نموذج مباراة ولوج ماستر الأنظمة الموزعة والذكاء الاصطناعي (SDIA) - ماستر البحث - المدرسة العليا لأساتذة التعليم التقني المحمدية - جامعة الحسن الثاني بالدار البيضاء 2023 - الرياضيات

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‎ROYAUME DU MAROC 0 ins‏ سم
‎Ministère de l'Ensoi 1 Supérieur, re‏
والبحث العلمي والابتكار ‎l'innovation‏
‏جامعة الحسن الثاتي بالدار البيضاء ‎pl 1 ENSET‏ ل ‎Université Hassan ١١ de Casublanen‏
المدرسة العليا ‎HU‏ التعليم التقني )11 ‎Ecole Normule Supérieure de‏
المحمدبة ‎l'Enseignement Technique Mohammedia‏
‎Département Mathématiques et Informatique‏
‎Année du Master de Recherche‏ ك1 ‎Concours d’accès en‏
‎Session Juillet 2023‏
‎Systèmes Distribués et Intelligence Artificielle : SDIA‏
‎Epreuve : Mathématiques‏
‎Durée de l'épreuve : 2H‏
‎Consignes importantes à respecter :‏
‎1- L'épreuve est un QCM dont les réponses doivent être reportées dans la grille de réponses fournie.
‎2- Dans la grille de réponses, il est nécessaire de préciser votre numéro d'examen dans la grille relative au
numéro d'examen en remplissant les cases correspondantes aux 4 chiffres composant à votre numéro
d'examen, Exemple : pour un numéro d'examen 0129, il sera représenté dans la grille comme suit :
‎mololo «Le premier chiffre 0 du numéro de l'examen (0129) sera représenté en remplissent
‎183 [ill la case portant le chifire 0 de la première colonne de grille
‎DATE «٠ ‏عا‎ deuxième chiffre 1 du numéro de l'examen (0129) sera représenté en
‎remplissant la case portant le chiffre 1 de la deuxième colonne de grille
‎[4141474] pe
‎fs151515] “Le troisième chiffre 2 du numéro de l'examen (0129) sera représenté en
leiei61é] remplissant la case portant le chiffre 2 de ‏ما‎ troisième colonne de grille
[7171717] * Le quatrième chiffre 9 du numéro de l'examen (0129) sers représenté en
‎[8181818} remplissant la case portant le chiffre 9 de la quatrième colonne de grille
‎[91919 1
‎3- Pour une question dannée du QCM, une bonne réponse est possible parmi les 4 choix : À, B, C et D.
‎4- Pour répondre aux questions, dans la grille de réponses, Il faut remplir la case correspondante à la bonne
réponse associée à chaque question. Exemple : pour un QCM à 3 Questions Q1, Q2 et Q3 dont les.bonnes
réponses respretives sont B pour 91. D pour Q2 ct C pour ‏,3و‎ la grille sera remplie alors de la manière
suivante :
‎Q-1 Hjc]o]
‎Q-3 [AÏB EH 0١
‎5- Le barème appliqué dans la correction est le suivant :
‎+ Bonne réponse : 2 ‏كا‎
‎+ Mauvaise réponse : - 1 ‏ا‎
‎e Aucune réponse : -0,5pt
‎6- L'utilisation des documents, téléphones portables, calculatrices, appareils électroniques, correcteur
« blanco », sont strictement interdits
‎7- Aucune explication supplémentaire ne vous sera donnée pendant l'examen. Il vous appartient de prendre
vos décisions selon votre compréhension et votre analyse.
‎8- A la fin de l'examen, fl faut rendre : l'énoncé de l'épreuve, la grille de réponses. Ces deux documents
doivent être enveloppés dans une double feuille, qui vous sers fournie, portant votre nom, votre prénom
et votre numéro d'examen,
‎9- La grille de réponses est fournie en un seul exemplaire, Er'aucun cas, une autre grille ne vous sera fournie.
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LEONE NORMALE SUPÉRIEURE DE 1 AR Tee ١ ‏الهدز مدا العطر لاس ب‎
IONIQUE DE MOMIE U | Fr | ENSET ‏التحمدية‎
‏أ صكاالاصالر‎ HASSAN ‏ع‎ DE CASABLANCA | ‏لسن الثاني ,لذ ار الميشاء‎ tea
91. Soit n € ‏."ل‎ On cherche à résoudre ZE: (+) cos(2k9) = 0 où 8 est une inconnue
réelle.
© Si 8 est solution, alors ‏جحلل‎ 8 sin2(k0) = 2".
B. 2 (2) cos(2k8) = cas(n@) ‏تخ‎ 1
C. L'ensemble des solutions est ‏ركه + كا‎ k € 2} U {5 + km, k € 2}.
D, Aucune réponse n'est juste,
Q2. On utilise dans cette question les notations normalisées : 3(z) désigne la partie imaginaire
de 2, R(z) désigne la partie réelle de z, et Z désigne le complexe conjugué de z.
Soit ٠
(1+2i)2-(1—i)
_ )1+ 03 -- )2+ 2
Quelle est l'affirmation exacte ?
® HG) = ‏ج-‎ 0
‏اج‎ )1+30-)1-
B. ‏د‎ 7
‏ب‎ 207) 1+2/))-3arg((1-0))
© ro) 3arg((1+1))-2arg((2+6))
D. Aucune réponse n'est juste.
Q 3. Soient a,b et c trois réels quelconques ? Quelle est la propriété vérifiée par la valeur
absolue ?
A. [lal ‏اف -ع|< اذا ب‎
3. | - ‏إء جع| + إ - ط| + إه‎ = 2{max({a:; b; 0 — 11014: b; c)]
@ atb+c= 5 (max{a; b; c} + min{a; b:; c})
D, ‏ا + إط| + إع| + اء + ط +ع)| ح اء + ذا + إء +ع| + إطجع|‎
© 4. Si ‏وت ترد‎ Sont des réels strictement positifs, on définit leur moyenne arithmétique
As ‏نك نو‎ Xn) par:
Mt ++ x
‏ب بيع رووع‎ Xp) = ‏ا تحت‎
leur moyenne géométrique G(X1; ‏نر‎ ***; Xn) par :
Gas Rai ‏لم رن‎ = Ve ‏بض ا‎
et leur moyenne harmonique H(x1; ‏توعد‎ +: x,) par:
‏الإتصيب = لم ب نيد زره)!ا‎
‏مم لل ملل مله لم لإا‎
X1 - Xn
Quelle est l'inégalité reliant ces trois moyennes ?
116
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الم رميةالضاالأسابد؟التعأيياأتقني تعب اضيا المحدحوي حا
الحممدية ‎ENSET‏ | سانا .سي
عامس لمم ‎dust angl‏ حاسخطخكان 4ه # حتدةن* ‎SANTE‏
‎Mn)‏ ب نيد ب ‎an) S‏ تك ني ناا ‎A‏
‏لوت نح ‎an) S HG‏ ب بيد ‎AG‏ 0
لضت بر بر < ‎a)‏ :> بم ‎C, HG‏
لض 5 بي 60 ‎S‏ لت نيد نظ ‎D,‏
‎Q 5. Des fermiers décident sur la base des prix pratiqués une année de la quantité de blé qu'ils‏
‎planteront pour l'année suivante : en supposant que les cours resteront stables, ils plantent‏
‎beaucoup si les prix sont élevés, peu si les prix sont faibles, L'année suivante, si les récoltes‏
‎sont abondantes, les prix baissent, tandis qu'ils montent si les récoltes sont faibles,‏
وى ‎la demande de l’année nt, par p,, Le prix de blé au quintal l'année n, par‏ و0 ‎On désigne par‏
‎Pour modéliser les hypothèses précédentes, on suppose que les fonctions‏ .1د ‎la récolte de l'année‏
به ‎prix-demande et prix-ofte sont afMines, c'est-à-dire qu'il existe des réels strictement positifs‏
‎b, cet d'els que‏
‎b .‏ + ول( = ‎ps‏
‎d‏ + رلا = ‎Ses‏
‎Enfin, il y a forcément équilibre de l'offre et de la demande, ce qui se traduit par‏
بجر = ربوظ
‎Que peut-on dire de l’évolution des prix ?‏
‎A. Lasuite (p,) des prix satisfait à une relation de récurrence linéaire d'ordre 2, de la forme‏
‎YPn-1 = 0.‏ + و8 + ‎APn+1‏ :
‎La suite (p,,) des prix converge toujours. |‏ .12
‎La suite (p,,) des prix converge si et seulement si £ > 1‏ .©
‎D. La suite (p,.) des prix est croissante.‏
‎us; = (un), où f est la fonction définie‏ ,]1 ;0( € ملا ‎Q 6. Soit (un)nen la suite définie par‏
‎par‏
‏معت د ‎PT‏
‎Vi -‏ + جل
‎Quelle est l'affirmation exacte 7‏
‎A, L'ensemble des points fixes de f est (0; 1}.‏
‎B. La suite (4, )nen converge vers 0 si uy # 1,‏
‎C. La suite (uy)ner converge vers 1 si up # 0.‏
‎D. La suite (u,)1ey converge vers : si up € {0; 1}.‏
‎deux séries numériques, Quelle est l'affirmation exacte ?‏ ورت ‎Q 7. Soient Zu, et Ÿ‏
‎A. Si (u,) tend vers D; alors la série Yu, converge,‏
‎B. SiZu, et Z v, convergent, alors Z(u,, + v,) converge.‏
‎v, convergent.‏ نز ‎converge, alors J'u, et‏ (ولا ‎Si X(u,-+‏ ©
‎SiZu, et Z v divergent, alors ZCun + vn) diverge.‏ )@
‎Q 8. Soit (bn)}nen une suite d'entiers vérifiant 1 < b, Sn — 2 pourn > 2.‏
215
‎avec CamScanner‏ 560006
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011 NORMALE ‏المدرسنةالعلبالأاندةالتعليمالنقي 6 01114 اضيا‎
DE ‏]ا‎ 2 ١ ENSET a
‏الكللا)باز‎ MASAA NS ‏اا‎ DE CASABLANCA ‏جامعةالحس الثانبلدارالنيضاء‎
Que peut-on dire de la série ‏عونت‎ = ?
A. 06116 séric converge toujours.
(8) Cent série converge seulement si l'on a b,, < 5 pour tous les n, sauf peut-être un nombre
fini.
C. Cette série diverge seulement si l'on a b, 2 : pour tous les n, sauf peut-être un nombre
fini.
D. Ceite série converge si et seulement si la suite (b, )hen est bornée.
Q 9. Dans une lettre datée du 12 mai 1676, Leibniz communiqua deux séries à henry Oldenburg,
Secrétaire de la Royal Society, en lui demandant si quelqu'un pouvait en trouver [a somme.
Newton avait déjà trouvé dix ans plus tôt la somme de l’une de ces deux séries, et il envoya
deux lettres de réponse (connues sous le nom d'Epistola Prior, et d’Epistola Posterior) ; dans
l'une d'elles, il donna la somme qu'il avait déjà trouvée, et dans l’autre, il donna la somme
d'une troisième série, dont le terme général ressemblait à celui de la deuxième série de Leïbniz.
Traduite en français, et en termes mathématiques contemporains, voici (annexe 1( quelle était
en substance la démonstration de Newton pour le calcul de la somme de cette troisième série,
Justement, quelle est la série dont Newton trouvera ainsi la somme ?
1 1 1 1
A. 1— 33 35 GET
1 1 1 1 1 1 1 1
LE Ex +5 75 2:7 7 ‏سي‎
‎NO 1 ++ 57+
1 . 1. à à À
8001+3+3+7++-
Q 10. Quelles sont les propriétés de la fonction f définie par f(x) = ‏تدداد|‎ ?
‏ب‎ f se prolonge par continuité en 1, en posant f(1) = ٠
B. f est prolongeable par continuité en 1, et la fonction prolongée est dérivable en 1, de
dérivée =.
© f est dérivable sur son domaine de définition, et sa dérivée est donnée par
0) ‏حرابما‎ "1
PO = TRE
P: f est décroissante sur son ensemble de définition.
- Q 11. Soit f une fonction continue positive sur l'intervalle [a; b]. Que représente fe f?
A. L'aire de la région délimitée par l’axe des y, les droites y = a, y = b, et le graphe de
© L’aire de la région délimitée par l'axe des x, les droites x = a, x = b, et le graphe de
‏جح‎ = fois le volume du solide engendré par la rotation autour de l'axe des x de la surface
délimitée par les droites x = a, x = b, et le-graphe de F:
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‎t wvsaideillémsshtttuttas, 34tt‏ صن ‎MOMIE‏ بون
‎pur Aie‏ الثاني بلداراليضاء )الامج ‎DE‏ د ‎MASLAN‏ )العجميين
‎D. È fois le volume du solide engendré par la rotation autour de l'axe des y de la surface‏
‎délimitée par les droites y = a. y = b. et le graphe de f.‏ 1
‎Q 12. Quelle est l'affirmation exacte ?‏
‎Le produit de deux fonctions continues par morceaux sur un intervalle [a; b] € R est‏ @
‎une fonction continue par morceaux sur [a; b].‏
‎B. L'inverse d’une fonction continue par morceaux /: [a; b] € IR + R° est une fonction‏
‎continue par morceaux sur ] b].‏
‎est une fonction‏ و ‎Si f est une fonction continue par morceaux [a; b] € R — R, et si‏ .©
‎o f est une fonction continue par‏ ع ‎continue par morceaux f([a; b]) € R — R, alors‏
‎morceaux [a; b] + R.‏
‎b].‏ به] ‎D. Toute fonction monotone sur [a; b] € R est continue par morceaux sur‏
‎.Q 13. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle / dont l’intérieur contient 0‏
‎(autrement dit, deux fonctions définies au voisinage de 0). Que peut-on dire des‏
‎développements des fonctions que l’on peut construire à partir de f et de g ?‏
‎Os f et g admettent un développement limité d'ordre n en 0, f 9 g admet aussi un‏
‎développement limité d'ordre 71 en 0,‏
‎B. Si f admet un développement limité d'ordre n > 1 en 0, alors 7 admet un‏
‎développement limité d'ordre n — 1 en 0,‏
‎C. Si f est continue, et si f admet un développement limité d'ordre n en 0, alors toute‏
‎primitive de f admet un développement limité d’ordre n + 1 en 0.‏
‎D. Si f + g admet un développement limité d'ordre n en 0, alors f et g admettent un‏
‎développement limité d'ordre n en 0.‏
‎Q 14, Si P est une approximation de 7 à 107" près, voici trois formules d'accélération qui‏
‎donnent chacune une meilleure approximation de x‏
‎P+sinP, (1)‏
)2( , ; 85 ++ م
‎sin P — tan P)‏ 2
)3( » لقند واي ل ‎P+‏
‎Que peut-on dire de ces trois accélérations ?‏
‎)est meilleure que (2) ou (2) est meilleure que (3).‏ 00
‎est la moyenne de (1) et (2),‏ )3( .
‎C. Si P donne n décimales correctes de x, alors (1) et (2) en donnent chacune au moins 3n.‏
‎D. Si P donne n décimales correctes de # à 1075 près, (3) est une approximation de x à‏
‎près.‏ 107#
‎Q 15. Quelie est la meilleure approximation, au voisinage de 0, de la fonction cosinus par une‏
‎fonction de la forme :‏
416
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1017 HOMME SUPTMILURE DE 7 ‏المدرسيةالعلبالا بنذ ةالتعليمالنقدن‎
110000 DE 01 ‏ه01 ملي‎ U 1 | ENSET ‏المحمديه‎
‎100110107 LAGSAN ١١ 01 CASABLANCA ‏لجسي الثائي بالذارالنيضا‎ sales
1+ ax?
À. ‏الس‎ 1— L
‏م بلع‎
c 1- 32,2
.Xm PR eee
0 1- ‏ب‎
‏نيت‎ 1+ 3 x
016
Rappel : l'ensemble M des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans IR est un R-espace
vectoriel et un anneau non commutatif, On note 1 la matrice identité.
0 1 1
Soit À = ( 0 1) On note, pour (a, b) € ‏بالا‎ M(a,b) = ‏لله‎ + bA. Soit E l’ensemble des
1 1 0
matrices M(a, b), (a, b) © R?.
A. A?= 2A +1.
B. A? = 2A — I.
É?a est inversible et A1 = : (I — A).
D. (4 + 1)(A — 20).
Q17. Sous les mêmes conditions que la questions Q16.
@) E est un R-espace vectoriel et un anneau non commutatif.
B. (1, A) est une famille génératrice de E, mais n’est.pas une base de E.
©. Soient M et M’ des matrices de E.Ona:MM'=0 = M=0ouM'=0,.
D. M(a,b) est inversible si et seulement si a # b et a + —2b.
Q18. On considère que dans une équipe de basket, chacun des 12 joueurs a 1 chance sur 4 d’être
absent au moins une fois durant le mois de juillet. On suppose que l’absence ou la présence
d’un joueur n’a pas d'impact sur les chances qu'a un autre joueur-de se retrouver absent. On
s'intéresse au nombre N de joueurs absents durant le mois de juillet.
Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 4 joueurs absents durant le mois de juillet ?
© Elle vaut exactement 1 - Z£-9(1/4)#,
B. Elle vaut environ 35%.
©. Elle vaut environ 19%.
D. On ne peut pas répondre car la loi de N n’est pas connue.
019. Soit X le temps de trajet quotidien de Monia, en heures, variable aléatoire de densité
définie par
fx x) = ‏نع‎ “To, +o0[()
Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
A; E(X) = ZLet P(X > 1) = 63,2%.
B. E(X) = 2et P(X > 1) = 26.4%,
516
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‎shui! hs out à LPTE NI]‏ آم لاب ‎HT‏ هذه نيم
‎nes‏ جع ‎ENS‏ | رالا ‎ss‏
‏حاسكة ‎dune du us‏ « ايرادا ‎MASRAN M DE‏ )اط ؤي
‎C. PIX > 1) = 73.6% el on ne peut pas facilement déterminer la médiane de X,‏
‎(c'est-à-dire X n’admet pas d'espérance) et P(X > 1) = 26.46.‏ ده + ‎D. E(X) vaut‏
‎4 020. On suppose que X désigne le montant du gain (en Dh) que rapporte un employé à son
entreprise en un mois, et que X est de loi N° (500, (150)?). L'entreprise verse à l'employé une
prime Ÿ égale à O si ce gain est inférieur à 700 Dhs, et, si le gain X excède 700 Dhs. a la moitié
de l'excès en question. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
‎A. La loi de Fest une loi continue et l'employé a environ 2,3% de chances d'avoir une
prime supérieure à 50 Dhs.
B. La loi de Y n'est pas une loi continue et l'employé a environ 2,3% de chances d'avoir
une prime supérieure à 50 Dhs. |
©. La loi de Ÿ est une loi continue et l'employé a environ 17% de chances d’avoir une
prime supérieure à 50 Dhs. ‏د‎
‎D. La loi ‏عل‎ } n’est pas une loi continue et l'employé a environ 17% de chances d’avoir
une prime supérieure à 50 Dhs.
Annexe pour Q9.
‏مسح ووس‎ Te ‏اع‎
‎Considérons l'intégrale: [= : Par primitivation, on
+8 1 1 : A si ‏م‎ as A Ho aRrt à e : à : 3 ‏ا‎
‎pen rs ‏لت‎ Er ER ns
Par ailleurs, ‘on a : 1 ‘Sa
© tételefaidh-fsss) k
ce qui conduit à
4 1:1 + ‏الول‎ a Lt ue dr
‏ل‎ UE RE ‏ال‎
‎| o l+# RL aa SR
‏ا ا | دم‎ seu ,
‏إ:‎ SON 1 +2: . 2/2 ‏د‎ ٠, FRA VA US
et enBn:à la somme de série. je 1 4 sas gs 2
560006 avec CamScanner
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