نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك المهندسين لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة (DEUG) - المدرسة الحسنية للأشغال العمومية - دورة 21 يوليوز 2008 - اختبار الرياضيات

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ROYAUME DU MAROC
Ecole Hassania des Travaux Publics
Concours d'Accès en 1°* Année
È
A
Réservé aux Titulaires du DEUG
a Epreuve de Mathématiques
a Durée : 3h
Lundi 21 Juillet 2008

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Les calculatrices sont uuturiséss,
NB Le candidat atrachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
lera sur sa
la
rédaction
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui Sembl er être uné ‏تفص‎ d'énoncé, à le sig
copie el devra poursuivre sa composition en expliquant Les 15 des initiatives qu'il à été amené ‏ل‎ prendre
P pus 1
*«**
Problème
Autour des Fonctions 1 et w d'Euler
Un des objectifs du problème qui comporte trois paragraphes est de démontrer
formule correspondante suivante
= ‏سحل +1)لا‎ (1-0)
‏نان‎ à € ]0,1{ ‏نيك‎ est une fonction » d'Euler » que Pon définira ultérieurement.
Dans le paragraphe 1. on définit la fonction Gamma d'Euler et on en montre quelques propriétés que
l'on utilisera dans le paragraphe ]1 pour définir la fonction ‏تب‎ d’Euler et démontrer la formule ci-
dessus.
Enfin, dans le paragraphe IT, on étudie plus en détail la fonction Gamma, dans le but de ‏ذا‎
représenter graphiquement
Les paragraphes If et LIT sont indépendants mais utilisent des résultats du paragraphe L
1. Questions préliminaires ñ
ب
‎justifier la convergence de la série D‏ ]0.1[ ه ‎a. Soit‏
’ ne
3
b. Pour quelle{s) valeur(s) de ‏م‎ l'intégraleÎ ‏يوار‎ est-elle convergente ? On ne demande
0
pas de justifier,
L La fonction Gamma d’Euler
2- Soit x un réel strictement positif, justifier l'existence d’un réef À strictement positif, tel que
pour tout réel £ strictement supérieur à À, on nit et ‏له كر‎ puis montrer que l'intégrale
0 TP 8
4° de est convergente
ve
On peut donc définir sur ]0,+æf , la fonction Gamma d'Euler notée 1 ‏نهم‎ l'(x)= [ ct ‏بو‎
‎u
3. Calculer )١( puis montrer la relation fondamentale suivante notée (F):
Vxc 0,10, T{x+1)=x7(x) (F)
En déduire (2). Soit n un entier naturel non nul, donner une expression simple de T{n).
4. Dérivabilité de la fonction Gumma
Soient a et h des réels tels que 0 <a > b
a. Four tout réel ! strictement positif, on définit sur [0+] , la fonction 4 par (x) = 1"!
Déterminer les variations de 4. On pourra discuter selon la valeur de ‏ب‎
En déduire que Wx e{a,],vre J0,400f, 0 <a tab
413

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b. Pour cette question, on pourra utiliser librement le résultat suivant: pour loul réel 7
strictement supérieur à =1, l'intégrale Î ‏نماضت‎ est convergente
a
:
Montrer avec soin que la fonction Test dérivable sur [a blet déterminer (x) sous forme d’intégrale
La fonction 1 est donc dérivable sur ]0,+e{ . On montre de la même façon et on admet que 1" est
de classe C7 sur [0.15]
5. Suit p un entier naturel, écrire sans justifier 17 ‏(ع)‎ sous forme d’intégrule. (TT! désigne la
dérivée pième de 1] )
IL. La fonction w d'Euler
On montre sans difficulté, que pour tout réel x strictement positif, T(x) > 0. On peut donc définir
sur ]0,+f, la fonction y d’Euler par y{x)= To
Soit ‏]ره‎
6. Relation entre w et des sommes
a. Quelle relation différentielle relie y et ‏"مل‎ ? En déduire que
Vxe]0+ef, w(x+1)-w(x)= 2 (on pourra utiliser (F)).
x
b. Soit # un entier naturel non nul, déterminer en fonction de »# et de &, quatre réels
‏يلايلا رارفلا‎ tels que
!
Dre =wy(u)-yl) et ÿ 7 01 - ‏لرو )نل - ( وسرإنلا‎
‏لد‎
7. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle R(X puis en déduire que
l'on a, pour tout entier naturel non nul » .
1 & (v(+a)-y(i-a))+ & (vtn+L-a)-w(n+1+ 0)
8. Enoncer avec soin l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour Le produit scalaire
(fs) Los, puis l'utiliser pour montrer que )٠9 171 où 1" désigne la
dérivée seconde de 1], En déduire que la fonction y est croissante.
9. Montrer que pour tout entier naturel non nul ‏ره‎ on a
١ 1
OSw(n+i+a)-w(n+i-u)< ‏مج‎ (penser que ‏انا كه‎
_w(+a)-w(-a)
20
| ببجب درج ‎Conclure que‏
حامج
111 Etude de la fonction Gamma
10. Utiliser (7) pour déterminer un équivalent de ] au voisinage de 0, . En déduire la limite
de F en0.
11. à. Justifier que D” est strictement croissante sur JO; +ef .
b. Justifier l'existence d’un réel » e]1,2[ tel que 1) ‏.0د‎ En déduire le signe de 1 et
enfin, les variations de ]
12. a. Déterminer la limite de Ten +. On pourra utiliser des résultats précédents
b. Dessiner l'allure du graphe ‏عل‎ 1. On représentera, s'il y a lieu, les asymptotes et les
tangentes horizontales.
è/3

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ل
Exercice 1 Etude d'un endomorphisme sur l’espace des polynômes
n désigne un enter naturel, un note R,[X} le R -espuce vectoriel des polynômes à coefficients
dans R, de degré inférieur ou égal à n
On définit sur R, [X]; l'application f: R,[X]- R[X] par:
VPeR, [A] . JPA )) =x (2) —P(X-1))
‘
13.Résultats préliminaires
a. Calculer f(1).S(X)./ (4°).
b. Si P(X)=a,X"+a
‎avec a, #0, quel est le terme de plus haut degré du‏ رمه + .+ أ "لان
‎polynôme P(X—1) ?
e. Soit PER,[Y] vérifiant P(N)= P(Y 1). On pose Q(N)= P(X)- P(N). Montrer que
Q(X) est un polynôme constant que l’on précisera.
‎14 Montrer que f'est un endomorphisme de KR, [X]
‎15 Déterminer le noyau de f, en déduire ‏ذا‎ dimension de l’image de f.
‎16 Dans cette question uniquement, on suppose que n=2.
a. Quelle est la base canonique de R,[X] ? Ecrire la matrice de l'endomorphisme / dans
cette base canonique n
b. L'endomorphisme /'est-il diagonalisable ?
‎17 Erude de la diagonalisation dans le cas gênéral
Pour tout entier naturel k, on définit les pülynômes PF, par :
‏باحتتاظ‎ A(X)= X et pour tout 4&22, A(X)a X(1-X)(2-X)..(k-1-X)
a. Montrer que la famille (P,,P, P,..., P,) est une base de R,[X]
b. Soit un entier naturel, déterminer un nombre réel c, tel que 7) ‏كن ج(‎
‎c. Déterminer les valeurs propres de f L'endomorphisme fest-il diagonalisahle ?
‎Exercice 2 Résolution d’une équation différentielle
‎18.00 note (E) l'équation différentielle |x| y"+ (a —1)y = a.
a. Résoudre (E) sur ]0; +]
‎2 x
b. Sachant que les solutions de (E) sur |-«:;0[ sont les fonctions ‏جرع‎ x+2+ + ‏ع"‎ ,où
‎BER, existe-t-il des solutions de (£) définies sur KR 7 Si oui, les expliciter.
‎Fin de l'énoncé