نموذج مباراة ولوج المعهد العالي للصيد البحري بأكادير ISPM 2015 - الرياضيات، الفيزياء، الفرنسية والثقافة العامة

Ce modèle est le concours d'accès en 1re année de l'Institut Supérieur des Pêches Maritimes (ISPM) d'Agadir, session de septembre 2015, d'une durée totale de 3 heures. Il comprend trois épreuves : mathématiques (Q1–Q15), physique (Q16–Q30) et français et culture générale (10 QCM). Voici une correction proposée, avec le détail des calculs.

💡 Les questions de maths et de physique sont des calculs courts et indépendants : commencez par ceux que vous maîtrisez et gardez les résultats numériques avec leurs unités.

Épreuve de mathématiques

Numéros de téléphone à 7 chiffres

1. Q1 : chaque position peut recevoir l'un des 10 chiffres, avec répétition : 10⁷ = 10 000 000 numéros.
2. Q2 : chiffres tous différents, soit un arrangement de 7 parmi 10 : A₁₀⁷ = 10×9×8×7×6×5×4 = 604 800 numéros.

Q3 : simplification trigonométrique

• cos(3π/2 − α) = −sin α
• −cos(α + π/2) = −(−sin α) = +sin α
• 2 sin(α − π) = −2 sin α
• cos(α + π) = −cos α
• 2 cos(α − π/2) = 2 sin α

Somme : −sin α + sin α − 2 sin α − cos α + 2 sin α = −cos α.

Q4 : factorisation dans ℂ

z² + 4 = z² − (2i)² = (z − 2i)(z + 2i).

Q5 : équation logarithmique

Domaine : x > 0 (et 4x + 10 > 0, automatiquement vrai). On a log₄(y) = ln y / ln 4 = ½ log₂(y). En multipliant l'équation par 2 :
2 log₂x = 1 + log₂(4x + 10), soit log₂(x²) = log₂(2(4x + 10)).
Donc x² = 8x + 20, c'est-à-dire x² − 8x − 20 = 0, soit (x − 10)(x + 2) = 0.
x = −2 est exclu (x > 0), d'où S = {10}. Vérification : log₂10 ≈ 3,32 et ½ + log₄50 ≈ 0,5 + 2,82 = 3,32.

Fonction f(x) = (3 − 3/x + 1/x²)e^1/x, f(0) = 0

6. Q6 : l'expression est définie pour x ≠ 0 et f(0) est donné, donc D_f = ℝ.
7. Q7 : quand x → +∞, 1/x → 0, e^1/x → 1 et la parenthèse tend vers 3, donc lim f = 3.
8. Q8 : quand x → −∞, même raisonnement : lim f = 3. La droite y = 3 est asymptote horizontale des deux côtés.
9. Q9 : on dérive un produit u·v avec u = 3 − 3/x + 1/x², donc u′ = 3/x² − 2/x³, et v = e^1/x, donc v′ = −(1/x²)e^1/x.
   f′(x) = e^1/x[3/x² − 2/x³ − 3/x² + 3/x³ − 1/x⁴] = e^1/x(1/x³ − 1/x⁴), soit f′(x) = (x − 1)e^1/x / x⁴.

Q10 : ∫₀^π/2 cos⁶x dx

On linéarise : cos⁶x = (1/32)(cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10).
Sur [0, π/2], les intégrales de cos 2x, cos 4x et cos 6x sont nulles (sin 2kx s'annule en 0 et en π/2).
Il reste (10/32)·(π/2) = 5π/32 ≈ 0,491.

Suite u_n = 3/((3n+1)(3n+4)) + aⁿ, a > 0

11. Q11 : la fraction tend vers 0 et, pour a > 1, aⁿ → +∞, donc lim u_n = +∞.
12. Q12 : on cherche 3 = A(3n + 4) + B(3n + 1) pour tout n. Coefficient de n : 3A + 3B = 0. Constante : 4A + B = 3. D'où A = 1, B = −1 : u_n = 1/(3n+1) − 1/(3n+4) + aⁿ.
13. Q13 : la somme des fractions est télescopique : (1/4 − 1/7) + (1/7 − 1/10) + … + (1/(3n+1) − 1/(3n+4)) = 1/4 − 1/(3n+4).
    La somme a + a² + … + aⁿ est géométrique : a(aⁿ − 1)/(a − 1) si a ≠ 1, et n si a = 1.
    Donc S_n = 3n/(4(3n+4)) + a(aⁿ − 1)/(a − 1) pour a ≠ 1, et S_n = 3n/(4(3n+4)) + n pour a = 1.

Points A(−1 ; −1), B(2 ; 0), C(2 ; 3)

14. Q14 : AB = √((2+1)² + (0+1)²) = √10 ; BC = √(0² + 3²) = 3.
15. Q15 : CA = A − C = (−3 ; −4) et BC = C − B = (0 ; 3), donc CA·BC = (−3)(0) + (−4)(3) = −12.

Épreuve de physique

Automobile en MRUA

16. Q16 : v = 90 km/h = 25 m/s atteinte en 25 s depuis le repos : γ = Δv/Δt = 25/25 = 1 m·s⁻².
17. Q17 : x = ½γt² = ½ × 1 × 25² = 312,5 m.

Disque roulant sans glisser (M = 16 kg, r = 0,2 m, sin α = 0,2, J = ½Mr²)

18. Q18 : on écrit la 2e loi de Newton selon la pente, Ma = Mg sin α − f (f : frottement), et la rotation autour de G, Jθ̈ = f·r avec a = rθ̈. Cela donne f = Ma/2, d'où Ma(1 + ½) = Mg sin α :
    a = (2/3)g sin α = (2/3) × 9,81 × 0,2 ≈ 1,31 m·s⁻².
19. Q19 : la composante normale vaut N = Mg cos α, avec cos α = √(1 − 0,04) ≈ 0,980, soit N ≈ 16 × 9,81 × 0,980 ≈ 153,8 N. La composante tangentielle vaut f = Ma/2 = Mg sin α / 3 ≈ 10,5 N.
    R = √(N² + f²) ≈ 154 N.
20. Q20 : tan φ = N/f = 3/tan α ≈ 14,7, d'où φ ≈ 86,1° avec le plan incliné. Autrement dit, R est inclinée d'environ 3,9° par rapport à la normale, vers le haut de la pente.

Mouvement sinusoïdal z = 10 sin(πt/4 − 0,1) (cm, s)

21. Q21 : ω = π/4 rad/s, donc T = 2π/ω = 8 s. La trajectoire va de −10 à +10 cm : longueur 20 cm (deux fois l'amplitude).
22. Q22 : z(0) = 10 sin(−0,1) ≈ −1,0 cm.
23. Q23 : v = dz/dt = 10 × (π/4) cos(πt/4 − 0,1), donc v(0) = 7,85 × cos(0,1) ≈ 7,8 cm·s⁻¹.
24. Q24 : z(12) = 10 sin(3π − 0,1) = 10 sin(0,1) ≈ +1,0 cm. En effet, 12 s = 1,5 T : M est à l'opposé de sa position initiale.

Pendule dans un wagon (m = 0,5 kg, g = 9,8 m·s⁻²)

25. Q25 : a = Δv/Δt = 10 m/s / 50 s = 0,2 m·s⁻². Dans le wagon, le fil s'aligne sur g − a : tan α = a/g = 0,2/9,8 ≈ 0,0204, d'où α ≈ 1,17°, le fil étant incliné vers l'arrière.
26. Q26 : sur la rampe (β = 12°), l'accélération a = 0,2 m·s⁻² est dirigée le long de la pente, vers le bas. On prend x horizontal (sens de la descente) et y vertical vers le haut.
    g − a = (−0,2 cos 12° ; −9,8 + 0,2 sin 12°) ≈ (−0,196 ; −9,758).
    tan α′ = 0,196/9,758 ≈ 0,0200, d'où α′ ≈ 1,15° par rapport à la verticale descendante, vers l'arrière.
27. Q27 : T = m‖g − a‖ = 0,5 × √(0,196² + 9,758²) ≈ 0,5 × 9,760 ≈ 4,88 N.

Bille (m = 30 g) tombant sur une plaque de plomb (M = 500 g)

28. Q28 : chute libre de h = 10 m : v = √(2gh) = √200 ≈ 14,1 m·s⁻¹.
29. Q29 : choc mou très bref (la bille s'encastre), donc conservation de la quantité de mouvement : mv = (m + M)V, d'où V = 0,03 × 14,14 / 0,53 ≈ 0,80 m·s⁻¹.
30. Q30 : ΔE_c = ½mv² − ½(m + M)V² = ½ × 0,03 × 200 − ½ × 0,53 × 0,80² ≈ 3,00 − 0,17 = 2,83 J perdus, soit environ 94 % de l'énergie cinétique initiale (chaleur, déformation du plomb).

Épreuve de français et de culture générale

1. c. commises : COD que (= les fautes, féminin pluriel) placé avant l'auxiliaire avoir, donc accord.
2. a. sans idées préconçues : a priori = jugement porté avant toute expérience.
3. b. passées : passer une nuit est transitif direct. Le COD que (= les nuits) est placé avant, donc accord au féminin pluriel.
4. b. « une équipe ad hoc a été constituée pour régler cette histoire » : ad hoc = constitué spécialement pour une mission précise. Le capitaine Haddock (c) n'a rien à voir.
5. c. confirmés : corroborer = appuyer, confirmer par de nouveaux éléments.
6. b. à partir de ce moment, à l'avenir.
7. c. jouir : pleurer, sangloter et gémir expriment la douleur, jouir le plaisir.
8. D. Mark Zuckerberg.
9. B. AZERTY : c'est le clavier français, QWERTY étant le clavier anglo-saxon.
10. C. intéressant : un seul r et un accent aigu (é).