + q² + … + qⁿ⁺¹) = 1 − qⁿ⁺¹.

Q1.2 Le domaine ℝ \ {−1, 1} est symétrique par rapport à 0. f(−x) = (x² − 1)·ln|(1 − x)/(1 + x)| = −(x² − 1)·ln|(1 + x)/(1 − x)| = −f(x) : f est impaire.

Q1.3 On pose X = e^x > 0 : (E) ⟺ X² − 2mX + 1 = 0. (E) n'a pas de racine réelle ⟺ cette équation n'a pas de racine X > 0. Le produit des racines vaut 1 et leur somme 2m ; le discriminant réduit vaut Δ' = m² − 1.

• |m| < 1 : pas de racine réelle, donc pas de solution.
• m ≥ 1 : deux racines de produit 1 > 0 et de somme 2m > 0, donc positives : (E) a des solutions.
• m ≤ −1 : racines de produit positif et de somme négative, donc toutes deux négatives : pas de solution.

Ensemble cherché : m ∈ ]−∞, 1[.

Q1.4 On reconnaît u'·uⁿ avec u = ln t : u_n = [(ln t)ⁿ⁺¹/(n + 1)]₁² = (ln 2)ⁿ⁺¹/(n + 1). Comme 0 < ln 2 < 1, on a u_n+1/u_n = ln 2·(n + 1)/(n + 2) < 1 : la suite est strictement décroissante, donc monotone.

Q1.5 Le diamètre des rondins vaut 31,83 cm, donc leur périmètre vaut π × 31,83 ≈ 100 cm. Pour un roulement sans glissement, en un tour l'axe d'un rondin avance de 1 m par rapport au sol, et le point du dessus (en contact avec la planche) avance de 2 fois plus. La planche avance donc de 2 m.

Exercice II

Q2.1 a, b, c ≥ 0 et a² − c² = b ≥ 0, donc a ≥ c et les racines du membre de droite sont définies. On élève au carré le membre de droite (positif) :
(a + c)/2 + (a − c)/2 + 2√((a² − c²)/4) = a + √(a² − c²) = a + √b.
Les deux membres sont positifs et ont le même carré : ils sont égaux.

Q2.2 f(x) − f(y) = (x − y)(x² + xy + y²). Pour x, y ∈ [−2, 3] : |x² + xy + y²| ≤ x² + |x||y| + y² ≤ 9 + 9 + 9 = 27. D'où |f(x) − f(y)| ≤ 27|x − y|. (Autre méthode : inégalité des accroissements finis avec |f'(c)| = 3c² ≤ 27.)

Q2.3 À gauche de 1 (0 ≤ x < 1) : E(x) = 0, donc f(x) = x → 1. À droite (1 ≤ x < 2) : E(x) = 1, donc f(x) = x + 1 → 2. Limites à gauche et à droite différentes : f n'a pas de limite en 1 (limite à gauche 1, limite à droite 2 = f(1)).

Q2.4 Domaine : x ≥ −1.

• Si −1 ≤ x < 0 : √(2(x + 1)) ≥ 0 > x, donc l'inéquation est toujours vérifiée.
• Si x ≥ 0 : les deux membres sont positifs, on peut élever au carré : 2x + 2 > x² ⟺ x² − 2x − 2 < 0 ⟺ 1 − √3 < x < 1 + √3. Donc 0 ≤ x < 1 + √3.

S = [−1, 1 + √3[.

Q2.5 u_n+1 − u_n = 802 : suite arithmétique de raison 802. u₁₉ = u₀ + 19 × 802 = 2 + 15 238 = 15 240.

Exercice III — Vrai ou faux

1. Q3.01 — Faux. Pour x = 1 et y = 2 (ou y = 0), aucun entier naturel z ne vérifie 1 = 2z.
2. Q3.02 — Faux. Pour x = 1 : l'égalité 1 = y·z pour tout z est impossible (prendre z = 0).
3. Q3.03 — Faux. Soit c la capacité d'un car. Chaque car garde (2/3)(3/4)c = c/2 touristes, soit 7c/2 = 3,5c en tout, ce qui dépasse la capacité 3c de trois cars.
4. Q3.04 — Vrai. Pour x ≤ y : f(x) ≥ f(y) avec f < 0, donc 0 < −f(x) ≤ −f(y) ; de même 0 < −g(x) ≤ −g(y). En multipliant : f(x)g(x) ≤ f(y)g(y). Le produit est croissant.
5. Q3.05 — Faux. Contre-exemple : x ↦ e^−x est strictement décroissante et tend vers 0.
6. Q3.06 — Vrai. Exemple : f(0) = 1, f(1) = 0 et f(x) = x ailleurs. C'est une bijection de ℝ dans ℝ, discontinue en 0 et 1, et non monotone.
7. Q3.07 — Faux. u∘v(x) = ln((x + 1)/(x − 1)) est définie sur ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[, alors que v∘u(x) = (ln x + 1)/(ln x − 1) est définie sur ]0, e[ ∪ ]e, +∞[.
8. Q3.08 — Vrai. f(x + y)f(x − y) = 2^{−(x+y)² − (x−y)²} = 2^{−2x² − 2y²} = (f(x)f(y))² ; f est continue et f(0) = 1 ≥ 0.
9. Q3.09 — Faux. f(x) = x pour x > 1 et f(x) = x − 2 pour x < 1 : les limites à droite (1) et à gauche (−1) en 1 diffèrent. f est discontinue en 1, donc sa courbe n'y a pas de tangente.
10. Q3.10 — Vrai. I₁ = [ln sin x]_π/6^π/3 = ln(√3/2) − ln(1/2) = ln√3 et I₂ = [−ln cos x]_π/6^π/3 = −ln(1/2) + ln(√3/2) = ln√3. (Ou le changement x ↦ π/2 − x.)
11. Q3.11 — Vrai. g(x) = 10x³ + x − 1 est continue, g(0) = −1 < 0 et g(1) = 10 > 0 : le théorème des valeurs intermédiaires donne une racine dans ]0, 1[.
12. Q3.12 — Faux. Pour f = −(x² + 3x + 1)e^x : f' = −(x² + 5x + 4)e^x, donc f' − f = −(2x + 3)e^x ≠ (2x + 3)e^x. (C'est (x² + 3x + 1)e^x, sans le signe moins, qui est solution.)

Exercice IV — Questions à réponse précise

Q4.01 — B et C sont équivalentes. On écrit chaque proposition avec « non » et « ou » :

• A ≡ (P et non Q) ou R
• B ≡ non P ou non Q ou R
• C ≡ non P ou non Q ou R
• D ≡ (P ou Q) ⟹ R ≡ (non P et non Q) ou R

A et D ne sont équivalentes à aucune autre.

Q4.02 F'(t) = cos t·f'(sin t), puis F''(t) = −sin t·f'(sin t) + cos²t·f''(sin t).

Q4.03 (limite quand x → +∞.) On multiplie par la quantité conjuguée : √(x² + x + 1) − x = (x + 1)/(√(x² + x + 1) + x) → 1/2.

Q4.04 a) card 𝒫(E) = 2⁷ = 128. b) Chacun des 7 éléments de E a 4 images possibles : 4⁷ = 16 384 applications.

Q4.05 g'(x) = ln(x + 1) + 1 − ln(x − 1) − 1 = ln((x + 1)/(x − 1)).

Q4.06 D'après Q4.05, g est une primitive de l'intégrande : ∫₂³ = g(3) − g(2) = (4 ln 4 − 2 ln 2) − (3 ln 3 − 0) = 6 ln 2 − 3 ln 3 = 3 ln(4/3) ≈ 0,863.

Q4.07 a) Pour x ∈ ]0, 1[, x² − 1 ∈ ]−1, 0[, donc f(I) = ]−∞, −1[. b) sin prend toutes les valeurs de ]0, 1] sur ]0, π[ et vaut 0 en π : f(I) = [0, 1].

Q4.08 d = |3 × 1 + 4 × (−2) − 1|/√(3² + 4²) = |−6|/5 = 6/5.

Q4.09 1 + i√3 = 2e^iπ/3, donc (1 + i√3)⁹ = 2⁹·e^3iπ = −512. Partie réelle −512, partie imaginaire 0.

Q4.10 Chaque cycle jour + nuit fait gagner 1 m. Au matin du n-ième jour, l'escargot est à n − 1 m ; il sort le jour où n − 1 + 3 ≥ 12, soit n = 10. Le matin du 10 juin, il est à 9 m et il atteint 12 m à la fin de sa montée de la journée : il sort le 10 juin. Réponse probable pour l'heure : l'énoncé ne donne pas la durée de la montée quotidienne. Si la journée d'ascension va de 8 h à 20 h, il sort le 10 juin à 20 h.