نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك المهندسين لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة (DEUG) - المدرسة الحسنية للأشغال العمومية - دورة 5 يوليوز 2004 - اختبار الرياضيات

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ROYAUME DU MAROC
Ecole Hassania des Travaux Publics
Concours d'Accès en 1*9 Année
Réservé aux Titulaires du CUES ou DEUG (option MP)
ه٠‎ Epreuve de Mathématiques
o Durée : 4h
‘Lundi 5 Juillet 2004

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Epreuve de Mathématiques
Durée 4 heures
Préambule
Le sujet comporte deux problèmes indépendants
il est demandé d'exposer les questidns dans l'ordre de l'énoncé ,
Les candidats pourront admettre certains résultats intermédiaires et les utiliser dans
la suite du problème, méme s'ils ne les ont pas démontrés , à condition de le
mentionner explicitement . 4
Les résultats devront être soulignés ou encadrés
Pour chaque question de ces problèmes , on appellera * so/ulion convenable * toute
suite finie d'affirmalions correctement justifiées , et très lisiblement écrites . Seules
les * solutions convenables * seront notées positivement .
I sera tenu le plus grand compte dans la notätion de la qualité de la rédaction et de
la présentation matérielle
Partie I :un exemple
, ‏م1‎
‎Soit / la fonction définie sur R par f(x) = rArctanr et pour z > 0, on pose ‏)و‎ = mn 1 #Arctant dt
0
udier la fonction / et tracer son graphe (en précisant les éventuelles asymptoles et la position
du graphe de f par rapport à celles-ci).
2. Calculer g(z) pour x # 0 et montrer que ‏و‎ peut être prolongée par continuité eu 0. (On
continue à appeler g la fonction ainsi prolongée).
Vérifier que ‏و‎ est développable en série entière sur un intervalle ( - R, R[ que l'on précisera et
donner ce développement. Prouver que g est indéfiniment dérivable (c'est à dire de classe C'®)
sur R.
3. Etudier la fonction ‏و‎ et tracer son graphe (en précisant les éventuelles asymptotes et la position
du graphe de ‏و‎ par rapport à celles-ci).
Partie 1
Dans toute la suite du problème, on désigne par £ = C(R*,R) l'espace vectoriel des fonctions
- continues de [0,+os vers R et par à un réel tel que & > 0:
Pour tout / de E, on désigne par ‏(ر)و©‎ l'application ‏و‎ de [0,+co[ vers R définie par :
90) - 8 etpourr>0 glr)= - [ ‏)م حر‎ at
Vérifier que pour tout élément / de E, ‏(/)وة = و‎ est élément de E.
1
Montrer que pour tout ‏ع‎ > 0, on à d,(f}(x) = [ ul f(xu) du
6
On suppose / de classe C! sur R* et on pose 9 = Ÿ,(f). Montrer que g est aussi de classe
© sur R* et calculer 9’ en fonction de P,:1(/°).
Montrer que ‏و‎ est de elasse C® sur R+ si ‏رز‎ l'est.
Tournez In page S.V.P
114

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0 1
5 (a), Montrer que ‏مل‎ est un endomorphisme injectif de ©
(b} Soit / un élément de E et g = %(/). Montrer que ‏و‎ est dérivable en tout pointz < 0
exprimant g'(x) en fonction de f{r) et de glz).
© (c) Déterminer les valeurs Propres de ,. en précisant les différents sous-espaces propres (<
pourra former une équation différentielle vérifiée par f fonction propre associèe à à
valeur propre)
(d) Montrer que ‏و‎ n'est pas sutjective =
+ Soit / un élément de E et 9 = d.(f). On Suppose qu'il existe 7? > 0 et une suite réelle (à, }
' +
tels que pour tout x € ]0,7] : f(x) = 7 ax". Montrer qu'il existe une suite réelle (b,), (qu
n=0
+2
l'on explicitera) telle que pour tout x € [0, A ; g{x) = ‏با الام‎
CET
- Dans cette question seulement, on pose f(t) = ï : 1 et on pose ‏«(/رزمة = و‎
(a) En prenant R = 1, expliciter les suites ‏ول(مة)‎ et ‏ولوة)‎ correspondantes à la situation de ‏با‎
‎question 6. :
1
‎ay = x‏ + 'برج ‎est solution sur ]0, +oo de l'équation différentielle‏ و ‎Montrer que‏ (ط)
2 :
‎étant la seule solution à avoir une limite finie en (
‎(c) Montrer que ‏و‎ est décroissante sur R+ et Préciser sa limite en +00. (On pourra distinguel
les cas 0<a<l,a=leta>1len cherchant à majorer simplement g{x} pour x > (1)
‎(d) Déterminer une relation entre Pa(/) et Perf) En déduire lim ‏ممع‎ (f(x).
‏مما‎
‎- Dans cette question seulement, on suppose ‏به‎ € M et f(f) = et et on note g = B,(/)
‎n 2°g(x) en utilisant une factorielle et en déduire un équivalent simple de ‏عام‎
‎. Soient ‏ه‎ > Oet-B > 0
‎(a) Soit f dans 2. Grâce à une intégration pat parties que l'on précisera, montrer que :
‏(زاءة + ‎Soi)‏ = ((/)ر4) 5 (0- )
‎(b) En déduire que les endomorphismes ‏مي‎ et ‏رة‎ commutent.
Soit un entier naturel n. On désigne par P, le saus-espace vectoriel de £ constitué des fonctions
polynômialesde degré inférieur ou égal à n.
(a) Montrer que si / est dans P,, alors g = d,(/) l'est aussi.
(b} Vérifier que la restriction de ‏و‎ à P, est un endomorphisme diagoïalisable de P,..
‎{c) On suppose n = 2. Déterminer le nombre d'endomorphismes © de P; tels que 4? =
‎+ Soit f un élément de E et ‏و‎ = ®,(f). On suppose que f tend vers le réel Len ‏ذم‎ Montrer
que ‏و‎ admet une limite réelle en +00 que l'on caleulera en fonction de L.
‎Tournez la page SVP,
‎214

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Partie III
Dans cette partie, à = 1 et l'on notera simplement ; c'est à dire si f est élément de E,
A 0 1.
g = {if} est définie par g(0) = /)0( et g(r) = — Î 7). *
20
12. Soit f dans E et 9 = ©)/(. Montrer qué si / est intégrable sur R*, alors ‏أغصائة و‎ une limite
réelle en ‏ده‎ que l'on précisera. La réciproque est-elle vraie ?
13. (a) Soit f dans E et g = d{f) et T un réel strictement positif. On suppose que / admet
pour période T. Déterminer lim g en fonction de f f{t)dt. (on pourra commencer par
calculer g{nT) avec n entier naturel non nul).
z
(b) Déterminer en fonction de x un équivalent simple de 1 Isintfd lorsque + tend vers + x.
8
14, On note ‏ع‎ l'ensemble des applications continues de [0,--co[ vers Î telles que f? soit intégrable
sur R*°,
(a) Montrer que ‏ع‎ est un espace vectoriel réel et que l'application :
بم
‎NN: TMC‏
est une norme sur ‏ع‎
Soit f EE et g = 0)/(. Grâce à une intégration par parties, justifier que pour tous #, À
tels que 0 > 6 > A,ona:
[ (ota)) dr > ‏را‎ ra +2 [wo dut |
(c) En déduire que pour tout f de €, 0)/( est aussi élément de © avée ‏نا‎ )4)/(( > ٠
Comment inberprétez-vous ce résultat ?
PROBLÈME - IL
Partie A
On considère E = R,[X], l'espace vectoriel des polynômes de-degré inférieur ou égal à 5. On note
E, l'ensemble des polynämes impairs de ‏ل‎ et ‏لل‎ l'ensemble des polynômes pairs de E. On désigne
per ex (0 > k < 5) les éléments de la base canonique.de Æ de sorte que a,(X) = ‏كلل‎ On nommera
pareillement “base canonique” de ‏ص‎ (resp. de E;) la base {e,,es,es) (resp. {e0,2,e4}) de E,
resp. Er).
1° Justifier que ‏ره‎ et E; sont deux sous-espaces vectoriels supplémentiires de ‏صل‎ c’est-à.lice
‏فز خط‎
2 a) Montrer que l'application a qui à tout polynôme P € ‏بلا‎ associe le polynôme w(P) défini
! par
4 e(P)(X) = (X7+1) P'(X) — X P'(X) 0)
définit un endomorphisme ‏.ل عل‎
314 Tournez la page S.V.P,

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Donner la matrice de ‏ه‎ dans la base canonique {2,e3,e4) de FE.
Déterminer le noyau de ‏رض‎ ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
+ est-il diagonalhisable ?
Montrer que l'application s qui à tout polynôme P € Es associe le polynôme s(F) défini par
s(P)CX) = (X? = 1) P'CX) ‏ب‎ X P'(X) ‏ب‎ 2)
définit un endomorphisme de E;.
Donner la matrice de s dans la base canonique {e,,e,,e,} de E2.
Déterminer le noyau de s, ainsi que sesvaleurs propres et ses vecteurs propres.
s est-il diagonalisable ?
considère l'application qui à tout polynôme P € 5 associe le polynôme 2X P(X) — P'(X).
Montrer que la restriction f de celte application au sous-espace ‏بل‎ définit une application
linéaire de ‏لط‎ dans E:.
Déterminer la matrice de cette applicalion dans les bases canoniques respectives de E, et
E.
Montrer que f est un isomorphisme.
Partie B
Soit E un espace vectoriel sur R non nécessairement de dimension finie. On désigne par ‏ره‎ et
‏بتر‎ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, de sorte que E = ‏رط‎ © 25. On désigne par s un
endomorphisme de ‏يا‎ et par f une application linéaire bijective de E, dans Zi.
ÂzeE s'écrivant ‏برع + رمع ج ع‎ où ‏(وعيرة)‎ € Æi x ‏رول‎ on associe
Fr) = fe) + Jr) + (2). 38)
Prouver que F est injective.
Prouver que F est surjective (on ne suppose PAS que Æ est de dimeusion fimie) et exprimer
Fu) où v= mm + ‏رن‎ € E et (ny) € Es xx.
On suppose que F admet une valeur propre À € R. Soit x ‏0ج‎ un vecteur propre associé,
décomposé en ‏وه + رم جع‎ (où (m,22) € E, x ZE). Prouver que ‏ع‎ et x: sont non nuls et
que ‏يع‎ est vecteur propre de s.
Réciproquement, on suppose que s admet une valeur propre réelle un. Prouver que F admet
au moios une valeur propre réelle À Déterminer un vecteur prapre de F associé à À en
fonction d’un vecteur propre ‏يع‎ de s associé à pi.
Montrer que si 1, ...,us sont des vecteurs propres de s indépendants et associés à une
même valeur propre m de s, alors les vecteurs propres de F précédemment calculés sont
indépendants.
On suppose désonnais E de dimension finie, et on pose n = dim ‏لل‎
‎3“ a) Justfier que dim ‏كل‎ = dim E;=n et ‏ستل‎ 2 - ٠
b) Soit yn, .., ‏ملز‎ les valeurs propres réelles distinctes de s. Protver que F admet 2p valeurs
propres réelles distinctes.
c) Montrer que si s est diagonalisable, F l'est aussi.
IN