نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالرباط 2010 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès à la 1^re année de la faculté de médecine, Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat (Université Mohammed V-Souissi), session du lundi 26 juillet 2010. L'épreuve comporte 4 exercices de 5 points. Voici une correction détaillée.

Exercice 1 — f(x) = ln(1 + xe^x) sur ]0, +∞[

1) Quand x → +∞, xe^x → +∞, donc 1 + xe^x → +∞ et lim f(x) = +∞.

2) a) Pour x > 0, xe^x > 0, et l'on peut factoriser : 1 + xe^x = xe^x(1 + 1/(xe^x)). Donc f(x) = ln x + ln(e^x) + ln(1 + 1/(xe^x)) = x + ln x + ln(1 + 1/(xe^x)).

b) f(x)/x = 1 + (ln x)/x + ln(1 + 1/(xe^x))/x. On a (ln x)/x → 0, et 1/(xe^x) → 0, donc ln(1 + 1/(xe^x)) → 0, et divisé par x aussi. Donc lim f(x)/x = 1.

Exercice 2 — g(x) = 2√(x − 1) et la suite (u_n)

1) a) On multiplie par la quantité conjuguée :

• g(x) − x = (2√(x−1) − x)(2√(x−1) + x)/(2√(x−1) + x) = (4(x − 1) − x²)/(2√(x−1) + x) = −(x − 2)²/(2√(x−1) + x) ;
• g(x) − 2 = 2(√(x−1) − 1) = 2(√(x−1) − 1)(√(x−1) + 1)/(√(x−1) + 1) = 2(x − 2)/(√(x−1) + 1).

2) a) Récurrence : u₀ = 3 ≥ 2. Si u_n ≥ 2, alors u_n+1 − 2 = g(u_n) − 2 = 2(u_n − 2)/(√(u_n−1) + 1) ≥ 0, car le numérateur est ≥ 0 et le dénominateur > 0. Donc u_n+1 ≥ 2, et u_n ≥ 2 pour tout n.

b) u_n+1 − u_n = g(u_n) − u_n = −(u_n − 2)²/(2√(u_n−1) + u_n) ≤ 0 : la suite est décroissante.

c) La suite est décroissante et minorée par 2, donc elle est convergente. Sa limite ℓ vérifie ℓ ≥ 2 et ℓ = g(ℓ), car g est continue sur [1, +∞[ et u_n+1 = g(u_n). D'où g(ℓ) − ℓ = −(ℓ − 2)²/(2√(ℓ−1) + ℓ) = 0, donc ℓ = 2.

Exercice 3 — Intégrale

1) sin²x/cos x = (1 − cos²x)/cos x = 1/cos x − cos x, pour x dans [0, π/3], où cos x ≠ 0.

2) a) F(π/3) = ln[tan(π/6 + π/4)]. Or tan(π/6 + π/4) = (1/√3 + 1)/(1 − 1/√3) = (1 + √3)/(√3 − 1) = (1 + √3)²/2 = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3. Donc F(π/3) = ln(2 + √3).

b) Posons u = x/2 + π/4, qui est dans [π/4, 5π/12] ⊂ ]0, π/2[, donc tan u > 0 et F est dérivable. On a u' = 1/2 et (tan u)' = u'(1 + tan²u) = 1/(2cos²u). Donc F'(x) = [1/(2cos²u)] / (sin u/cos u) = 1/(2 sin u cos u) = 1/sin(2u) = 1/sin(x + π/2) = 1/cos x. F est bien une primitive de f(x) = 1/cos x sur [0, π/3].

c) Avec 1), I = ∫₀^π/3 (1/cos x − cos x) dx = [F(x) − sin x]₀^π/3 = ln(2 + √3) − √3/2 − (F(0) − 0). Comme F(0) = ln(tan π/4) = ln 1 = 0 :

I = ln(2 + √3) − √3/2 (≈ 0,45).

Exercice 4 — Probabilités

L'urne A contient 2 N et 1 B ; on y tire 2 boules successivement et sans remise. L'urne B contient 2 B et 1 N ; on y tire 1 boule.

• Tirage dans A : P(N,N) = 2/3 × 1/2 = 1/3 ; P(N,B) = 2/3 × 1/2 = 1/3 ; P(B,N) = 1/3 × 1 = 1/3 ; P(B,B) = 0 (une seule blanche).
• Donc P(deux noires de A) = 1/3 et P(une noire et une blanche de A) = 2/3.
• Tirage dans B : P(blanche) = 2/3, P(noire) = 1/3.

1) Trois boules de même couleur : trois blanches est impossible (A ne donne jamais deux blanches). Il reste trois noires : P = 1/3 × 1/3 = 1/9.

2) Deux blanches et une noire : A doit donner une blanche et une noire, puis B une blanche. P = 2/3 × 2/3 = 4/9.

💡 Sur le scan, une troisième ligne pâle sous la question 2 est le texte du verso vu par transparence, pas une question supplémentaire.