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نموذج اختبار في مادة أو مواد التخصص - الرياضيات - المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين 2023

🏢 المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين 👤 اختبار في مادة أو مواد التخصص - الرياضيات 🎯 الرياضيات 📅 دورة 2023 👁️ 35 مشاهدة

باختصار

هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة اختبار في مادة أو مواد التخصص - الرياضيات لدى المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين (دورة 2023)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.

الجهة المنظمة
المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين
الدرجة
اختبار في مادة أو مواد التخصص - الرياضيات
التخصص
الرياضيات
الدورة
دورة 2023
عدد الصفحات
15
لغة الأسئلة
العربية والفرنسية
التصحيح
تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
نموذج الاختبار الكتابي: اختبار في مادة أو مواد التخصص - الرياضيات - المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين - دورة 2023. يتضمّن 15 صفحة من الأسئلة كما وُزّعت على المترشحين، يساعدك على التعرّف على نمط الأسئلة والتحضير الجيد للمباراة.
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📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)

استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.

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— صفحة 14 —
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✅ التصحيح المقترح

هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان مكتوبة بالعربية والفرنسية معاً، والغالب فيها الفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية.

Ce modèle est l'épreuve de la matière (ou des matières) de spécialité – Mathématiques du concours d'accès aux Centres régionaux des métiers de l'éducation et de la formation (CRMEF) pour le recrutement des professeurs de l'enseignement secondaire, 2e grade, session 2023. C'est un QCM (une seule bonne réponse par question) couvrant l'analyse, l'algèbre linéaire, l'arithmétique, la topologie, la géométrie affine et les probabilités. Le scan contient les pages 2 à 16 sur 18, soit les questions Q1 à Q56 ; la page de garde (durée, coefficient) et les pages 17–18 manquent.

💡 Dans un QCM de ce niveau, gagnez du temps par l'élimination : un contre-exemple simple suffit souvent à écarter une proposition (Q10, Q33, Q42), et beaucoup de calculs se vérifient en réinjectant la réponse (Q13, Q50, Q55).

Analyse, suites et séries

Q1. D — un = Σk=0n 1/k! croît vers e ; deux suites adjacentes ont la même limite, donc lim vn = e (vn est la suite décroissante du couple, par exemple vn = un + 1/(n·n!)). A (ln 2) est faux ; C est faux car vn décroît.

Q5. D — R = 5. Convergence en z₀ = 5 ⇒ R ≥ |5| = 5 ; divergence en z₁ = 4 + 3i ⇒ R ≤ |4 + 3i| = 5.

Q6. C — C ⇒ B ⇒ A : la convergence normale entraîne la convergence uniforme, qui entraîne la convergence simple.

Q7. A — a < 2. Règle de Cauchy : (un)1/n = ((n + a)/(n + 2))n = (1 + (a − 2)/(n + 2))n → ea−2. Convergence si ea−2 < 1 ⇔ a < 2, divergence si a > 2 ; pour a = 2, un = 1 ne tend pas vers 0.

Q9. B — Pour x ∈ [0, 1], 0 ≤ xne−x² ≤ xn, donc 0 ≤ un ≤ ∫₀¹ xn dx = 1/(n + 1). Conséquences : un → 0 (D faux), un ≤ 1 (A faux), un+1 ≤ un car xn+1 ≤ xn (C faux).

Q12. D — 4/e. ln[((n+1)…(2n))1/n/n] = (1/n)Σk=1n ln(1 + k/n) → ∫₀¹ ln(1 + x) dx = 2 ln 2 − 1 (somme de Riemann). Limite = e2ln2 − 1 = 4e−1.

Q15. B — (2/3)x³. √(1 + 2x) = 1 + x − x²/2 + x³/2 + o(x³) ; cos x = 1 − x²/2 + o(x³) ; sin x = x − x³/6 + o(x³). Donc f(x) = x³/2 + x³/6 + o(x³) = (2/3)x³ + o(x³).

Q17. B — π/4. En x = 1/4 : f(1/4) = 1/4 = 1/2 − (1/π)Σ sin(nπ/2)/n. Or sin(nπ/2) vaut 0 pour n pair et (−1)k pour n = 2k + 1, donc Σk≥0 (−1)k/(2k + 1) = π(1/2 − 1/4) = π/4.

Q23. B — 2π ln 2. Coordonnées polaires : ∫₀2π∫₁² (1/r²)·r dr dθ = 2π·ln 2.

Q24. B — ln(4/3). 2/((x+1)(x+2)(x+3)) = 1/(x+1) − 2/(x+2) + 1/(x+3). Primitive : ln[(x+1)(x+3)/(x+2)²], qui tend vers 0 en +∞ et vaut ln(3/4) en 0. Intégrale = 0 − ln(3/4) = ln(4/3).

Q28. C — α = 23/9. f est positive et équivalente à 1/x2α−4 : l'intégrale converge ⇔ 2α − 4 > 1 ⇔ α > 5/2. Parmi 5/2 = 2,5 ; 17/7 ≈ 2,43 ; 23/9 ≈ 2,56 ; 27/11 ≈ 2,45, seul 23/9 convient.

Q29. A — f(x) = ln(x + √(1+x²)) (argsh) a pour dérivée 1/√(1+x²). Accroissements finis : f(a) − f(b) = (a − b)/√(1+c²), d'où (a + √(1+a²))/(b + √(1+b²)) = ef(a) − f(b) = e(a−b)/√(1+c²).

Q31. A — ln((1+x)/(1−x)) = ln(1+x) − ln(1−x) = 2x + (2/3)x³ + o(x³) (les termes pairs s'annulent).

Q34. B — Posons h(x) = eˣ − x³ − x² − x − 2. h(0) = −1 < 0 ; h → +∞ en −∞ (−x³ domine) et en +∞ (eˣ domine). Il y a donc au moins une racine négative (h(−2) ≈ 4,1 > 0, h(−1) ≈ −0,6) et une racine positive (h(5) ≈ −9, h(6) ≈ 143). h⁗ = eˣ > 0 limite le nombre de racines et l'étude montre que h reste négative entre elles : exactement deux solutions, de signes contraires, donc x₁x₂ < 0.

Q36. A — f(0). Changement de variable t = nx : ∫₀+∞ f(t/n)e−t dt → f(0)∫₀+∞e−tdt = f(0) (convergence dominée : |f(t/n)e−t| ≤ ‖f‖∞e−t).

Q41. A — g'(t) = 2t·∂f/∂x(t², 2t) + 2·∂f/∂y(t², 2t) = 2t·2t(2t+1)e2t³ + 2t²(4t+1)e2t³ = (16t³ + 6t²)e2t³ = 2t²(8t + 3)e2t³.

Q53. A (réponse probable, exposant peu lisible) — Σn≥11/n² = (4/3)Σk≥01/(2k+1)² (on sépare pairs et impairs : S = S/4 + Σ impairs). Et ∫₀¹ x2kln x dx = −1/(2k+1)², donc Σ 1/(2k+1)² = ∫₁⁰ ln x·Σx2k dx (bornes inversées pour changer le signe). La proposition A, lue avec Σx2n et les bornes de 1 à 0, vaut exactement π²/6 ; B a les mêmes termes mais les bornes 0 → 1, ce qui donne −π²/6. C vaut π²/24 (avec les bornes 0 et 1) et D vaut π·ln 2/6.

Q54. B — |x²y/(x²+y²)| ≤ |y| → 0. A : le long de y = 0 la limite vaut 1 ≠ 0 ; C : le long de y = x elle vaut 1/2 ; D n'est même pas définie sur l'axe y = 0.

Q56. Aucune proposition exacte : la longueur vaut 8. x'(t) = −2 sin t + 2 sin 2t, y'(t) = 2 cos t − 2 cos 2t ; x'² + y'² = 8(1 − cos t) = 16 sin²(t/2), donc ‖v‖ = 4 sin(t/2) sur [0, π] et L = ∫₀π 4 sin(t/2) dt = 8. (C'est une demi-cardioïde ; la cardioïde entière mesure 16.) Aucune des valeurs 2π, 4π, 6π, 8π ne convient : l'énoncé contient probablement une coquille.

Arithmétique et algèbre

Q2. A — a561 ≡ a [561]. 561 = 3 × 11 × 17 et 560 est divisible par 2, 10 et 16. Par Fermat, a561 ≡ a modulo 3, 11 et 17, donc modulo 561 (nombre de Carmichael).

Q4. A — A³ = A² ⇒ Ak = A² pour tout k ≥ 2. eA = I + A + Σk≥2A²/k! = I + A + (e − 2)A².

Q8. D — n = 83. Loi uniforme sur {1, …, n} : V(X) = (n² − 1)/12 = 574 ⇒ n² = 6889 = 83².

Q10. C — (X + 1)(X − 3)². A est trigonalisable sur ℝ ⇔ son polynôme caractéristique est scindé sur ℝ. X² + 1 et X² + 2X + 3 (discriminant −8) n'ont pas de racine réelle ; dans B, le facteur imprimé X² + X + 2 (discriminant −7) non plus. C est scindé.

Q11. D — ∅. x ≡ 11 [18] ⇒ x ≡ 2 [3] ; x ≡ 4 [15] ⇒ x ≡ 1 [3] : incompatible (pgcd(18, 15) = 3 ne divise pas 11 − 4 = 7).

Q13. C — x = a − p(a)/2. En appliquant p (p² = p) : 2p(x) = p(a), donc p(x) = p(a)/2 et x = a − p(a)/2. Vérification : x + p(x) = a − p(a)/2 + p(a) − p(a)/2 = a.

Q14. C — q(x, y, z) = 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz (les termes rectangles valent 2 × coefficient hors diagonale ; le coefficient (1,3) est nul) = 2(x² + y² + z² − xy − yz).

Q18. C — ker fH = {x ∈ H : f(x) = 0} = ker f ∩ H. En général Im fH ⊂ Im f seulement.

Q20. D — m ≠ −1. Dans la base (u, v, w), det(u + mv, v + mw, w + mu) = det [[1, 0, m], [m, 1, 0], [0, m, 1]] = 1 + m³, non nul ⇔ m ≠ −1.

Q27. B — PA est une probabilité et B ∩ C = ∅ : PA(B ∪ C) = PA(B) + PA(C).

Q30. C — La perpendicularité n'est ni réflexive ni transitive. A est une équivalence (a R b ⇔ a² − a = b² − b), B aussi (|a| = |b|), D aussi (parallélisme).

Q32. D — ker φ = {z : ez = 1} = {2ikπ, k ∈ ℤ}.

Q35. D — L'intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe ; HK n'en est un que si HK = KH, et H ∪ K seulement si l'un contient l'autre.

Q37. C — L'énoncé imprimé est P ⇒ (Q̄ et R). Sa contraposée est non(Q̄ et R) ⇒ P̄, soit (Q ou R̄) ⇒ P̄.

Q38. B — Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre ; (z₁, z₁ + z₂, z₁ + z₂ + z₃) s'en déduit par une matrice triangulaire inversible, donc elle est libre. A est faux (famille libre elle aussi) ; C et D sont faux (liberté toujours vraie, sans lien avec l'inversibilité, et insuffisante pour diagonaliser si n > 3).

Q39. A — (A + B)* = A + B. (iA + (2+3i)B)* = −iA + (2−3i)B ≠ C₂ ; (AB)* = B*A* = BA ≠ AB car A et B ne commutent pas.

Q40. A — Dans un groupe cyclique d'ordre n, ⟨xk⟩ = ⟨xpgcd(k,n)⟩. ⟨x²⟩ = ⟨x³⟩ ⇔ pgcd(2, n) = pgcd(3, n) ⇔ les deux valent 1 ⇔ n premier avec 6.

Q43. A — Le dual E* est L(E, ℝ).

Q44. C — b ≤ −17. Le signe du coefficient (1,3) est peu lisible ; la lecture 2 + 6b est la seule qui donne une réponse unique. En développant selon la 2e colonne : χ(λ) = (4 − λ)[λ² − (b + 3)λ − 3b − 2]. Discriminant du trinôme : (b + 3)² + 4(3b + 2) = b² + 18b + 17 = (b + 1)(b + 17). Trigonalisable ⇔ χ scindé ⇔ (b + 1)(b + 17) ≥ 0 ⇔ b ≤ −17 ou b ≥ −1. Seule C est incluse dans cet ensemble. (Avec 2 − 6b, le discriminant b² − 30b + 17 serait positif pour les quatre intervalles proposés.)

Q48. B — b = −2. a = [(3X² − X + 1)/(X + 1)]X=0 = 1 ; c = [(3X² − X + 1)/X²]X=−1 = 5 ; en +∞, X·F(X) → 3 = b + c ⇒ b = −2.

Q49. B — Les inversibles de ℤ/9ℤ sont les classes premières avec 9 : 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Q50. C — u ∧ v = (1, 2, 1) ∧ (−1, −1, 2) = (5, −3, 1) ; F : 5x − 3y + z = 0. Vérification : u → 5 − 6 + 1 = 0 ; v → −5 + 3 + 2 = 0.

Q51. C — (0, 1/2, 1/2). P₁ = X² − 1, P₂ = X² − X − 2, P₃ = X² + X − 2. X² − 2 = αP₁ + βP₂ + γP₃ ⇒ α + β + γ = 1, −β + γ = 0, −α − 2β − 2γ = −2 ⇒ β = γ = 1/2, α = 0.

Q52. C — {1 − ln 3}. x * x = ln(2eˣ) ; x * (x * x) = ln(eˣ + 2eˣ) = x + ln 3 = 1 ⇒ x = 1 − ln 3.

Topologie, géométrie, probabilités

Q3. D — N̄ = ℝ. Topologie cofinie : les fermés sont les parties finies et ℝ. ℕ est infini, le seul fermé qui le contient est ℝ.

Q16. C — φA(M) = AM est bijective (réciproque : u ↦ A + u).

Q19. B — L'enveloppe convexe de trois points non alignés est le triangle plein MNP.

Q21. C — SA ∘ tu ∘ SA = t−u (en vecteurs : M ↦ −(−AM + u) = AM − u). Par ailleurs SA ∘ SB = t2BA = t−2u ≠ SB ∘ SA = t2u, donc B et D sont faux, et SA ne commute pas avec tu (A faux).

Q22. A — Trois points non alignés engendrent un plan affine.

Q25. A — ln 2. P(X = k) = (1/2)k, k ≥ 1 : E(1/X) = Σ (1/k)(1/2)k = −ln(1 − 1/2) = ln 2.

Q26. C — 1/4. P(0 < X < 1) = (1/π)[arctan x]₀¹ = (1/π)(π/4).

Q33. Aucune proposition n'est convexe telle qu'imprimée (réponse probable attendue : D). A (couronne), B (cercle) et C (extérieur d'un disque) ne sont pas convexes. D = {y ≤ x²} non plus : (−1, 1) et (1, 1) y sont, mais pas leur milieu (0, 1). L'ensemble convexe est {y ≥ x²} (épigraphe d'une fonction convexe) : D était sans doute visé avec ce sens d'inégalité.

Q42. B — L'adhérence d'une réunion est la réunion des adhérences. Pour les intérieurs on a seulement Å ∪ B̊ ⊂ (A ∪ B)° ; Ā ∩ B̄ ⊃ (A ∩ B)‾ avec inclusion stricte possible (A = ℚ, B = ℝ∖ℚ).

Q45. C — Fu = u⊥ est le noyau de la forme linéaire non nulle x ↦ ⟨x, u⟩ : un hyperplan (dimension n − 1 ≥ 3, donc ni droite ni plan).

Q46. A — Le cercle unité (image de ℝ par t ↦ eit) et l'axe imaginaire sont connexes par arcs. (A ∩ B = {i, −i} n'est pas connexe ; A ∪ B l'est.)

Q47. A — (D) : y = x + 2. f(x, y) = (x, 2x − y + 4) ; f ∘ f = Id, c'est une symétrie. Axe = points fixes : y = 2x − y + 4 ⇔ y = x + 2.

Q55. C — f(z) = az + b avec a = (B' − A')/(B − A) = (−2 − 2i)/(1 − i) = −2i et b = A' − a = 1 + i. Vérification : f(1 + i) = −2i + 2 + 1 + i = 3 − i. |a| = 2, arg a = −π/2, centre ω = b/(1 − a) = (1 + i)/(1 + 2i) = 3/5 − i/5.

أسئلة شائعة حول هذا النموذج

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