نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك المهندسين لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة (DEUG) - المدرسة الحسنية للأشغال العمومية - دورة 6 يوليوز 2017 - اختبار الرياضيات

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CONCOURS D'ACCES EN 12“ ANNEE
POUR LES TITULAIRES DU
DEUG EN SCIENCES ‏ناه‎ ÉQUIVALENT
EDITION 2017
EATP
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Durée 3h
Jeudi 06 Juillet 2017

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Exercice 1 :
Pour b€ KR, on pose :
St) := ‏نل‎ 5 . So) =0.
1) Pour quels à € R la suite (Su(b)} ‏مي‎ converge:t-elle ?
Pour a > 0, on pose u{a. b) := ‏دك‎
‎2) Discuter suivant les valet:rs de a et ‏ة‎ ls convergence de la suite (u,(a, b)) rex
3) Montrer que si à > 0, alors vk € N°:
1 ‏مجع‎ dt
‏رج‎ Î ‏"م‎
ماج
4) En déduire que si b > 0, alors Vn € N°:
à: 1
‏فاك‎ -1 5] > 50 -
et que S,(6) = [° # + O(1) quand ‏مه جد‎
5) Si a, = 2 1}, montrer que 37.44 > Otels queVreN:m£<e<M
6) Conrciure donnant une concition nécessaire et suffisante sur a > 0
e bE R pour que la série Su, (a, b) converge.
n20
Exercice 2 :
Soit E ur sous-espace vectoriel de C‘{R, K) de dimension finie n € N stable
par dérivation, ie V/EeE,j'€E.
1) Montrer que ‏ع‎ € CF(R,K)
2) Onpwœe D: E ‏جب‎ ©.
f—/f
Montre: que D est bien définie et que D € L(E).
3) Montrer que 25 € K.IX7\{0} tel que P(D) = 0.
4) Montrer que Æ est exactement l'ensernble des solutions d'une équation
diférentielle linéaire à coefficients constants d'ordre n = din(£)

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اا
Exercice 3 : | .,
1} Montrer que si Aet B sont des matrices carrées d'ordre n, alors :
(AB) = ‏لقا‎
2) Sit E1m K-espace vuctoriel et u € ‏لطا‎
Soit (her € ‏اط‎ une familie de vecteurs propres de u dent les valeurs propres
associées sont deux à deux cistincies.
Montrer que (zihier ‏كه‎ libre.
3) Pour a € R, on pose f:R—R.
z — €
Moctrer que (fo)aea est libre.
4) Pour a € R,on pose go: 101] —+ R
z— ©
Montrer que (ÿa)aen est Hbre.
Problème : 7
L'objectif de ce problème sera l'étude ces R-algèbres unitaires commutatives
intègres de dimension Énie 4
1( Donner un exemple de R-algébre unitaire commutative intègre de dimen-
sion finie. ١
2) L'algéore donnte dans La réponse précéderze est-elle ur corps ?
3) Donner un exemple de R-algèbre unitaire commutative intègre qui ne soit
pas un corps Est-elle de dimension finie ?
4) Donner un exemple d'un sur-cOrps commutatif de R de dimension Énie et
ur autre de dimension inÊnie
On roppelle que K est un sur-corps de Ko s'il existe un morphisme de corps
tmpectf ‏ا‎ Ka —+ K. Dons ce cas, on confond Ko et é{Ko) pour écrire
Ke C K.
Soit (A,+,:,x) une R-algèbre unitaire commutative intègre de dimension
finie.
5) Pour z € À, en étudiant ‏ما‎ famille (z'}iex, montrer qu'il existe un
polynôme unitaire P € R'X1 1e! que P{z) = 0.
On. rapzelle que si QUX] = ao + aX + … + ‏ليه‎ € R'X], et a € A,
Qi) := aol + aa + … + ‏.كديه‎
Pour z € À, on pose 1, := (P € R'X\ : P(x) = 0},
e N,:= {deg(P) P € L,\(0} }
6) Montrer que Vr € À, I, est ‏عن‎ idéal de ‏إل‎ non réduit à {0}.
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7( Pour z € À, montre que N, admet toujours us miroran: noté d,, et que
dE N°.
8) Montrer que Vz € A, 217. € J, unitaire tel que deg(x,) = d..
9) Montrer que L = #RX]={r.P. PE RIX|}.
10) Quels sont les plovzémmes irréductibles de R'X1] ?
11) En factonsant +, comme produii de polynôrres irréductibles de R|X7,
déduire à partir de l'équation #,(7) = 0 que d, € {1,2}.
12) Montrer que V2 € À d, = 1 ssi z € vect{(l4), et donnez l'expression de
*, pour y = ‏لح ده را‎ :
13) Montrer que z € A\vect(l4) si 2a,b € R tels que a? — 45 > Get
re(X)= Xi+aX — b. ‘
14) Pour quels ‏ع‎ € A, ‏(0)ءت‎ = 0 ? En déduire que tout éiément non nul de
À &ümet un inverse dans A. Que peut-on déduire concernant ‏قا‎ structure
(A, +, x) ?
15) Pour B anneau commutati intègre, on note ‏ول‎ := {x € B:1?+1y — 0}.
Quelles sont les valeurs possibles du cardinal de ‏ول‎ ? Donner des exemples
d'anneaux B pour chaque valeur.
15) Si um (A) = 1, quel est le cardinal de /4 ? Dans ce cas, à quelle algèbre
usuelle À est-elle isomorphe 7
Dans la suite, nous supposerons que dim(.4) > 2.
17) En étudiant ln forme canonique de x, pour un à € A\vect(l4), montrez
qu'il existe ; € À tel que ? = -14
En déduire que Ja = {j, -j}.
15) Montcer que pour tout ‏ع‎ € A\vect(li), il existe ‏ذه‎ € R tels que
z=el4+b.
Indication : utiiser les questions 18) et 17).
19) Déduire que A =vect(l4,j) Conclure en répertoriant, à isomorphisme
près, toutes les R-algèbres unitaires intègres commutatives de dimension finie
Soit K un sur-corps de R. On écrit par abus RC K.
20) Vérifier que (K°.+,:, x) est une R-algèbre, où le produit externe
‎K.‏ عام 6 ل تمع ا د عا
‎21( Que!s ‏.ادك‎ à isomorphisme près, tous les sur-corps commutatifs ‏عل‎ R de
dimensior £nie ?
‎22) Donner un exemple de sur-corps de R do dimension n finie, avec n > 3.
‎+ Fin de l'épreuvesss
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