نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني) 2004 - الرياضيات (الصيغة العربية)

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات (الصيغة العربية) لمباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني)، دورة 2004. الاختبار على شكل أسئلة متعددة الاختيارات: يُطلب وضع دائرة حول الاقتراح أو الاقتراحات الصحيحة، والاقتراح E «جواب آخر» يُختار حين لا يكون أي اقتراح صحيحا. المحاور: متتالية هندسية، معادلة من الدرجة الثالثة في ℂ، الهندسة الفضائية، الاحتمالات، ودراسة دالة وتكامل.

💡 انتبه إلى الاقتراح E: في هذا الاختبار سؤالان على الأقل جوابهما «جواب آخر». تحقق دائما من الاقتراح بالتعويض (مثلا: هل تحقق النقطة A معادلة المستوى؟) قبل أن تختار.

I) المتتالية الهندسية: u₁ = 16 و u₄ = 2

1. الجواب: B — q = 1/2. لدينا u₄ = u₁·q³، إذن q³ = 2/16 = 1/8، ومنه q = 1/2.
2. الجواب: D — 32. بما أن 0 < q < 1 فإن S_n = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) تؤول إلى u₁/(1 − q) = 16/(1/2) = 32.

II) المعادلة z³ + (2 − i)z² + (1 + i)z + 6i + 2 = 0 في ℂ

1. الجواب: C — z₁ = −2. بالتعويض: (−8) + (2 − i)·4 + (1 + i)(−2) + 6i + 2 = −8 + 8 − 4i − 2 − 2i + 6i + 2 = 0. (للتحقق: z = −1 يعطي 2 + 4i ≠ 0، و z = 1 و z = 2 لا يعدمان الجزء الحقيقي.)
2. الجواب: C — z₂ = 2i − 1 و z₃ = −i + 1. نُعمِّل: z³ + (2 − i)z² + (1 + i)z + 2 + 6i = (z + 2)(z² − iz + 1 + 3i).
   مميز المعادلة z² − iz + 1 + 3i = 0 هو Δ = (−i)² − 4(1 + 3i) = −5 − 12i = (2 − 3i)².
   إذن z = (i ± (2 − 3i))/2، أي z = 1 − i أو z = −1 + 2i.

III) المستوى (P) المار من A(2, 1, −1) والمتجهة المنظمية n(1, −2, −2)

1. الجواب: E — جواب آخر: x − 2y − 2z − 2 = 0. معادلة (P) من الشكل x − 2y − 2z + d = 0، و A ∈ (P) تعطي 2 − 2 + 2 + d = 0، أي d = −2. الاقتراح B (x − 2y − 2z + 2 = 0) له المتجهة المنظمية الصحيحة لكنه لا يمر من A (2 − 2 + 2 + 2 = 4 ≠ 0)، والاقتراحات A وC وD لها متجهة منظمية (2, 1, −1) غير مستقيمية مع n.
2. الجواب: C — 1. d(B, (P)) = |−1 − 2(−1) − 2(1) − 2| / √(1 + 4 + 4) = |−1 + 2 − 2 − 2| / 3 = 3/3 = 1.

IV) الاحتمالات: الممرضة والمريضان

الجواب: E — جواب آخر: 0,56. الحدثان مستقلان. احتمال عدم التدخل قرب المريض الأول 1 − 0,2 = 0,8، وقرب الثاني 1 − 0,3 = 0,7. إذن احتمال عدم تدخل الممرضة خلال الساعة هو 0,8 × 0,7 = 0,56. (القيمة 0,44 هي احتمال تدخلها مرة واحدة على الأقل، و0,06 احتمال تدخلها قرب المريضين معا.)

V) الدالة f(x) = x − x ln|x|

1. الجواب: D — ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[. الدالة ln|x| معرفة إذا وفقط إذا كان x ≠ 0.
2. الجواب: C — −∞. f(x) = x(1 − ln x) على ]0, +∞[، و 1 − ln x → −∞، إذن f(x) → −∞.
3. الجواب: B — 0. نعلم أن x ln|x| → 0 عندما x → 0، إذن f(x) → 0 − 0 = 0.
4. الجواب: D — على ]0, +∞[ : f'(x) = −ln x. لكل x ≠ 0 : f'(x) = 1 − (ln|x| + x·(1/x)) = −ln|x|. على ]0, +∞[ نحصل على −ln x. الاقتراح C خاطئ لأن ln x غير معرف على ]−∞, 0[ (الصحيح هناك f'(x) = −ln(−x))، والاقتراحان A وB خاطئان أيضا.
5. الجواب: C — y = −x + e. f(e) = e − e·1 = 0 و f'(e) = −ln e = −1، إذن y = −1·(x − e) + 0 = −x + e.
6. الجوابان الصحيحان: B و D.
   • A خاطئ: على ]1, +∞[ لدينا ln x > 0 إذن f'(x) < 0.
   • B صحيح: على ]0, 1[ لدينا ln x < 0 إذن f'(x) > 0، فالدالة تزايدية.
   • C خاطئ: f تناقصية على ]1, +∞[.
   • D صحيح: f(x)/x = 1 − ln|x| → −∞ عندما x → ±∞، إذن المنحنى يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الأراتيب.
   • E خاطئ: f(−x) = −x + x ln|x| = −f(x)، فالدالة فردية ومنحناها متماثل بالنسبة لأصل المعلم، وليس بالنسبة للمستقيم x = 0.
7. الجواب: D — (e² + 1)/4. بمكاملة بالأجزاء: u = ln x، v' = x، إذن u' = 1/x، v = x²/2.
   ∫₁^e x ln x dx = [ (x²/2) ln x ]₁^e − ∫₁^e x/2 dx = e²/2 − [x²/4]₁^e = e²/2 − e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4.