نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني) 2007 - الرياضيات (الصيغة العربية)

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات في مباراة ولوج كلية الطب بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني)، دورة 2007. عدد الأسئلة: 6 (دراسة دالة أسية جذرية، نهايات، فلكة ومستويات، متتالية، جداء سلمي في رباعي أوجه منتظم، احتمالات). ما يلي تصحيح مقترح مع الخطوات.

💡 في سؤال اختيار الاقتراحات الصحيحة، احسب المشتقة وجذورها أولاً، ثم قارن مجالات الاقتراحات بجدول الإشارة: كثيراً ما يكون الفرق في حدّ واحد للمجال.

I) الدالة f(x) = e−x/(2x(1 − x))

1. Df = ℝ \ {0, 1} = ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[.
2. النهايات:
   • limx→−∞ f(x) = −∞: البسط يؤول إلى +∞ والمقام 2x(1−x) يؤول إلى −∞، والأسية تغلب الحدودية.
   • limx→+∞ f(x) = 0 (بقيم سالبة): البسط يؤول إلى 0 والمقام إلى −∞.
   • limx→0⁻ f(x) = −∞ و limx→0⁺ f(x) = +∞ (البسط يؤول إلى 1، و 2x(1−x) له إشارة x).
   • limx→1⁻ f(x) = +∞ و limx→1⁺ f(x) = −∞ (البسط يؤول إلى e−1، و 1 − x يغيّر إشارته).
3. المقاربات:
   • المقاربات المائلة: لا توجد.
   • المقاربات العمودية: x = 0 و x = 1.
   • المقاربات الأفقية: y = 0 بجوار +∞.
   • الاتجاهات المقاربة: بجوار −∞، f(x)/x = e−x/(2x²(1−x)) → +∞ ⇐ فرع شلجمي في اتجاه محور الأراتيب.
4. تغيرات f: f'(x) = e−x·(x² + x − 1)/(2x²(1 − x)²)، إشارتها إشارة x² + x − 1 التي تنعدم في x1 = (−1 − √5)/2 ≈ −1,62 و x2 = (−1 + √5)/2 ≈ 0,62.
   f تزايدية على ]−∞, x1]، تناقصية على [x1, 0[ وعلى ]0, x2]، وتزايدية على [x2, 1[ وعلى ]1, +∞[.
   • a صحيح: ]−∞, −1 − √5[ (≈ ]−∞, −3,24[) محتوى في مجال التزايد ]−∞, x1].
   • b خطأ كما هو مطبوع: على [−1 − √5, x1] الدالة تزايدية. إجابة مرجّحة: يبدو أن الحد المقصود هو (−1 − √5)/2 (سقط الكسر في الطبع)، وفي هذه الحالة يصبح a و b صحيحين معاً.
   • c صحيح: f تزايدية على ]1, +∞[.
   • d خطأ: f''(x) = e−x(x⁴ + 2x³ + x² − 4x + 2)/(2x³(1 − x)³)، والحدودية في البسط لا تنعدم على ℝ (موجبة دائماً)، فإشارة f'' لا تتغيّر إلا عند 0 و 1، وهما خارج D_f ⇐ لا توجد نقط انعطاف.
   • e خطأ: f' تنعدم في x₁ و x₂.

II) النهايات

• limx→+∞ e−x(4 + 3ln x) = lim (4 + 3ln x)/ex = 0 (الأسية تغلب اللوغاريتم).
• limx→+∞ (2x·ln x − x + 2) = lim [x(2ln x − 1) + 2] = +∞.
• عند 2 البسط والمقام ينعدمان: x³ − 2x² + x/2 − 1 = (x − 2)(x² + 1/2) و 3(x² − x − 2) = 3(x − 2)(x + 1)، إذن limx→2 = (4 + 1/2)/(3 × 3) = 1/2.
• √(2x² + 1) − √(2x²) = 1/(√(2x² + 1) + √(2x²)) → 0 (الضرب في المرافق).

III) الفلكة والمستويات

1. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 4)² = 1 + 4 + 16 − 12 = 9 ⇐ E فلكة مركزها Ω(1, −2, 4) وشعاعها R = 3.
2. d(Ω, P1) = |1 + 4 + 8 − 1|/√(1 + 4 + 4) = 12/3 = 4 > 3 ⇐ تقاطع E و P₁ هو المجموعة الفارغة.
3. الإجابة: b و d.
   • d(Ω, P2) = |2 − 2 + 8 − 17|/3 = 9/3 = 3 = R ⇐ P₂ مماس للفلكة (b صحيح، a خطأ)، ونقطة التماس H(3, −1, 6).
   • d(Ω, P3) = |3 − 8|/√(9 + 4) = 5/√13 ≈ 1,39 < 3 ⇐ P₃ يقطع الفلكة وفق دائرة (d صحيح، c خطأ).

IV) المتتالية Un+1 = Un/3 − 5، U0 = 0

1. Wn+1 = Un+1 + 15/2 = Un/3 + 5/2 = (1/3)(Un + 15/2) = (1/3)·Wn ⇐ (W_n) متتالية هندسية أساسها 1/3 وحدها الأول W0 = 15/2.
2. Wn = (15/2)·(1/3)n و Un = (15/2)·(1/3)n − 15/2 (ومنه lim Un = −15/2).

V) الجداءات السلمية في رباعي الأوجه المنتظم (الضلع 4)

كل الأوجه مثلثات متساوية الأضلاع، فالزاوية بين ضلعين متقاطعين 60°، و AB·AC = AB·AD = AC·AD = 4 × 4 × cos 60° = 8.

• AB·AC = 8.
• AI·BC = 0: في المثلث المتساوي الأضلاع ABC، المتوسط [AI] هو أيضاً ارتفاع.
• IK = AK − AI = AD/2 − (AB + AC)/2 ⇐ IK·AD = 16/2 − (8 + 8)/2 ⇐ IK·AD = 0.
• BK = AD/2 − AB و CD = AD − AC ⇐ BK·CD = 16/2 − 8/2 − 8 + 8 ⇐ BK·CD = 4.

(نتائج متحقق منها بإحداثيات رباعي أوجه منتظم.)

VI) الاحتمالات: 6 أغلفة (4 جبر، 2 هندسة)، سحب 4 أغلفة بالتتابع وبدون إحلال

1. الترتيب «جبر، جبر، جبر، ثم هندسة»: P1 = (4/6)(3/5)(2/4)(2/3) = 2/15.
2. «تمرين واحد بالضبط في الهندسة» خلال السحبات الأربع (أي ترتيب): P2 = C21·C43/C64 = (2 × 4)/15 ⇐ P2 = 8/15.
3. الترتيب «هندسة، هندسة، ثم جبر، جبر»: P3 = (2/6)(1/5)(4/4)(3/3) = 1/15.