نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالرباط 2014 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année de la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat (Université Mohammed V – Souissi), session du vendredi 25 juillet 2014. Quatre exercices de 5 points, entièrement en vrai (V) / faux (F) : nombres complexes, fonction et limites, suites, probabilités. Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.

💡 Un vrai/faux se gagne par un calcul court et sûr. Deux propositions de ce sujet reposent sur des données imprimées incohérentes (exercices 3 et 4) : dans ce cas, raisonnez sur l'énoncé tel qu'il est écrit et signalez l'incohérence sur la copie si c'est permis.

Exercice 1 (5 pts) — t = (1 − i)/√2 et z = 2e^i2π/3

Forme exponentielle : |1 − i| = √2, donc t = e^−iπ/4.

1. V. tⁿ = e^−inπ/4 est réel ⇔ nπ/4 ≡ 0 [π] ⇔ n/4 ∈ ℤ ⇔ n multiple de 4.
2. V. arg(z²/t³) ≡ 2 × 2π/3 − 3 × (−π/4) = 4π/3 + 3π/4 = 25π/12 ≡ π/12 [2π].
3. F. z¹⁰ = 2¹⁰ e^i20π/3 ; 20π/3 = 6π + 2π/3, donc z¹⁰ = 1024 e^i2π/3 et Re(z¹⁰) = 1024 × (−1/2) = −512, pas −29.
4. V. t ≠ 1, donc 1 + t + … + t⁸ = (1 − t⁹)/(1 − t). Or t⁸ = e^−2iπ = 1, donc t⁹ = t et la somme vaut (1 − t)/(1 − t) = 1.

Exercice 2 (5 pts) — f(x) = (1/x) ln((1 − x²)/(1 + x²)), f(0) = 0

Outil : ln(1 + u) ~ u quand u → 0. Donc ln((1 − x²)/(1 + x²)) = ln(1 − x²) − ln(1 + x²) ~ −x² − x² = −2x² quand x → 0.

1. V. f(x) ~ −2x² / x = −2x → 0 = f(0) : f est continue en 0.
2. F. f(x)/x = ln((1 − x²)/(1 + x²))/x² → −2, pas 2 (le rapport (1 − x²)/(1 + x²) est inférieur à 1, son logarithme est négatif).
3. F. (f(x) − f(0))/(x − 0) = f(x)/x → −2 : f est bien dérivable en 0, mais f'(0) = −2, pas 0. La proposition (conjonction des deux) est donc fausse.
4. F. Algébriquement, (1/x)·ln[(1 − 1/x²)/(1 + 1/x²)] se réécrit x·ln((x² − 1)/(x² + 1)). Mais pour x ∈ ]−1, 1[ avec x ≠ 0, on a |1/x| > 1 : 1/x n'appartient pas au domaine ]−1, 1[ de f, donc f(1/x) n'existe pas ; de même (x² − 1)/(x² + 1) < 0 et son logarithme n'est pas défini. L'égalité n'a pas de sens sur l'intervalle indiqué.

Exercice 3 (5 pts) — u_n+1 = 3/(4 − u_n), v_n = (u_n − 1)/(u_n − 3), w_n = ln(v_n)

Attention à la donnée imprimée u₀ = 1. Les points fixes de x ↦ 3/(4 − x) vérifient x² − 4x + 3 = 0, soit x = 1 ou x = 3. Avec u₀ = 1, on obtient u₁ = 3/3 = 1 : la suite est constante (u_n = 1), donc v_n = 0 et w_n = ln 0 n'existe pas. Les propositions 1 à 3 n'ont de sens que si v₀ = 1/3, c'est-à-dire u₀ = 0 (v₀ = (0 − 1)/(0 − 3) = 1/3) : c'est très vraisemblablement la donnée voulue par le jury. Voici la correction dans ce cadre, puis la réponse avec u₀ = 1.

Relation de récurrence de (v_n) (valable quel que soit u₀) :

u_n+1 − 1 = (3 − 4 + u_n)/(4 − u_n) = (u_n − 1)/(4 − u_n) ; u_n+1 − 3 = (3 − 12 + 3u_n)/(4 − u_n) = 3(u_n − 3)/(4 − u_n).

Donc v_n+1 = v_n/3 : (v_n) est géométrique de raison 1/3.

1. V avec u₀ = 0 (réponse probable) : v_n = (1/3)(1/3)ⁿ = 1/3ⁿ⁺¹. Avec u₀ = 1 tel qu'imprimé, v_n = 0 et la proposition serait fausse.
2. V (réponse probable) : w_n = ln(3⁻⁽ⁿ⁺¹⁾) = −(n + 1) ln 3, donc w_n+1 − w_n = −ln 3 : suite arithmétique de raison −ln 3.
3. V (réponse probable) : ln(v₀ × … × v_n) = w₀ + … + w_n = −ln 3 × (1 + 2 + … + (n + 1)) = −ln 3 × (n + 1)(n + 2)/2 = −(n + 1)(n + 2) ln(√3), puisque ln 3 / 2 = ln √3.
4. V dans les deux lectures. Avec u₀ = 0 : de v(u − 3) = u − 1 on tire u_n = (3v_n − 1)/(v_n − 1) ; comme v_n → 0, u_n → 1. Avec u₀ = 1, la suite est constante égale à 1, donc convergente.

Exercice 4 (5 pts) — Probabilités

Données : A et C indépendants ; p(A) = 0,4 ; p(B) = 0,3 ; p(A ∪ B) = 0,8 ; p(A ∩ C) = 0,2.

Remarque : ces données sont incompatibles, car on doit toujours avoir p(A ∪ B) ≤ p(A) + p(B) = 0,7. Les propositions 2 et 3 n'en dépendent pas ; les propositions 1 et 4 si.

1. F (réponse probable). p(A ∩ B) = p(A) + p(B) − p(A ∪ B) = 0,4 + 0,3 − 0,8 = −0,1, valeur impossible et différente de 0,1. Si le jury avait voulu p(A ∪ B) = 0,6 (ou p(B) = 0,5), on trouverait 0,1 et la proposition serait vraie : c'est l'item le plus incertain du sujet.
2. F. A et C indépendants : p(A ∩ C) = p(A)·p(C) ⇒ p(C) = 0,2/0,4 = 0,5, pas 0,25.
3. V. p(A ∪ C) = p(A) + p(C) − p(A ∩ C) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.
4. F. p_A(B) = p(A ∩ B)/p(A). Avec les données imprimées, on obtient une valeur négative (impossible) ; avec la donnée corrigée p(A ∩ B) = 0,1, on obtient 0,1/0,4 = 0,25. Dans aucun cas on ne trouve 0,5 (il faudrait p(A ∩ B) = 0,2).