نموذج مباراة ولوج ماستر النمذجة والحساب العلمي (MOCASIM) - كلية العلوم والتقنيات مراكش - جامعة القاضي عياض 2017-2018 - الرياضيات

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Université Cudi ‏لويم‎ :
" Fanulté des Sciences et Techniques
Dépariement de Mathématiques
Epreuve de Mathématiques
Master ATOCASTM
Année Universitaire 3017-3018
Durée 2H
Questions de cours et applications
. Li Donner la défimtion d'un ouvert ‏جر عل‎
2 Donne ‏ما‎ dédinition d'us compacte dans un espace topologique et donner une
raracténsation d'un compacte duns un ‏ومسرقة‎ môbrique.
| 41 Sobent ‏ا‎ un espace vectoriel normé ét ‏عنمل طب‎ parties de E
1[ Montrer que si Fest un ouvert alats A+ FH ent aus un ouvert
li Montrer que si À et ‏ل‎ sont dés compactes alors À + ‏اللا‎ l'est aussi.
ti] Montrer que el À ‏أ‎ compacte et ‏ل‎ fermé ‏تملع‎ A+ ‏اك ط‎ un ‏ممه‎
1 On aunit Erde la norme Éuclidienne canonique. Montrer que l'application
Fix — ‏زعا‎ est de classe ‏عوع لل‎ 1 (08 et exprimer 6a différentielle
5} Donner quelques propriétés fondamentales des espuuces LAC) avec L'< pe 20 |
ob LT om ‏أضوت‎ de ‏عي‎
Exercice 1
1; Donwer Les définitions savantes : La convergence sonple et ‏قا‎ convergence uni
eme d'une suite de fonctions.
93 Dénner la définition de ‏ما‎ continuité uniforme d'une fouction définis de E vers
4) soit (fu une suite de foncoions réelles qui converge uniformément vers uns
fonction f et ‏و لثم‎ une fonction ‏طلغ‎ uniformément continué. Montrer que lu
suite ‏وزو هد و‎ converge unifenmémetl.
Exercice 3
Soit 5 = (0, ‏زا[‎ l'onsmoble des fonctions continues de ]0,1: 4 valeur dans ‏لا‎ On
fl f pi 1 À
défnit sur Æ les normes suivantes : [flh = + fit, [la = ١ 1 [Ft de | 8
12 Lu j
fl sup LG f
‏لبت‎
1) Montrer que és normes ‏نومع‎ bisn ‏تستتتقفل‎ sur E.
2) Montre que ‏ها‎ norme VF] est plus fine que |, ct [fe mnt qu'elle m'eat
équivalente à aucune des deux normes( Indication : considérer le suite ‏مل‎ fonc-
tions suivante Mis} = et L
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4 Comparer [fl et ll ec montrer qu elles ‏عم‎ sont ‏قوم‎ équivalentes ) Indirs- ÿ
Sion : considérer la suite de fonctions suivante fin) - ‏لاب‎ ٠ ‏م عا‎
Exerciue 4
Caleuter les limites des Rite AUIRATITES ‏د‎
li ‏جئة‎ l ‏و‎
‏لم‎ “À
Exercice 4
Soit À une matrice varrée réelle d'ordre ‏د‎ On anpnse que la matrice À est de
Tang 1.
Li Montrer qu'ils éistent ‏يمرل‎ vecteurs net cle A de normes 1 ob up scale ‏نه‎
‎tels que À = ‏كسا و‎ | Coû ‏ار‎ est le cransposé de vecteur 1,
25 Cette écriture est-elle nique” (Justifier votre réponse)
Exercice &
Soient l'espace eucliien (4, À, 41 muni du produit scalaine meuel et P le sous-
espace ‏تايوب‎ fini par bé svstiene d'équatiiens suivant
1' Déterminer ‏ا‎ + lorkogonal de F
8 Donner une base orthonormeée de Fe une base orthonormée de ‏خط‎
41 Calculer la projection cathogonals du veoteur > ‏دح‎ (1,1,1,1) sur F,
4: Calculer la distance dé ‏قو‎ F'ei ln distance deu 4 ‏كار‎ ٍ
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