نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش 2005 - الكهرمغناطيسية (ولوج السنة الثالثة)

Ce modèle est l'épreuve d'Électromagnétisme du concours d'accès de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad, année universitaire 2004-2005), session du 15 juillet 2005. Le pied de page indique un concours d'accès en 3^e année. Durée : 1 h 30. Au programme : équations de Maxwell dans un milieu, lame diélectrique, induction par un aimant en mouvement, Thévenin/Norton en régime sinusoïdal. Voici une correction proposée.

Exercice 1 — Équations de Maxwell dans un milieu

1. Dans II) rot B = εμ ∂E/∂t + μj :

• μj : le courant de conduction (charges en mouvement) est source du champ magnétique ; c'est le théorème d'Ampère de la magnétostatique.
• εμ ∂E/∂t = μ ∂D/∂t : le courant de déplacement introduit par Maxwell. Un champ électrique variable crée lui aussi un champ magnétique. Ce terme rend l'équation compatible avec la conservation de la charge : sans lui, div(rot B) = 0 imposerait div j = 0, faux en régime variable (∂ρ/∂t + div j = 0).

2. Formes intégrales (théorèmes de Stokes et d'Ostrogradski) :

• I) → ∮_C E·dl = −dΦ_B/dt = −d/dt ∬_S B·dS : loi de Faraday (induction).
• II) → ∮_C B·dl = μ I_enlacé + εμ d/dt ∬_S E·dS : théorème d'Ampère généralisé (Maxwell-Ampère).
• III) → ∯_Σ E·dS = Q_int/ε : théorème de Gauss.

3. Remarque de vocabulaire : B est l'induction (densité de flux) magnétique et H l'excitation (ou « champ ») magnétique ; l'énoncé inverse les noms. Un appareil de mesure (sonde à effet Hall, fluxmètre, bobine exploratrice) mesure B. Il exploite la force de Lorentz qv ∧ B sur les porteurs de charge ou la f.é.m. induite −dΦ/dt, Φ étant le flux de B. H s'en déduit ensuite par H = B/μ.

4. Un vecteur polaire (vrai vecteur, ex. vitesse, force) ne dépend pas de la convention d'orientation de l'espace. Il change de signe dans une symétrie centrale et appartient aux plans de symétrie de ses sources. Un vecteur axial (pseudo-vecteur) est défini à partir d'un produit vectoriel ou d'un sens de rotation ; il dépend de la convention d'orientation et il est perpendiculaire aux plans de symétrie des sources. E est polaire (F = qE) ; B est axial (F = qv ∧ B).

5. Le gradient d'un champ scalaire f est un vecteur orienté dans la direction où f croît le plus vite, de norme égale au taux de variation par unité de longueur dans cette direction. Il est normal aux surfaces de niveau (isobares, isothermes, équipotentielles), et df = grad f · dl. Exemples : E = −grad V ; flux thermique j_th = −λ grad T (Fourier) ; force de pression par unité de volume −grad p.

Exercice 2 — Lame diélectrique

1) E₀ et E sont normaux aux faces et il n'y a pas de charges libres : la composante normale de D se conserve, ε₀E₀ = εE, d'où E = E₀/ε_r.

2) P = (ε − ε₀)E = ε₀(ε_r − 1)E = ε₀(ε_r − 1)/ε_r · E₀. Charges de polarisation surfaciques σ_p = P·n_ext : σ_p = +ε₀(ε_r − 1)E₀/ε_r sur la face de sortie de E₀ et −ε₀(ε_r − 1)E₀/ε_r sur la face d'entrée (P uniforme, donc pas de charge volumique : ρ_p = −div P = 0).

3) Les deux faces chargées ±σ_p (lame mince ≈ plans infinis) créent, comme un condensateur plan, un champ nul à l'extérieur et, à l'intérieur, E_P = −σ_p/ε₀ (sens de E₀) = −P/ε₀ = −(ε_r − 1)/ε_r · E₀. Alors E₀ + E_P = [1 − (ε_r − 1)/ε_r]E₀ = E₀/ε_r = E. ✔

Exercice 3 — Aimant approché d'une bobine

Coordonnées sphériques (r, θ, φ) d'origine P et d'axe Oz ; aux points des spires : r = √(a² + d²), sinθ = a/r, cosθ = d/r.

1. m ∧ r = m r sinθ u_φ, d'où A(M) = (μ₀/4π) · m sinθ / r² · u_φ.

2. Flux à travers les N spires : Φ = N∮A·dl = N · 2πa · (μ₀/4π) m (a/r)/r², soit

Φ = Nμ₀m a² / [2(a² + d²)^3/2] (= Nμ₀m sin³θ/(2a)).

L'aimant s'approche : dd/dt = −v. Donc dΦ/dt = (dΦ/dd)(−v) = 3Nμ₀m a²d v / [2(a² + d²)^5/2], et

e = −3Nμ₀m v a²d / [2(a² + d²)^5/2] = −3Nμ₀m v sin⁴θ cosθ / (2a²).

3. Inductance négligeable : i = e/R = −3Nμ₀m v a²d / [2R(a² + d²)^5/2]. Le signe − (sens opposé à u_φ) traduit la loi de Lenz : la bobine crée un moment opposé à m.

4. Champ du dipôle : B_r = μ₀·2m cosθ/(4πr³), B_θ = μ₀m sinθ/(4πr³), B_φ = 0, avec r = √(a² + d²) sur la bobine.

5. Force de Laplace F = ∮ i dl ∧ B, avec dl = a dφ u_φ. Par symétrie, seule la composante sur Oz subsiste. u_φ ∧ u_r = u_θ, u_φ ∧ u_θ = −u_r, u_r·u_z = cosθ, u_θ·u_z = −sinθ, d'où

F_z = −N i · 2πa (B_r sinθ + B_θ cosθ) = −3Nμ₀m i a sinθ cosθ / (2r³).

En remplaçant i, puis a = r sinθ et d = r cosθ :

F_z = 9N²μ₀²m²v · sin⁸θ cos²θ / (4Ra⁴) > 0.

La bobine est repoussée dans le sens du mouvement de l'aimant, et l'aimant subit −F, une force de freinage (loi de Lenz). Contrôle énergétique : F_z·v = e²/R, puissance dissipée par effet Joule.

6. À a fixé, F ∝ g = sin⁸θ cos²θ. Avec s = sin²θ : g = s⁴(1 − s), g′ = 4s³ − 5s⁴ = 0 pour s = 4/5. Alors tanθ = a/d = 2, d'où d₀ = a/2, et F_max = (9N²μ₀²m²v/(4Ra⁴)) × 256/3125.

💡 La question 5 de l'énoncé mélange deux demandes (« la force en fonction de θ » et « pour quelle distance d₀ ») : on a donné F(θ) en 5 et la distance du maximum en 6.

Exercice 4 — Thévenin et Norton

Le schéma comporte, entre M (haut) et N (bas), quatre branches en parallèle : la source 10∠30° V en série avec 2 Ω ; la branche 2 − j2 Ω ; la source 6∠90° V en série avec 1 Ω ; la résistance 4 Ω. La polarité des sources n'est pas imprimée : on prend leur borne + du côté de M.

1. Générateur de Thévenin.

• Admittance vue entre M et N (sources éteintes) : Y = 1/2 + 1/(2 − j2) + 1/1 + 1/4 = 0,5 + (0,25 + j0,25) + 1 + 0,25 = 2 + j0,25 S.
• Z_th = 1/Y = (2 − j0,25)/4,0625 ≈ 0,492 − j0,062 Ω ≈ 0,496∠−7,1° Ω.
• Courant de court-circuit (M relié à N) : I_cc = 10∠30°/2 + 6∠90°/1 = (4,33 + j2,5) + j6 = 4,33 + j8,5 A ≈ 9,54∠63,0° A.
• Millman : E_th = I_cc/Y = (4,33 + j8,5)/(2 + j0,25) ≈ 2,65 + j3,92 V ≈ 4,73∠55,9° V.

2. Générateur de Norton équivalent : source de courant I_N = E_th/Z_th = 4,33 + j8,5 A ≈ 9,54∠63,0° A, en parallèle avec Z_N = Z_th ≈ 0,496∠−7,1° Ω (admittance 2 + j0,25 S).

💡 Réponse probable pour les valeurs numériques de E_th et I_N : elles supposent les deux sources orientées avec la borne + vers M. Si une source est inversée, remplacez sa contribution par son opposée dans I_cc, la méthode restant la même. Z_th ne dépend pas de ce choix.