نموذج مباراة ولوج سلك المهندسين: الإحصاء والمعلوميات القرارية (SID) - كلية العلوم والتقنيات طنجة - جامعة عبد المالك السعدي - دورة يوليوز 2011 - الجبر

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* Faculté des Sciences et Techniques 07-2011
Département de Mathématiques
Tanger
Cycle Ingénieur : Statistique et Informatique Décisionnelles
Concours : Epreuve d’Algèbre
(Durée : 1h 30min)
Exercice 1 :
Soient À et B deux sous ensembles de JR? définis par :
A= {(a,y) € IR? tel que s°+y=1} et B= {(æ,y) € IR? tel que x + ‏ن‎ = 0}
A et B sont-ils des sous-espaces vectoriels de IR? ? Justifier. Dans le cas affirmatif, donner leur base.
Exercice 2 :
Soient À et B deux sous-espaces vectoriels engendrés par {(1,1), (1, LÀ 1)} et {(0,1),(1,1)} respectivement.
Calculer la matrice de l'application P définie de IR? dans IR? par P(x1,59) = (æ2,t1) dans les bases À et B.
Exercice 3 :
a) Soit T': IR ‏ب‎ IR? une application linéaire telle que :
Ker(T) ‏االد د ع ندال‎ 271 = 8x3 et ‏ع‎ = ta}
Déterminer une base de Ker(T) et montrer que Test surjective.
b) Soit U = {(x1,T2,23, T4, ‏وم حرم الو‎ et ts = 274 = 2x5 }. Montrer qu’il n’existe pas d'application
linéaire T : IR5 —+ IR? telle que Ker(T) = U.
Exercice 4 :
m désigne un nombre réel, on considère la matrice
m 1 1
‎m 1‏ 1 أاحمهق
‎٠“ à‏
‎1 1
‎a) Déterminer les valeurs propres de la matrice À, et les vecteurs propres associés. Montrer que Am est
‎diagonalisable.
‎b) Discuter, suivant les valeurs de m, le rang de 4». Déterminer l'inverse de ‏ما‎ lorsqu'il existe.
c) Dans le cas où Am n'est pas inversible, déterminer le noyau et l’image de l'endomorphisme associé.
‎Bonne chance.
‎ss