نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء 2003 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée 2003 à la Faculté de Médecine de Casablanca (Université Hassan II). Elle comporte 6 questions dont les résultats se reportent dans des cadres. Voici une correction proposée, avec le détail des calculs.

💡 Méthode : seuls les résultats sont reportés dans les cadres, mais une erreur de signe coûte toute la question : vérifiez chaque résultat par un contrôle rapide (module, valeur particulière, report dans l'équation).

Question 1 — Nombre complexe

Le numérateur se factorise : (√2 − 1) + i(√2 + 1) = √2(1 + i) + i(1 + i) = (1 + i)(√2 + i).

Sur le scan, un petit trait précède le √2 du dénominateur. La lecture cohérente avec la suite de la question (argument simple, puissance imaginaire pure) est le dénominateur √2 + i ; c'est celle retenue ici (réponse probable).

• Forme algébrique : Z = (1 + i)(√2 + i)/(√2 + i), soit Z = 1 + i.
• Module et argument : |Z| = √2 et arg Z = π/4 (modulo 2π).
• Valeur de n : la question porte sur Zⁿ. Zⁿ = (√2)ⁿ·[cos(nπ/4) + i·sin(nπ/4)] est imaginaire pur si cos(nπ/4) = 0, c'est-à-dire nπ/4 = π/2 + kπ : n = 2 + 4k (k entier). Plus petite valeur : n = 2, avec Z² = 2i.

Si on lit le dénominateur comme −√2 + i, le calcul donne Z = [(2√2 − 1) − i(2√2 + 1)]/3, de module √2 également, mais d'argument non remarquable (environ −64,5°), et aucune puissance simple n'est imaginaire pure.

Question 2 — Équation Z² − 2Z·sin θ + 2sin²θ = 0

Discriminant réduit : Δ' = sin²θ − 2sin²θ = −sin²θ = (i·sin θ)². Donc :

Z' = sin θ·(1 + i) et Z'' = sin θ·(1 − i).

Modules : |Z'| = |Z''| = √2·|sin θ|.

Arguments (selon le signe de sin θ) :

Question 3 — Équation différentielle y'' − 5y' + 6y = 3cos(2x − π/2)

On remarque que cos(2x − π/2) = sin 2x : le second membre est 3 sin 2x.

Solution particulière : on cherche y₀ = a·cos 2x + b·sin 2x. Alors y₀' = −2a·sin 2x + 2b·cos 2x et y₀'' = −4a·cos 2x − 4b·sin 2x. En reportant :

• coefficient de cos 2x : −4a − 10b + 6a = 2a − 10b = 0, donc a = 5b ;
• coefficient de sin 2x : −4b + 10a + 6b = 10a + 2b = 3, donc 52b = 3.

b = 3/52 et a = 15/52 : y₀(x) = (15·cos 2x + 3·sin 2x)/52.

Solution générale : l'équation caractéristique r² − 5r + 6 = 0 a pour racines r = 2 et r = 3, donc

y(x) = A·e^2x + B·e^3x + (15·cos 2x + 3·sin 2x)/52, A et B réels quelconques.

Question 4 — Produit vectoriel

Soit M(x, y, z). MA = (−½ − x, −y, −z) et MB = (½ − x, −y, −z). Comme MB = MA + AB avec AB = (1, 0, 0), on a MA ∧ MB = MA ∧ AB :

MA ∧ MB = (0 ; −z ; y).

Point M₀ : M₀C = (−x ; 1 − y ; −z). L'égalité (0 ; −z ; y) = (−x ; 1 − y ; −z) donne x = 0, −z = 1 − y et y = −z. D'où −z = 1 + z, z = −½ et y = ½ : M₀(0 ; ½ ; −½). Vérification : M₀A ∧ M₀B = (0 ; ½ ; ½) = M₀C.

Ensemble des points M du plan (yOz) : dans ce plan x = 0, la première équation est vérifiée et les deux autres imposent encore y = ½ et z = −½. L'ensemble cherché est réduit au point M₀(0 ; ½ ; −½).

Question 5 — Étude de f(x) = (e^x − 1)/(e^x + 1)

• Domaine : e^x + 1 > 0 pour tout x, donc D = ℝ.
• Dérivée : f'(x) = [e^x(e^x + 1) − e^x(e^x − 1)]/(e^x + 1)², soit f'(x) = 2e^x/(e^x + 1)², strictement positive.
• Limites : en −∞, e^x tend vers 0 et f tend vers −1 ; en +∞, f(x) = (1 − e^−x)/(1 + e^−x) tend vers 1.

• Tangente en A(0 ; 0) : f'(0) = 2/4 = ½, donc y = x/2.
• Courbe : f est impaire (f(−x) = −f(x)), la courbe est symétrique par rapport à O ; elle monte de l'asymptote y = −1 (en −∞) à l'asymptote y = 1 (en +∞), passe par O où elle traverse sa tangente y = x/2 (point d'inflexion). Repère utile : f(1) ≈ 0,46.
• Existence de la réciproque : f est continue et strictement croissante sur ℝ : c'est une bijection de ℝ sur f(ℝ) = ]−1 ; 1[.
• Expression : y = (e^x − 1)/(e^x + 1) équivaut à e^x(1 − y) = 1 + y, soit x = ln((1 + y)/(1 − y)). Donc f⁻¹(x) = ln((1 + x)/(1 − x)), pour x dans ]−1 ; 1[.
• Courbe de f⁻¹ (pointillés) : symétrique de celle de f par rapport à la droite y = x ; elle passe par O avec la tangente y = 2x et admet les asymptotes verticales x = −1 et x = 1.

Question 6 — Dénombrement et probabilité

L'urne contient 6 + 5 = 11 boules, toutes distinctes (numérotées) ; le tirage est simultané, on compte donc des combinaisons.

• N₁ = C(11,4) = (11 × 10 × 9 × 8)/(4 × 3 × 2 × 1) = 330.
• N₂ = C(6,3) × C(5,1) = 20 × 5 = 100.
• p = C(6,4)/C(11,4) = 15/330 = 1/22 (environ 0,045).