نموذج امتحان الكفاءة المهنية لولوج درجة مهندس تطبيقي رئيسي - وزارة الفلاحة والتنمية القروية والصيد البحري 2005 - الإحصاء - الاختبار الكتابي

Ce modèle est l'épreuve écrite de l'examen d'aptitude professionnelle pour l'accès au grade d'ingénieur d'application grade principal, spécialité Statistique — Ministère de l'Agriculture, du Développement Rural et des Pêches Maritimes (Direction des Ressources Humaines), session du 11 décembre 2005. Durée : 4 heures. Cinq parties : concepts (3 pts), échantillonnage (3 pts), moindres carrés (3 pts), problème de régression (6 pts), questions générales (5 pts). Voici une correction proposée.

💡 Le problème (6 points) est le plus rentable : toutes les cases étoilées se déduisent du tableau lui-même, sans calculatrice puissante. Commencez par lui si vous êtes à l'aise avec l'analyse de variance.

I — Concepts et définitions (3 points)

I-1 Quand la loi du khi-deux tend-elle vers une loi normale ?

Quand le nombre de degrés de liberté ν devient grand (en pratique ν > 30) : χ²_ν ≈ N(ν ; 2ν), conséquence du théorème central limite puisque χ²_ν est une somme de ν carrés de variables normales centrées réduites indépendantes. Une meilleure approximation (Fisher) : √(2χ²) suit approximativement N(√(2ν − 1) ; 1).

I-2 Espérance et variance du khi-deux

Pour χ² à ν degrés de liberté : E(χ²) = ν et V(χ²) = 2ν. (Chaque Z² a une espérance de 1 et une variance de E(Z⁴) − 1 = 3 − 1 = 2 ; on additionne sur ν termes indépendants.)

I-3 Pourquoi la loi normale centrée réduite Z ?

Il existe une infinité de lois normales N(μ ; σ²). En posant Z = (X − μ)/σ, toute variable normale est ramenée à une loi unique N(0 ; 1). Une seule table suffit alors pour calculer toutes les probabilités, construire les intervalles de confiance et les tests, et comparer des variables exprimées dans des unités différentes.

I-4 Fonction de densité de probabilité

Pour une variable aléatoire continue X, c'est une fonction f telle que f(x) ≥ 0 pour tout x, ∫ f(x) dx = 1 sur ℝ, et P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Elle est la dérivée de la fonction de répartition F. Une probabilité correspond à une aire sous la courbe ; P(X = a) = 0.

I-5 L'agriculteur qui attend au plus 30 minutes

Aucune durée entre 0 et 30 min n'étant privilégiée, le temps d'attente T suit une loi uniforme continue sur [0 ; 30] : densité f(t) = 1/30.

• La densité est la même pour 10, 15, 20 ou 30 minutes : il n'y a aucune différence ; en loi continue, la probabilité d'attendre exactement une durée donnée est d'ailleurs nulle.
• Les probabilités d'attendre au plus t minutes, P(T ≤ t) = t/30, valent : 10 min → 1/3 ; 15 min → 1/2 ; 20 min → 2/3 ; 30 min → 1. Tout intervalle de même longueur a la même probabilité (par exemple 5 minutes → 1/6).
• Espérance 15 min, variance 30²/12 = 75 min².

II — Échantillonnage (3 points)

II-1 Paramètres du calcul de la taille de l'échantillon

La variabilité de la variable étudiée (écart-type σ, coefficient de variation, ou proportion p), la précision souhaitée (marge d'erreur e), le niveau de confiance (z, par exemple 1,96 pour 95 %), la taille de la population N (correction pour population finie), le plan de sondage (effet de plan), le taux de non-réponse attendu et le budget. Exemple : n₀ = z²σ²/e², puis n = n₀/(1 + n₀/N).

II-2 Avantages et inconvénients de la base aréolaire

• Avantages : couverture complète du territoire (pas d'omission, contrairement à une liste d'exploitations) ; durable et réutilisable plusieurs années ; indépendante des registres administratifs ; permet des mesures objectives des superficies et des rendements ; polyvalente (cultures, occupation du sol).
• Inconvénients : coût élevé de construction (cartographie, photographies aériennes ou images satellitaires, stratification) ; travail de terrain lourd ; peu efficace pour les phénomènes rares ou concentrés (grandes exploitations, cultures rares, élevage hors-sol) et pour les variables économiques de l'exploitation ; difficulté de rattacher les parcelles aux exploitants ; segments à mettre à jour (urbanisation).

II-3 Base multiple

Utilisation conjointe de plusieurs bases de sondage, en général une base aréolaire (complète) et une base de liste (par exemple les grandes exploitations, les éleveurs importants, les unités de production spécialisées). La liste améliore l'efficacité pour les unités importantes ou rares, l'aréolaire garantit l'exhaustivité ; il faut traiter le chevauchement (unités présentes dans les deux bases) pour ne pas les compter deux fois (par exemple en retirant de l'échantillon aréolaire les unités de la liste).

II-4 Taille de l'échantillon en sondage stratifié

On fixe la taille totale n puis on la répartit entre les H strates :

• allocation proportionnelle : n_h = n·N_h/N ;
• allocation optimale de Neyman : n_h = n·N_hS_h / Σ N_kS_k (plus d'unités dans les strates grandes et hétérogènes) ; avec des coûts c_h différents : n_h ∝ N_hS_h/√c_h ;
• taille totale pour une variance cible V de la moyenne, avec l'allocation de Neyman : n = (Σ W_hS_h)² / (V + Σ W_hS_h²/N), avec W_h = N_h/N et V = (e/z)².

II-5 Tirage de l'échantillon pour le rendement objectif des céréales

Réponse probable (les modalités précises — taille des placettes, nombre de segments — dépendent du protocole de l'administration) :

1. Base de sondage : la base aréolaire (segments délimités sur photographies ou images, stratifiés selon l'occupation du sol et la part des céréales).
2. 1^er degré : tirage des segments dans chaque strate (probabilités égales ou proportionnelles à la taille).
3. 2^e degré : dans chaque segment, inventaire des parcelles de céréales (enquête superficies) et tirage des parcelles à suivre.
4. 3^e degré : dans chaque parcelle, implantation aléatoire d'une ou plusieurs placettes (carrés de rendement) de surface connue.
5. Mesures : comptages avant récolte (épis), récolte, battage et pesée du grain de la placette, mesure de l'humidité, ramenée en q/ha ; estimation par strate puis extrapolation.
6. Taille : fixée par la formule de II-1 à partir du coefficient de variation du rendement observé les années précédentes, de la précision voulue (au niveau national et régional) et du budget ; répartition entre strates par allocation proportionnelle ou de Neyman.

III — Hypothèses des moindres carrés ordinaires (3 points)

IV — Problème (6 points)

n = 11 observations, 2 paramètres (A et B).

1) Cases étoilées

Détail du calcul de A et B à partir des 11 observations :

• X̄ = 11,12 / 11 = 1,010909 ; Ȳ = 24,27 / 11 = 2,206364 (identique à la moyenne du tableau).
• S_xx = Σ(X − X̄)² = 1,274091 ; S_xy = Σ(X − X̄)(Y − Ȳ) = −0,610964.
• B = −0,610964 / 1,274091 = −0,4795 ; A = 2,206364 − (−0,4795)(1,010909) = 2,6911.
• Contrôles : SC modèle = B²·S_xx = 0,292975 ; SC erreur = 0,442055 − 0,292975 = 0,149080 ; R² = 0,292975/0,442055 = 0,663 (tableau : 0,66) ; erreur standard de B = √(0,016564/1,274091) = 0,114022 et de A = 0,121622 : on retrouve exactement les valeurs du tableau.

2) Signification des paramètres (test t, ν = 9, seuil 5 %, t_{0,975 ; 9} = 2,262)

• Constante A : t = 2,6911 / 0,121622 ≈ 22,1 > 2,262 → A significativement différente de 0.
• Pente B : t = −0,4795 / 0,114022 ≈ −4,21, |t| > 2,262 → B significative (p ≈ 0,0023). On vérifie que t² = 4,206² ≈ 17,69 = F, et la probabilité 0,0023 du tableau est donc aussi celle du test de B. Le modèle est globalement significatif (F = 17,69 > F_{0,95 ; 1 ; 9} ≈ 5,12).

3) Interprétation

• A ≈ 2,69 : nombre de caisses d'engrais par hectare prédit pour un prix nul. C'est une valeur théorique (extrapolation hors du domaine observé, prix compris entre 0,72 et 1,81 dh/kg) qui fixe le niveau de la droite.
• B ≈ −0,48 < 0 : quand le prix unitaire augmente de 1 dh/kg, l'utilisation baisse en moyenne de 0,48 caisse/ha. Le signe négatif est conforme à la loi de la demande (demande de facteur décroissante avec son prix). Élasticité au point moyen : −0,4795 × 1,0109 / 2,2064 ≈ −0,22 : demande d'engrais inélastique au prix.
• R² = 0,66 : le prix explique 66 % de la variance de l'utilisation d'engrais ; d'autres facteurs (pluviométrie, crédit, prix du produit) jouent sur le reste.

V — Questions générales (5 points)

V-1 Un cas d'usage de la loi binomiale (0,5 pt)

Test de germination : sur n graines semées, chacune germe ou non avec une probabilité p ; le nombre de graines germées suit B(n ; p). Autres exemples : nombre de plants malades sur n plants observés ; nombre d'unités défectueuses dans un échantillon prélevé sur un lot (contrôle de réception en agro-industrie).

V-2 Limite entre économie et statistique (0,5 pt)

La statistique produit et analyse les données (enquêtes, estimations, méthodes) ; l'économie interprète les comportements et les mécanismes (offre, demande, prix, revenus) et formule les politiques. L'économétrie fait le lien. Réponse attendue personnelle, illustrée par le poste du candidat.

V-3 Pourquoi le t de Student plutôt que la loi normale ? (1 pt)

Quand la variance de la population est inconnue et estimée par l'écart-type de l'échantillon s, la statistique (X̄ − μ)/(s/√n) ne suit pas une loi normale mais une loi de Student à n − 1 degrés de liberté, plus dispersée (queues plus épaisses) pour tenir compte de l'incertitude sur s. C'est décisif en petit échantillon (n < 30) ; quand n augmente, la loi de Student tend vers la loi normale. Condition : population normale.

V-4 Prix de revient et coût de production (0,5 pt)

Le coût de production regroupe les charges engagées jusqu'à l'obtention du produit (matières consommées, main-d'œuvre, charges de fabrication). Le prix de revient (coût de revient) est le coût complet du produit vendu : coût de production + coûts hors production (distribution et commercialisation, part des frais d'administration). Prix de revient ≥ coût de production.

V-5 Tests de normalité (0,5 pt)

Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov (version de Lilliefors), Anderson-Darling, Jarque-Bera (asymétrie et aplatissement), test du khi-deux d'ajustement, D'Agostino ; contrôle graphique par la droite de Henry (QQ-plot).

V-6 L'avenir des statistiques agricoles (2 pts)

Plan conseillé :

• Constats des changements : demande accrue d'information (libéralisation, accords de libre-échange, suivi des politiques et de la sécheresse), nouvelles technologies (télédétection, GPS, SIG, informatique), exigences de qualité et de rapidité.
• Évolutions attendues : bases de sondage modernisées (aréolaire et multiple) et recensements agricoles réguliers ; télédétection pour les superficies et la prévision des récoltes ; saisie électronique sur le terrain ; bases de données intégrées et SIG ; diffusion rapide (Internet) ; statistiques sur les prix, les marchés, l'environnement et l'eau ; harmonisation avec les normes internationales (FAO).
• Conditions : formation des statisticiens, moyens, coordination entre producteurs de données, culture de l'évaluation.