نموذج مباراة ولوج السنة الأولى بالمدارس الوطنية للعلوم التطبيقية ENSA 2025 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année des ENSA Maroc, session de juillet 2025. Durée : 1 h 30, sans calculatrice ni document. 20 questions à choix multiple (une seule bonne réponse parmi A, B, C, D), soit environ 4 minutes par question.

💡 Stratégie : sans calculatrice, privilégiez les encadrements, les équivalents et la forme exponentielle des complexes. Une réponse proposée peut souvent être éliminée par un test rapide (une valeur particulière, un module, un signe).

Nombres complexes

Question 1 — Réponse D : Z = 2²⁰¹¹.
−1 + i√3 = 2e^i2π/3, donc (−1 + i√3)²⁰¹⁰ = 2²⁰¹⁰ e^i·1340π = 2²⁰¹⁰ (1340π est un multiple pair de π). Le second terme est le conjugué, il vaut aussi 2²⁰¹⁰. Z = 2·2²⁰¹⁰ = 2²⁰¹¹.

Question 2 — Réponse D : |z| = 2^1/10.
En passant aux modules : |z|⁶ = |1 − i|·|z̄| = √2·|z|. Comme z ≠ 0 : |z|⁵ = √2 = 2^1/2, d'où |z| = 2^1/10.

Question 3 — Réponse A : |z₁| = |z₂|.
Pour z ≠ −1 : (z² + z + 1)(z + 1) = 1 ⇔ z³ + 2z² + 2z = 0 ⇔ z(z² + 2z + 2) = 0. Les solutions non réelles sont z = −1 ± i, conjuguées, de même module √2.

Question 4 — Réponse C : cercle de centre (1, 0) et de rayon 2√2.
Avec z = x + iy : 2|z − 3|² = |z − 5|² ⇔ 2(x − 3)² + 2y² = (x − 5)² + y² ⇔ x² − 2x + y² − 7 = 0 ⇔ (x − 1)² + y² = 8. Rayon √8 = 2√2.

Question 5 — Réponse B : m = 2.
1, −1, i, −i sont les racines de z⁴ − 1, donc p(M) = |z − 1||z + 1||z − i||z + i| = |z⁴ − 1|. Pour |z| = 1, |z⁴ − 1| ≤ |z⁴| + 1 = 2, avec égalité pour z⁴ = −1 (z = e^iπ/4). Donc m = 2.

Arithmétique

Question 6 — Réponse D : a = 1.
2025 = 7 × 289 + 2, donc 2025 ≡ 2 [7]. Or 2³ = 8 ≡ 1 [7] et 2025 = 3 × 675, donc 2²⁰²⁵ = (2³)⁶⁷⁵ ≡ 1 [7].

Question 7 — Réponse A : PGCD = 1.
125 = 5³ : le PGCD est une puissance de 5, il suffit de voir si 5 divise 3¹²³ − 5, c'est-à-dire si 5 divise 3¹²³. Impossible (3¹²³ ≡ 3³ ≡ 2 [5] car 3⁴ ≡ 1 [5] et 123 = 4 × 30 + 3). Donc le PGCD vaut 1.

Suites et limites

Question 8 — Réponse C : L = 1/6.
ln(1 + √n) = ½ ln n + ln(1 + 1/√n) ~ ½ ln n et ln(1 + n³) = 3 ln n + ln(1 + n⁻³) ~ 3 ln n. Le quotient tend vers (1/2)/3 = 1/6.

Question 9 — Réponse C : lim n·u_n = 1/2.
u_n > 0 pour tout n (récurrence). v_n+1 = (1 + 2u_n)/u_n = v_n + 2 : (v_n) est arithmétique de raison 2, v₀ = 1, donc v_n = 2n + 1, u_n = 1/(2n + 1) et n·u_n = n/(2n + 1) → 1/2.

Question 10 — Réponse C : L = +∞.
La racine intérieure est positive, donc u_n ≥ √n → +∞.

Question 11 — Réponse D : la limite vaut 2.
La somme compte 2n + 1 termes, chacun compris entre 1/√(n² + 2n + 1) = 1/(n + 1) et 1/√(n² + 1). Donc (2n + 1)/(n + 1) ≤ S_n ≤ (2n + 1)/√(n² + 1), et les deux bornes tendent vers 2 (gendarmes).

Question 12 — Réponse C : L = 1.
Soit E_n = (3 + √5)ⁿ + (3 − √5)ⁿ, entier pair. Alors cos((3 + √5)ⁿπ) = cos(E_nπ − (3 − √5)ⁿπ) = cos((3 − √5)ⁿπ) car cos est 2π-périodique et pair. Or 0 < 3 − √5 ≈ 0,76 < 1, donc (3 − √5)ⁿ → 0 et L = cos 0 = 1.

Question 13 — Réponse A : −1/√(2a).
Posons x = a + h, h → 0⁺. √x − √a = h/(√x + √a) ~ h/(2√a) est négligeable devant √(x − a) = √h. Le numérateur est donc équivalent à −√h. Le dénominateur vaut √(h(2a + h)) ~ √(2a)·√h. Le quotient tend vers −1/√(2a).

Intégrales et primitives

Question 14 — Réponse A : L = 1/2.
|I_n − ∫₀¹ x dx| = ∫₀¹ x·x²ⁿ/(1 + x²ⁿ) dx ≤ ∫₀¹ x²ⁿ⁺¹ dx = 1/(2n + 2) → 0. Donc I_n → ∫₀¹ x dx = 1/2.

Question 15 — Réponse C : I = 2(√3 ln 2 − π/9).
Intégration par parties (u = ln(x² + 1), v' = x²) :
I = [x³/3 · ln(x² + 1)]₀^√3 − (2/3) ∫₀^√3 x⁴/(x² + 1) dx = √3 ln 4 − (2/3) ∫₀^√3 (x² − 1 + 1/(x² + 1)) dx.
Or ∫₀^√3 (x² − 1 + 1/(x² + 1)) dx = [x³/3 − x + arctan x]₀^√3 = √3 − √3 + π/3 = π/3.
D'où I = 2√3 ln 2 − 2π/9 = 2(√3 ln 2 − π/9) ≈ 1,703.

Question 16 — Réponse A : F(x) = ln(1 + (ln x)²).
Avec u = ln x, u' = 1/x : f = 2u'u/(1 + u²) = (1 + u²)'/(1 + u²). Une primitive est ln(1 + (ln x)²), qui vaut ln 1 = 0 en x = 1.

Géométrie dans l'espace

Question 17 — Réponse A : (P) coupe (S) suivant le cercle de rayon 3 et de centre Ω.
2·2 − 5·(−2) − 6·3 + 4 = 4 + 10 − 18 + 4 = 0 : le centre Ω appartient à (P). La distance de Ω au plan est nulle, l'intersection est un grand cercle : centre Ω, rayon 3.

Probabilités

Question 18 — Réponse A : p = 1/2.
P(FF | 1^er = F) = P(FF)/P(1^er = F) = (1/4)/(1/2) = 1/2 (les jets sont indépendants).

Question 19 — Réponse B : p = 1,089 %.
Formule des probabilités totales, D = « défectueux », T = « détecté défectueux » :
p = P(D)·P(T|D) + P(D̄)·P(T|D̄) = 0,001 × 0,9 + 0,999 × 0,01 = 0,0009 + 0,00999 = 0,01089.

Question 20 — Réponse A : p = 1/2.
Les jets sont indépendants : la probabilité d'obtenir 1, 2 ou 3 au second jet ne dépend pas du premier, p_n = 3/6 = 1/2 pour tout n ≥ 2, donc p = 1/2.

Grille des réponses