نموذج المباراة الوطنية لولوج مدارس التدبير CNAEM 2017 - الشعبة الاقتصادية والتجارية - الخيار التكنولوجي ECT - الرياضيات
باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة طالب - الأقسام التحضيرية الاقتصادية والتجارية لدى وزارة التعليم العالي - المدارس الوطنية للتجارة والتسيير ENCG (المباراة الوطنية لولوج مدارس التدبير CNAEM) (17 ماي 2017)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- وزارة التعليم العالي - المدارس الوطنية للتجارة والتسيير ENCG (المباراة الوطنية لولوج مدارس التدبير CNAEM)
- الدرجة
- طالب - الأقسام التحضيرية الاقتصادية والتجارية
- التخصص
- الرياضيات
- الدورة
- 17 ماي 2017
- عدد الصفحات
- 5
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.
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مح «7 Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des
VIF ou aug انرس Cadres
pme URI VAE) PRESIDENCE DU CNAEM 2017
CONCOURS NATIONAL D’ACCES AUX ECOLES DE 1 |
CNAEM 2017 0
Filière : ECT
Epreuve de : Mathématiques
Date : Mercredi 17 Mai 2017
Heure : 8H à 12H
Durée : 4H
Notes à lire par le candidat
٠ Chaque candidat n’a droit qu’à un seul « cahier d’épreuve ».
e Le candidat doit écrire son nom de famille, prénom, centre et
numéro d’examen dans la partie réservée à ceci en haut de la
1ère page du cahier d’épreuve, avant de commencer à rédiger,
pour valider sa feuille de composition.
٠ L'usage de toute machine (calculatrice, traductrice, etc.) ou
dictionnaire est strictement interdit.
٠ Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler
être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a été amené à prendre.
EP م
ENCG- Marrakech Av.Allal El 72351, 3748, Amerchich, Marrakech.
Tèl : 0524.30.46.92, Fax : 0524.30.83.97, Email : encgfencg.ucam.ac.ma
WWW 606060 110230 AC MA
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECT
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière ECT,
comporte 4 pages.
L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et lu précision
des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les [références | des questions abordées.
Si. au cours de l'épreuve. un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ‘il est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé de deux exercices et d'un problème indépendants entre eux.
: Exercice 1
À propos de la loi exponentielle
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre À > 0; on rappelle que sa
77 ار م J 67 six >0;
densité f est définie par : f(x) = { 0 dique Us
1. Calculer son espérance E(X) et sa variance V(X).
2. Déterminer sa fonction de répartition notée F.
3. On considère la variable aléatoire Y = 1+ ,زلا où [a] désigne la partie entière du réel a. Montrer
que Y est presque sûrement à valeurs dans N°, c-a-d P(Y > 0) = 0, et que, pour tout ke N°,
P(Y = k) = (1- e7*)je- 8-1), Reconnaître la loi de Y.
Dans la suite de l'exercice, on considère deux variables aléatoires X1 et X2 indépendantes et
suivant la même loi que À avec À = 1.
4. On considère la variable aléatoire Z = max(X1, X2).
4.1. Vérifier que, pour tout ER, {Z <r} = {Xi<z}N{X2<c}.
4.2. Déterminer la fonction de répartition F7 de la variable aléatoire Z ainsi qu'une densité de Z.
4.3. Calculer l'espérance E(Z) de la variable aléatoire Z.
5. On considère la variable aléatoire T = min(X1, A2).
5.1. Exprimer la variable aléatoire Z + T en fonction de X1 et X2.
5.2. En déduire l'espérance E(T) de la variable aléatoire T.
Exercice 2
Étude d’une suite récurrente
Dans cet exercice, g désigne la fonction définie sur R par :
VER, gx)=; (35° — 2(c + d)z + cd + +ع)2 d))
On considère la suite réelle (un }nen définie par la donnée de من = À € R et la relation de récurrence
زجوملا = Jun), n EN.
1. Dans cette question, on suppose que c = d = 0.
1.1. Que peut-on dire de la suite (us)nen si À = 0?
Dans lu suite de cette question, on suppose que À # 0.
1.2. Montrer que u, > 0 pour tout entier naturel nr > 1.
On pose w, = Inu, pour tout entier naturel n > 1, où In désigne le logarithme népérien.
Épreuve de Mathématiques 1/4 Tournez la page S.V.P.
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management Session 2017 - ECT
— Concours National d'Accès aux Écoles de Managem - Se
1.3. Pour tout entier naturel n > ٠١ exprimer رس en fonction de n ct de À. On pourra commencer
par exprimer ررض en fonction de y.
1.4. En déduire une expression de ويد en fonction de يب et de À, pour tout entier naturel n 2 1.
1.5. Discuter. selon les valeurs du réel À, la convergence de la suite (ua)nen et préciser sa limite le
cas échéant.
2. Dans cette question, on suppose que € = d = 2.
2.1. Montrer que si la suite (us) Len converge alors sa limite est égale à 2.
2.2. On snppose que À > 2. Montrer que la suite (w,),er est strictement croissante ct qu'elle
diverge vers +oc.
2.3. Montrer qu'il existe deux réels يل et A2, avec يول > ايل tels que ري = 2 si, et seulement si,
2.4. On suppose que À .]مض برا Montrer que la suite (un)4en converge et préciser sa limite.
2.5. On suppose que À > را Montrer que la suite (ua),en diverge vers م
2.6. Un premier calcul avec Scilab
On prend ici À = 1. Recopier et compléter le programme Scilab ci-dessous pour qu'il calcule
et affiche le terme يرن pour unc valeur de nr entrée au clavier.
n=input(’entrer la valeur de n’)
علا sue
for k=1:n
end
disp(u)
2.7. Un deuxième calcul avec Scilab
On prend À = 1 ct on saisie le code suivant :
while u<=1,9999
u= (3*u*u-8*u+12)/4
n=n+i
end
disp(n)
Après exécution, quelle est la signification du résultat affiché par ce programme ?
4. Dans cette question, on suppose que > 4 > 2.
4.1. Soit P l'application polynomiale définie par : P(x) = 3x?-2(2+c+d)x+cd+2(c+d), x ER.
Préciser les valeurs de P(c), P(d) et P(2) puis déterminer leur signe.
4.2. On suppose que la suite (us)hen converge vers une limite £. Montrer que c < 4 > d ou bien
Problème
On considère les matrices réelles carrées d'ordre 3 suivantes :
0 À ? 3 0 1 1 1 1 1 0 ©
A=10 0 5}, 2ادط 1 1 | 9-7-8 10 1 ct T= 0 -} 6 :
1 } 0 4 -1 -2 6 -3 -3 0 0 -;
1ère Partie
Détermination d’un polynôme annulateur de la matrice À
——————_—————]_]_] حتت ل 4ب سإ
Epreuve de Mathématiques 2/4 بت
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5 ———— Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECT
«Li , 08
7 1.1. Recherche d'un polynôme annulateur de la matrice A
A 1.1.1. Calculer 42 puis A,
1.1.2. Vérifier que 4AŸ = 3A + J, où Z est la matrice identité d'ordre 3.
1.1.3. En déduire un polynôme de degré 3 annulateur de la matrice À.
1.2. Étude des racines d’un polynôme
On considère l'application polynomiale R définie par : R(r) = ع4 -3r - 1, م 61
1.2.1. Vérilier que 1 est racine de A.
1.2.2. Montrer que, pour tout réel x, Rx) = (x — 1()2 + 1)?.
1.2.3. En déduire que — 3 est racine de 2.
1.3. Quelles sont les valcurs propres possibles de la matrice À? Justifier votre réponse.
2ème Partie
Réduction de la matrice À et calcul de ses puissances
2.1. Valeurs propres de la matrice À
2.1.1. Vérifier que les vecteurs Vi = 0 et VW = | 1 sont des vecteurs propres de la matrice À
ct préciser les valeurs propres aux quelles ils sont respectivement associé.
2.1.2. Préciser alors les valeurs propres de la matrice À.
2.2. Inversibilité et inverse de P
2.2.1. Calculer le produit matriciel PQ.
2.2.2. En déduire que la matrice P est inversible et préciser son inverse 2-1
2.3. Relation entre les puissances des matrices À et T
2.3.1. Calculer les produits matricicls PT ct AP.
2.3.2. Montrer. pour tout entier naturel k > 1, l'égalité AK = 27م
2.4. Calcul des puissances des matrices À et T
2.4.1. En faisant un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout entier naturel k > 1,
1 0 0
k — ١٠# pf-1)f
T=|0 (&) 4) |:
2.4.2. En déduire que, pour tout entier naturel م > 1,
1% -1\# —1\#
» 3+6(+) k 3-3() k 3-3(+) 1
“(ل0-3«)3])+2 “ز(لو)(2+6-)+4-7|2 2-(2+8k)(5) |.
-١# =INE 11
4+ (12 — 18k) (5) 4 + (—24 + 9k) (5) 4+(3+9k) (5)
3ème Partie
Application à l’étude d’une marche aléatoire sur le net
Ou considère le graphe ci-dessous modélisant un internet simplifié constitué de trois pages (ou sites)
placées en ses sommets. Les arrêtes du graphe représentent les liens entres ces trois pages. L'algorithme
du « Page Rank > consiste à surfer au hasard sur internet et à compter le nombre de fois qu'on passe sur
chacune de ses pages en fonction du temps. الله
Figure 1 : Schéma du graphe.
Epreuve de Mathématiques 3/4 Tournez la page S.V.P.
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___________ Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2017 - ECT
Dans ce graphe, la page 1 possède un lien vers la page 3 mais n'a aucun lien vers la page 2; la page
2 possède un lien vers la page 1 et un vers la page 3: la page 3 possède un lien vers la page 1 et un vers
la page 2.
Dans la suite de ce problème, on adopte les notations et les hypothèses suivantes où د désigne un
entier naturel et à, j des éléments de l'ensemble {1, 2,3} :
>” (7)مم désigne la probabilité que l'internaute soit sur la page 3 à l'instant t =n;
Ÿ pig désigne la probabilité de se trouver sur la page i à l'instant ع = n + 1 sachant qu’on était sur
la page 7 à l'instant 4 ب
+ An() désigne l'événement ”’être sur la page j à l'instant + = بج
Jon suppose que les événement An(1), An(2) et An(3) ont chacun une probabilité non nulle;
+ on fait l’hypothèse qu’une page a une probabilité nulle de pointer sur elle même, c'est-à-dire que
pis = 0 pour tout 2 € {1.2.3};
> 0ه suppose aussi qu'il y & équiprobabilité entre les liens d’une page ; ainsi, comme la page 2 pointe
sur deux pages, la probabilité p1,2 d'aller de la page 2 vers la page 1 vaut 3 , de même p3,2 = 3.
0 7 8
+7 on considère la matrice B = |p21 0 يوم | dite matrice de transition dont le schéma de la
psa à 0 -
figure 1 ci-dessus s'appelle graphe.
3.1. Compléter la matrice B en précisant les valeurs des réels قرط P2,1, 22,3 et P3,1.
3.2. Pour j € {1. 2,3}, calculer la somme ريم + P2,; + P3,5 en justifiant votre réponse.
3.3. Montrer que, pour tout entier naturel ñn, جوم (1) = p11Pn(1) + P1,2Pn(2) + P1,3Pn(3) en précisant le
théorème utilisé.
3.4. Donner, sans démonstration, les expressions de يبوم (2) et de رجو )3( en fonction de p:(1), Pn(2) et
de pn(3).
3.5. Pour tout entier naturel n, on note X, la matrice réelle à trois lignes et une colonne définie par :
Pn(1)
Xn = | Pn(2) |.
3.5.1. Vérifier que, pour tout entier naturel n, يج = AXn.
3.5.2. Montrer que, pour tout entier naturel n > 1, ول = A°X0.
3.5.3. En déduire, pour tout entier naturel n > 1, les valeur des probabilités pa(1), Pn(2) et pn(3) en
fonction de n et des probabilités po(1), po(2) et po(3).
3.6. Étude des suites نم ((ثامة) pour j € {1,2,3} |
3.6.1. Préciser les limites des suites ((31)"),en et روم( (لج))
3.6.2. Préciser la valeur de la somme po(1) + po(2) + po(3) en justifiant votre réponse.
3.6.3. Déterminer les limites des suites ((1)م2) en (pa (2))sen et (Pn(3)),en qu'on notera respecti-
vermnent £1, {2 et £3.
3.7. Comparaison de la popularité des trois sites
3.7.1. Déduire de ce qui précède l'ordre des trois sites du plus visité au moins visité au fil du temps.
3.7.2. Que représente le vecteur | £ | pour la matrice de transition ?
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques 4/4 FIN
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✅ التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du Concours National d'Accès aux Écoles de Management (CNAEM), session 2017, filière ECT, du mercredi 17 mai 2017, de 8 h à 12 h. Durée : 4 heures, calculatrice interdite. Deux exercices (loi exponentielle ; suite récurrente un+1 = g(un)) et un problème (réduction d'une matrice 3×3 et marche aléatoire de type « PageRank »). Voici une correction proposée.
💡 Attention : la formule de Ak imprimée en 2.4.2 contient une erreur sur sa troisième ligne (pour k = 1 elle ne redonne pas A). Le règlement de l'épreuve demande de signaler l'erreur sur la copie et de poursuivre avec la formule corrigée : c'est exactement ce qui est fait ci-dessous.
Exercice 1 — Loi exponentielle
- Par intégration par parties : E(X) = 1/λ, E(X²) = 2/λ², V(X) = 1/λ².
- F(x) = 0 si x ≤ 0, F(x) = 1 − e−λx si x > 0.
- ⌊X⌋ ≥ 0 dès que X ≥ 0, donc Y ≥ 1 et P(Y ≤ 0) ≤ P(X < 0) = 0. Pour k ∈ ℕ*, [Y = k] = [k − 1 ≤ X < k], donc P(Y = k) = F(k) − F(k − 1) = e−λ(k−1) − e−λk = (1 − e−λ)e−λ(k−1) (X à densité : P(X = k − 1) = 0). Y suit la loi géométrique de paramètre p = 1 − e−λ.
- λ = 1.
4.1. max(X1, X2) ≤ x ⇔ X1 ≤ x et X2 ≤ x.
4.2. Par indépendance, FZ(x) = F(x)² : FZ(x) = (1 − e−x)² pour x > 0, 0 sinon. FZ continue, C¹ sauf en 0 : densité fZ(x) = 2e−x(1 − e−x) = 2e−x − 2e−2x pour x > 0, 0 sinon.
4.3. E(Z) = 2∫0+∞ xe−xdx − 2∫0+∞ xe−2xdx = 2·1 − 2·(1/4) = 3/2. - 5.1. Le max et le min sont les deux valeurs X1, X2 : Z + T = X1 + X2.
5.2. E(T) = E(X1) + E(X2) − E(Z) = 2 − 3/2 = 1/2.
Exercice 2 — Suite récurrente
Remarque utile : g(x) − x = P(x)/4 avec P le polynôme de la question 4.
1. c = d = 0 : g(x) = 3x²/4.
1.1. Si λ = 0, un = 0 pour tout n : suite constante nulle.
1.2. u1 = 3λ²/4 > 0 ; si un > 0, un+1 = 3un²/4 > 0.
1.3. wn+1 = ln(3/4) + 2wn, soit wn+1 + ln(3/4) = 2(wn + ln(3/4)) : suite géométrique de raison 2. Avec
w1 + ln(3/4) = ln(3λ²/4) + ln(3/4) = ln(9λ²/16) :
wn = 2n−1 ln(9λ²/16) − ln(3/4).
1.4. un = ewn = (4/3)(9λ²/16)2n−1 = (4/3)(3|λ|/4)2n (contrôle n = 1 : 3λ²/4).
1.5. Si |λ| < 4/3 (y compris λ = 0) : un → 0 ; si |λ| = 4/3 : un = 4/3 pour n ≥ 1, limite 4/3 ;
si |λ| > 4/3 : un → +∞ (divergente).
2. c = d = 2 : g(x) = (3x² − 8x + 12)/4 et g(x) − x = 3(x − 2)²/4 ≥ 0 : la suite est toujours croissante.
2.1. g est continue : si un → ℓ, alors g(ℓ) = ℓ, soit 3(ℓ − 2)² = 0, ℓ = 2.
2.2. Par récurrence un ≥ λ > 2, donc un+1 − un = 3(un − 2)²/4 > 0 : strictement croissante. Si elle
convergeait, sa limite serait ≥ λ > 2, contredisant 2.1 ; croissante et non convergente, elle diverge vers +∞.
2.3. u1 = 2 ⇔ 3λ² − 8λ + 12 = 8 ⇔ 3λ² − 8λ + 4 = 0 ⇔ λ ∈ {2/3 ; 2} : λ1 = 2/3, λ2 = 2.
2.4. Pour λ ∈ ]2/3, 2[, 3λ² − 8λ + 4 < 0 donc u1 = g(λ) < 2 ; de plus g atteint son minimum en 4/3 avec g(4/3) = 5/3, donc
u1 ∈ [5/3, 2[. g est croissante sur [4/3, +∞[ et g(x) < 2 pour x ∈ ]2/3, 2[ : par récurrence un ∈ [5/3, 2[ pour n ≥ 1.
Croissante et majorée par 2, la suite converge, et sa limite est 2 (2.1).
2.5. Pour λ < 2/3, 3λ² − 8λ + 4 > 0, donc u1 > 2 : à partir du rang 1 on est dans la situation de 2.2, et
un → +∞.
2.6. Programme :
n=input('entrer la valeur de n')
u=1
for k=1:n
u=(3*u^2-8*u+12)/4
end
disp(u)
2.7. Avec λ = 1 ∈ ]2/3, 2[, la suite croît vers 2. Le programme affiche le plus petit entier n tel que un > 1,9999,
c'est-à-dire le premier rang à partir duquel un approche 2 à moins de 10−4 (la suite étant croissante, tous les termes
suivants le font aussi). En Scilab il faut écrire 1.9999 avec un point. La convergence est lente (point fixe double) :
l'exécution affiche n = 13 322.
4. c < d < 2 (l'énoncé passe de la question 2 à la question 4).
4.1. Après simplification : P(c) = (c − 2)(c − d) > 0 (produit de deux négatifs), P(d) = (d − 2)(d − c) < 0,
P(2) = (2 − c)(2 − d) > 0.
4.2. Si un → ℓ, g(ℓ) = ℓ, soit P(ℓ) = 4(g(ℓ) − ℓ) = 0. P est un trinôme ; par le théorème des valeurs intermédiaires il a une racine
dans ]c, d[ et une dans ]d, 2[, et ce sont ses deux seules racines. Donc c < ℓ < d ou d < ℓ < 2.
Problème
1re partie — Polynôme annulateur
1.1.1. A² = (1/2 1/4 1/4 ; 1/2 1/4 0 ; 0 1/2 3/4) et A³ = (1/4 3/8 3/8 ; 0 1/4 3/8 ; 3/4 3/8 1/4).
1.1.2. 4A³ = (1 3/2 3/2 ; 0 1 3/2 ; 3 3/2 1) = 3A + I.
1.1.3. R(X) = 4X³ − 3X − 1 est annulateur de A.
1.2.1. R(1) = 4 − 3 − 1 = 0.
1.2.2. (x − 1)(2x + 1)² = (x − 1)(4x² + 4x + 1) = 4x³ − 3x − 1.
1.2.3. R(−1/2) = (−3/2)·0 = 0.
1.3. Toute valeur propre est racine d'un polynôme annulateur : Sp(A) ⊂ {1, −1/2}.
2e partie — Réduction et puissances
2.1.1. AV1 = (1 + 2, 2, 3 + 1) = V1 : valeur propre 1 ; AV2 = (0, −1/2, 1/2) = −(1/2)V2 : valeur propre −1/2.
2.1.2. Sp(A) = {1, −1/2}.
2.2.1. PQ = I3. 2.2.2. P est inversible et P−1 = Q.
2.3.1. PT = AP = (3 0 −1/2 ; 2 −1/2 −1 ; 4 1/2 3/2).
2.3.2. A = PTP−1 ; récurrence : Ak+1 = PTkP−1PTP−1 = PTk+1P−1.
2.4.1. Vrai pour k = 1. Si Tk a la forme annoncée, le coefficient (2,3) de Tk+1 = TkT vaut
(−1/2)k(−1/2) + k(−1/2)k(−1/2) = (k + 1)(−1/2)k+1, les autres sont immédiats.
2.4.2. Ak = PTkQ. En notant r = −1/2, le calcul donne :
| (1/9) × | 3 + 6rk | 3 − 3rk | 3 − 3rk |
| 2 + (−2 + 6k)rk | 2 + (7 − 3k)rk | 2 − (2 + 3k)rk | |
| 4 − (4 + 6k)rk | 4 + (−4 + 3k)rk | 4 + (5 + 3k)rk |
Les deux premières lignes sont celles de l'énoncé ; la troisième ligne imprimée est erronée (pour k = 1 elle donne 7/9, 23/18, −2/9 au lieu de 1, 1/2, 0). Contrôle de la ligne corrigée : k = 1 donne (1, 1/2, 0), et chaque colonne a une somme égale à 1.
3e partie — Marche aléatoire
3.1. De la page 1 on ne peut aller qu'en 3 : p3,1 = 1, p2,1 = 0 ; de la page 3 on va en 1 ou en 2 avec
équiprobabilité : p1,3 = p2,3 = 1/2. Ainsi B = A.
3.2. p1,j + p2,j + p3,j = 1 : depuis la page j, l'internaute est sûrement sur l'une des trois pages à l'instant
suivant (probabilités conditionnelles d'un système complet).
3.3. Formule des probabilités totales avec le système complet (An(1), An(2), An(3)), de probabilités non nulles :
pn+1(1) = Σj PAn(j)(An+1(1))P(An(j)) = p1,1pn(1) + p1,2pn(2) + p1,3pn(3).
3.4. pn+1(2) = (1/2)pn(3) ; pn+1(3) = pn(1) + (1/2)pn(2) (et pn+1(1) = (1/2)pn(2) + (1/2)pn(3)).
3.5.1. Ces trois relations s'écrivent Xn+1 = BXn = AXn.
3.5.2. Récurrence immédiate : Xn+1 = A·AnX0.
3.5.3. Avec a = p0(1), b = p0(2), c = p0(3), a + b + c = 1, et r = −1/2 :
pn(1) = 1/3 + (a − 1/3)rn ;
pn(2) = 2/9 + [(6n − 2)a + (7 − 3n)b − (2 + 3n)c] rn/9 ;
pn(3) = 4/9 + [−(4 + 6n)a + (3n − 4)b + (5 + 3n)c] rn/9.
3.6.1. |−1/2| < 1 : (−1/2)n → 0, et n(−1/2)n → 0 (croissances comparées).
3.6.2. p0(1) + p0(2) + p0(3) = 1 : à l'instant 0 l'internaute est sur l'une des trois pages (système complet).
3.6.3. ℓ1 = 1/3, ℓ2 = 2/9, ℓ3 = 4/9, quelle que soit la position de départ.
3.7.1. 4/9 > 3/9 > 2/9 : du plus visité au moins visité, page 3, puis page 1, puis page 2.
3.7.2. (ℓ1, ℓ2, ℓ3) = V1/9 est le vecteur propre de B associé à la valeur propre 1 dont la somme des coordonnées vaut 1 :
c'est la loi stationnaire (invariante) de la chaîne, BL = L, qui donne le classement « PageRank » des pages.
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المصدر: وثائق منشورة للعموم (Scribd / alloschool)
