نموذج المباراة الوطنية لولوج مدارس التدبير CNAEM 2024 - الشعبة الاقتصادية والتجارية - الخيار التكنولوجي ECT - الرياضيات

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"1:1 ‏مالل جائعة شعيب‎ 1116 sé ‏المملكة المغربية‎
FOALLI 16:76 //85“ HE ‏+لاماءة‎ 1 66154 tm ‏رم‎ FEAT) ‏المدرسة الوطنية للتجارة والتسيير - الجديدة وزارة التعليم العالي‎
‏د فلتت‎ ER ‏وابحد العم وز‎ 1850101450 63/58 ar
‏الشالششكةا سح ب وبري بلاج ب وج‎ ECOLE NATIONALE DE COMMERCE ET DE GESTION
Université Chouaib Doukkall
Concours National d'Accès aux Ecoles de Management - Présidence du CNAEM 2024
CALKLLO clC8 ١ SRCCE © ‏المعاة+‎ | SOLISAAS —-+1OOLXH+ | CNAEM 2024
Filière : ECT
Epreuve de : Mathématiques
Durée : 4 heures
Consignes
L’usage de tout appareil électronique, y compris la
calculatrice, est interdit.
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette
page de garde.
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‏م‎ Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - ECT
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière ECT,
comporte 4 pages.
L'usage de tout appareil électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision
des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.
Si. au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants à traiter dans l'ordre souhaité.
Exercice
Du calcul matriciel dans M(R)
Dans cet exercice, M2(R) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. La
matrice identité de M2(R) est notée 12.
On considère les matrices appartenant à M2(R) suivantes :
2 1 1 1 2 -1 -1 1 _f3 0
À ; | 2 1 2 -1
1.1. Vérifier que la matrice P, est inversible et que /5 = À 1“
1.2. Vérifier que 0 = ‏ما ره رط‎ puis montrer par récurrence que, pour tout entier naturel k,
35 ls
0 = Pi 6 à) Fr; 2
m ‏ب‎ 2 Al
1.3. Pour tout entier m € N et tout réel ‏ا‎ on pose En(t) = >, CE ‏10ج‎ LC 1
> 50 k! 2 m!
: Lp.(umtt) 0 ba
1.3.1. Montrer que, pour tout entier m € N et tout réel t, En(t) = P; 0 üm(t) 7, avec
807 (4t)*
üm(t) = >, ‏ات‎ et vm(t) = 5. D :
k=0 k=0
; __{ 2um(t) —vm(t) vmt) — Umt)
1.3.2. En déduire que, pour tout (m,t)EN xR, En(t) = nas wo) alt) un)
307 40#
1.4. Pour tout t € R, préciser les limites des suites 5 9 et 5 3 en fonction de t.
k=0 0 m>0 k=0 5 m>0
à ٍ 2e3t — et et — est .
1.5. Dans la suite, on note E(t) la matrice E{t) = (eu et) 2ett ‏م161 01 , م‎
1.5.1. Vérifier que R+T = D, 31+ 47 ‏ح‎ 0,72 21,72 -1 et que RT - 27 -
j 1.5.2. Montrer que, pour tout t € R, E(t) = ‏ران‎ + e{T et en déduire que
E(t) = (ef! - ‏ورت‎ + (4e%! — 3
1.5.3. Montrer que, pour tout (s,t) € R?, E(t)E(s) = E(s)E(t) = E(s+t).
1.5.4. Montrer que, pour tout (s,t) € R?, E(t) = E(s) si, et seulement si, s = ‏ا‎
‎5 de Mathématiques 4 Tournez la pages,
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___ Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - 501 Problème 1
Des probabilités sur un univers fini
Les algorithmes demandés dans ce problème doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif
à la rédaction du code et notamment à l’indentation. De plus, on suppose que la librairie nunpy .randon
de Python est importée avec la commande import numpy.random as rd.
15 Partie
Une autre expression de l’espérance
d’une variable aléatoire discrète finie
Soit n un entier naturel > 2 et soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Q, À, P)
et à valeurs dans l’ensemble {1,...,n}.
- 1.1. Rappeler la définition de l'espérance de la variable aléatoire X, notée E(X).
1.2. Montrer que, pout tout k € {1,...,n}, P({X = k}) = P({X >k-—1}) - P({X > k}).
1.3. rer que E(X)= ‏زج‎ P({X > k}).
1.8, MGntrer de même que E (2 ‏ل‎ = > kP({X > k}).
2ème Partie
Étude du cas d’un tirage avec remise
Soit n un entier naturel > 2 et soit ‏م‎ € {1,...,n}. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On
effectue, de façon équiprobable, p tirages successifs, avec remise, et on note ‏لل‎ 18 variable aléatoire réelle
égale au plus grand numéro tiré. La variable aléatoire ‏لل‎ est donc à valeur dans l’ensemble {1,...,n}.
2.1. Calcul des probabilités P({Y > k}) pour ke {1,...,n}
Pour tout ‏زر‎ € {1,...,p}, on note ‏ول‎ la variable aléatoire correspondant au résultat obtenu lors du
j-ième tirage.
2.1.1. Montrer que, pour tout 7 € {1,...,p}, P({Y; > k}) = On pourra remarquer que les
variables aléatoires Y1,.…., Y, suivent toutes la loi uniforme sur l’ensemble {1,...,n} :
‏,[م,...,1) 6 ولا‎ YU([Hnl)).
2.1.2. Montrer que {Y > k} = 0 {5 <k).
2.1.3. Justifier que les variables aléatoires Y1,...,Y, sont indépendantes et en déduire que
Vkef{1,...,n}, P({Y <k})= 8 :
n-]1 k 77
1 2.2. Calculer P({Y > k}), pour tout k € {0,...,n — 1}, et en déduire que 2)37( ‏دج‎ + 8 -
2.3. Recherche d’un équivalent de E(Y) lorsque n tend vers +
m—] k 0 1
‏فال مر‎ que la suite È (2) converge vers l'intégrale À PP dt.
ee. k=0 m>1
.3.2. Montrer que la suite (2E(W)),s , converge vers le nombre rationnel ‏ال‎ :
2.4. Écrire une fonction Python prenant en entrée n et p, tirant ‏م‎ entiers aléatoires entre 1 et n, et
retournant le maximum de ces valeurs ( l'appel de cette fonction est donc une expérience qui simule
la variable aléatoire Y). On pourra utiliser rà.randint(p,n+1) qui renvoie un entier compris entre les
entiers p.et-n-d'une facon aléatoire suivant le. loi wniforme discrète sur l'ensemble {1,...,n)}.
Épreuve de Mathématiques 2/4 —}
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - ECT
0 NM SSSR RS
; 3ème Partie
Etude du cas d’un tirage sans remise
Soit n un entier naturel > 2 et soit ‏م‎ € {1,...,n}. Une urne contient ‏ب‎ boules numérotées de 1 à n. On
effectue, de façon équiprobable, p tirages successifs, sans remise, et on note Z la variable aléatoire réelle
égale au plus petit numéro tiré. La variable aléatoire Z est donc à valeur dans l’ensemble {1,...,n)}.
Pour tout (r,£) € N°, avec € > r, on note ( ) le coefficient binomial défini par AT nie Par
6 c) Ur 0!
‎convention, on pose 00) =0sir<f.
3.1. Calculs sur les coefficients binomiaux
3.1.1. Soit (r,0) € N°, avec 0+ 1 < r. Vérifier que 9 + 1 8 ‏ل‎ = 9 és 1) ;
‎. ‏اكت‎ Soit { € N. Montrer que, pour tout r € N avec r > {,on a 2 00 = G ns 1) . On pourra
raisonner par récurrence sur r.
3.1.3. Calculs de coefficients binomiaux avec Python
(i) Écrire une fonction factorielle (m) prenant en entrée un entier m € N et renvoyant sa factorielle.
(ii) Écrire une fonction binome(n ,p) prenant en entrée un couple (n, p) d’entiers naturels, avec p < n,
et renvoyant la valeur de l'entier 0 . On pourra faire appel à la fonction factorielle(.).
3.2. Calcul de la probabilité P(Z > k) pour k€ {0,...,n—1}
3.2.1. Quelles sont les issues possibles pour la variable aléatoire 27 Quel est leur nombre ?
FL. k€ {0,...,n — 1}, à quelle condition l'événement {Z > k} est-il réalisé? Quel est le
norbre des issues qui réalisent cet événement ?
3,24 Calculer alors la probabilité P({Z > k}), pour ‏م‎ € {0,...,n — 1}, en fonction de n, k et p.
_2#3. Calcul de l’espérance E(Z) de la variable aléatoire Z, en fonction des entiers n et p
73.1. Montrer que () E(Z) = ‏ل ب‎ e
3.3.2. En dédui E(Z) = ‏.ب‎
‎/ re que E(Z) 7+1
3.4. a ‏لس‎ V(Z) de la variable aléatoire Z
«١ (2-1) _ n+1 n fil :
3.4.1. Montrer que 0 E( 0) ) =(n+1) U +1 ) —(p+1) Z x 0 ‏ل‎ . On pourra utiliser
la pe ‏بو‎ de la première partie.
: ‏الددقا2‎ _ (n+1)(n-p)
3.4.24 En déduire que ‏)م‎ = G+DE+D
3.4.3. Vérifier que V(Z) = 2E(42) + E(Z) - (E(Z))? et en déduire l’expression de la variance
de la variable aléatoire Z en fonctions des entiers n et p.
Problème 2
Calcul des puissances d’une matrice de M;(R) et application
à l’étude de trois suites réelles et à la résolution d’une équation matricielle
Dans ce problème, M3(R) désigne l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre 3 et ‏ول‎ la matrice
identité de M3(R). On considère les matrices éléments de M3(R) suivantes :
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0
A=-=|-1,2 0],-P=11,1 0|, Q={[-1 1 0 et D=3 0 2 0):
NEO AV IE7 \DtTa/ 0 -1 1 0 0 3
CE ‏مححبتتسببب“_“حتببستتِ__--بسسبنببللللللللبلبلببتببسح سس‎
ÉD ‏مسسمتنمسة نميه‎ 1 0 7 la pap 1
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Concours National d'Accès aux Écoles de Management - Session 2024 - ECT َ
1ère Partie
Calcul des puissances de la matrice À
1.1. Inversibilité et inverse de P
1.1.1. Calculer le produit matriciel PQ.
1.1.2. En déduire que la matrice P est inversible et préciser son inverse P-!.
1.2. Relation entre les puissances des matrices À et D
1.2.1. Calculer les produits matriciels PD et AP.
1.2.2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 4 > 1, A* = PDFP-1.
1.3. Calcul des puissances des matrices À et D
1.3.1. En faisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel ‏رع‎
‎1 1 0 0
DF=—[0 2* 0).
45 k
0 0 3
1.3.2. En déduire l'expression de 4#, pour tout entier naturel k. Il vous est demandé d'exprimer la
matrice AF, sous forme d’un tableau, en fonction de k EN.
2ème Partie
Application à l’étude d’un système de suites simultanément récurrentes
On considère les suites réelles ‏سعملمة)‎ (2n)nen et (zn)nen définies par ‏و‎ = —1, yo = & = 1 et les
ATn41 = Tn 2
relations de récurrence : 4 ‏ر2- = رجولا4‎ + 2ÿn . Pour tout n 6 N, on pose Xh = | yn |.
Ain+1 = —Tn — ‏ولا‎ + 32n 2n
2.1. Vérifier que pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn.
2.2. En déduire, à l’aide d’une récurrence, que pour tout entier naturel n, ‏ول‎ = 4” X0.
2.3. Soit n € N. En utilisant l'expression de la matrice 4”, obtenue à la question 1.3.2. de la première
partie, calculer zh , Un et Zn EN fonction de n.
‏و‎ 2-4. Les suites (Zn)nen, (Yn)nen et (Zn)nen sont-elles convergentes ? Si oui, préciser leur limite.
3ème Partie
Application à la résolution d’une équation matricielle
On propose dans cette partie de résoudre l'équation matricielle suivante
XP = À, (1)
d'inconnue X € M3(R).
3.1. Recherche des matrices qui commutent avec la matrice D
Soit M = (mjj)1gi,jes € Ma(R) une matrice quelconque.
3.1.1. Calculer les produits matriciels MD et DM.
3.1.2. En déduire que MD = DM si, et seulement si, la matrice M est diagonale.
3.2. Résolution de l’équation (1)
Soit BE M3(R) une matrice telle que B = À; on pose M = P-'BP.
3.2.1. Montrer que M = D.
3.2.2. Vérifier que MD = DM.
3.2.3. En déduire que M est diagonale puis la déterminer.
3.2.4. Déterminer alors la matrice B.
3.2.5. Vérifier que la matrices B ainsi trouvée est effectivement solution de (1).
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques 4/4 FIN
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