نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة - المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) 2004 - اختبار الفيزياء
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة لدى المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) (29/06/2004)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT)
- الدرجة
- السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة
- التخصص
- الفيزياء
- الدورة
- 29/06/2004
- عدد الصفحات
- 5
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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أجحعب الوق للبريد المواسلا à 10000066 — 2 7 Tai داس Nano des م CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE | | DU CYCLE D’INGENIEURS D'ETAT 29-06-2004 Epreuve de PHYSIQUE (Durée :3Heures) Avertissement Les 2 problèmes doivent être traités sur des feuilles séparées. - L’appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des - raisonnements et de la présentation. (ja Ci jluall > ai ا wadifa-info.com gù5l As 1601-1 Dipôle électrostatique dans le vide Ce problème aborde quelques aspects des dipôles électriques. On donne en coordonnées sphériques : grad V = بد w + A üg + À Gus u, êr r © rsin0 Go Pour toutes les applications, on suppose l'espace rapporté à un repère orthonormé galiléen Oxyz dont les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz sont notés respectivement 11 uw, et we. A un point M quelconque, on associe des coordonnées # . , > _ يهب يب _ هج cartésiennes x, y et z ainsi que le vecteur r” = OM بت« r étant la norme de Tr’. On considère un ensemble de deux charges ponctuelles fixes : -q en N (0, 0, -a/2) et +q en P (0, 0, 4/2), a et و étant des quantités positives. 1. Donnez l'expression du moment dipolaire électrique p de cette distribution de deux charges, en fonction de q, de a et de w . 2. Calculer le potentiel électrostatique créé par ce dipôle en un point M, situé à très grande distance du dipôle (r >> a). (On utilisera les coordonnées sphériques r, 6, ب avec 0 =(u?, ur). 3. En déduire les composantes (en coordonnées sphériques) du champ électrostatique créé par ce dipôle. Trouver une relation exprimant le vecteur champ électrostatique E en fonction der et p. 4. Déterminer l'équation des lignes de champ sous la forme d'une relation entre r et l'angle 0. | 5. Le dipôle (toujours rigide) est maintenant plongé dans un champ électrostatique extérieur. Quelles sont les actions subies par ce dipôle ? (On pourra donner les expressions sans démonstrations). 6. Application : 7 . 4 7 ٠ يبب . Une molécule polarisable plongée dans un champ électrique 5... acquiert un moment —> so 2 ا , - dipolaire induit p =ae, 2. Où €, est la permittivité électrique du vide et a une constante positive. On considère un dipôle 07 = p, w placé en O et une molécule polarisable placée en M avec OM جح 2 u, . Exprimer en fonction de z,, la force exercée par le dipôle sur la molécule, préciser si cette force est attractive ou répulsive. Page 1 sur 4 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com PROBLEME2 Données : c = 3.10% m.s"! célérité des ondes électromagnétiques dans le vide. 1° Partie Propagation dune ondes électromagnétiques dans le vide. 1) Rappeler l'équation de propagation d'une onde électromagnétique dans le vide. 2) Montrer qu'une fonction de la forme: 7)60- رض 7 + ما est solution de l'équation de propagation , Quelle est la signification de ير et de f,(1+2*) ? 02 2 3) Soit un champ électrique 2 de la forme: Ê=E, cos(œ(t-=))à, dans un repère cartésien. a) Montrer que les surfaces équiphases, pour r fixé, sont des plans. b) Montrer que E vérifie l'équation de propagation dite de d' Alembert : 02-0. 4) À partir des équations de Maxwell, déduire l'expression du champ magnétique B associé. Pour ce faire, on ne s'intéressera qu'à la partie variable dans le temps des champs, c'est-à-dire que les constantes d'intégration seront prises nulles. 5) En déduire la structure de l'onde plane: a) Quelle est la nature du trièdre (Ë,B,K), où K est le vecteur d'onde, dont on précisera la direction et la norme. b) Quel est le rapport des normes des champs: = ? 2°% Partie Réflexion d'une onde électromagnétique par un plan métallique. Une onde incidente (E,,B,,K,) tombe normalement sur un plan métallique, considéré comme un conducteur parfait, situé dans le plan x=L avec É=E,,cos(œ(t-— ,ثرت = 6) Rappeler, sans les démontrer, les conditions que doivent satisfaire les champs électrique 2 et magnétique B dans le vide, à la limite du conducteur métallique, supposé « parfait ». On précisera bien les composantes normales et tangentielles des champs, par rapport à la surface du plan métallique. 7) Traduire ces conditions par des relations entre les composantes sur les axes (Ox, Oy, Page 2 sur 4 wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو 8) Le champ électrique 5 de l'onde incidente vérifie-t-il les conditions aux limites à la surface du plan conducteur ? Montrer l'existence d'un champ électrique réfléchi 2 pour les satisfaire. 9) On admet l'expression suivante du champ réfléchi: Ë =E,, cos(w'(t + == Le a) Préciser la relation entre la pulsation de l'onde réfléchie 'ه et la pulsation de l'onde incidente ©. s vise A : x—2L b) justifier l'expression en (1+=——— ). c) donner la valeur de Es-en fonction de Es. 10) En déduire l'expression du champ magnétique réfléchi associé B,. Retrouve-t-on bien la structure de l'onde plane pour l'onde réfléchie ? 11) Donner l'expression du champ électrique total: E(r,x)= E,(1,x)+Ë,(t,x) . Ce champ se propage-t-il toujours ? Quel est le phénomène observé ? 12) On admet que la puissance instantanée P(,1), qui travers l'unité de surface du plan d'abscisse x, est proportionnelle au carré de du champ électrique de l'onde résultante dans ce plan à la date r. On note و7 la valeur maximale de 260 a) Exprimer, la valeur moyenne temporelle P,(x) de Pt), en fonction de ©, x c, Let b) Représenter l'allure de P,(x) pour x compris entre 0 et L. 3°" Partie Réception du signal téléphonie mobile On s'intéresse à une étude simplifiée de certaines difficultés de la réception d'un signal en téléphonie mobile. On considère, pour simplifier, que l'onde incidente précédente est issue d'une station de base avec w = 2rf et on prend f = 90012 Un immeuble situé en x = L réfléchi l'onde et se comporte comme un conducteur parfait (voir figure). immeuble Onde incidente بسب ساس اا هسه récepteur Onde réfléchie = = . اا سي _ Page 3 sur 4 wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو La puissance 7 reçue par le téléphone mobile (récepteur) dans la position x, est proportionnelle à P,(x). On suppose que le signal ne peut être détecté par le récepteur que si P,(x) est 4 . «“ ٠ . P, supérieure à une puissance seuil 2. P. = 3 13) Sur le graphe représentant P,(x) représenter P, et indiquer les segments sur Ox où le signal n'est pas détecté. Quelle est la longueur de chacun des intervalles ? 14) Déterminer la durée moyenne des coupures du récepteur (téléphone mobile) porté par un piéton se déplaçant à la vitesse v = 4 km/h suivant l'axe des x. 15) Déterminer la durée moyenne des coupures dans le cas où le téléphone mobile est utilisé par un passager d'une automobile qui se déplace à la vitesse de 40 km/h. 16) Commenter ces deux déterminations. Page 4 sur 4 wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو
التصحيح المقترح
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Épreuve de physique du concours d'accès en 1re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 29 juin 2004, durée 3 heures. Deux problèmes à rédiger sur des feuilles séparées : dipôle électrostatique dans le vide, puis ondes électromagnétiques (propagation dans le vide, réflexion sur un métal, application à la réception en téléphonie mobile). Correction proposée ci-dessous.
Problème 1 — Dipôle électrostatique dans le vide
1. p = Σqi·OPi = q·(a/2)uz − q·(−a/2)uz ⇒ p = q·a·uz (dirigé de −q vers +q).
2. V(M) = (q/4πε0)·(1/PM − 1/NM). Pour r ≫ a : PM ≈ r − (a/2)cos θ et NM ≈ r + (a/2)cos θ, d'où 1/PM − 1/NM ≈ a·cos θ/r².
V(M) = p·cos θ / (4πε0r²) = p·r / (4πε0r³).
3. E = −grad V :
Er = 2p·cos θ/(4πε0r³) ; Eθ = p·sin θ/(4πε0r³) ; Eφ = 0.
Avec p = p cos θ·ur − p sin θ·uθ : E = [3(p·ur)ur − p]/(4πε0r³), soit
E = (1/4πε0)·[3(p·r)·r − r²·p] / r5.
4. Ligne de champ : dr/Er = r·dθ/Eθ ⇒ dr/r = 2(cos θ/sin θ)dθ ⇒ ln r = 2 ln(sin θ) + cte ⇒ r = K·sin²θ (dans chaque plan méridien, K constante propre à chaque ligne).
5. Dans un champ extérieur Eext, le dipôle rigide subit :
- un couple de moment Γ = p ∧ Eext, qui tend à aligner p sur Eext ;
- une force résultante F = (p·grad)Eext, nulle si le champ est uniforme ; elle attire le dipôle aligné vers les zones de champ intense ;
- son énergie potentielle est Ep = −p·Eext.
6. Sur l'axe (θ = 0 ou π), le champ du dipôle p1 est E1 = 2p1/(4πε0|z|³)·uz. La molécule acquiert p = αε0E1 = α·p1/(2π|zM|³)·uz, parallèle à E1.
Énergie d'un dipôle induit : Ep = −½αε0E1² = −α·p1²/(8π²ε0zM6). D'où (le même résultat s'obtient avec F = pz·dE1/dz) :
F = −dEp/dz·uz = −3α·p1² / (4π²ε0zM7) · uz.
Pour zM > 0, F est dirigée vers −uz, donc vers O (et vers +uz si zM < 0) : la force est attractive. Elle décroît en 1/zM7, forme typique des interactions de Van der Waals (de type Debye : dipôle permanent – dipôle induit).
Problème 2 — Ondes électromagnétiques
1re partie — Propagation dans le vide
1) ΔE − (1/c²)·∂²E/∂t² = 0 (même équation pour B), avec c = 1/√(μ0ε0).
2) Pour f1(t − x/c) : ∂²f1/∂x² = f1''/c² et ∂²f1/∂t² = f1'' ⇒ ∂²f1/∂x² − (1/c²)∂²f1/∂t² = 0. Idem pour f2(t + x/c) ; l'équation étant linéaire, la somme est solution.
f1(t − x/c) : onde progressive se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants (ce qui se passe en x à t s'est passé en 0 à t − x/c). f2(t + x/c) : onde progressive vers les x décroissants.
3) a) À t fixé, la phase ω(t − x/c) ne dépend que de x : les surfaces équiphases sont les plans x = constante, perpendiculaires à Ox (onde plane).
b) ∂²E/∂x² = −(ω²/c²)E et ∂²E/∂t² = −ω²E (pas de dépendance en y, z) ⇒ ΔE − (1/c²)∂²E/∂t² = −(ω²/c²)E + (ω²/c²)E = 0 ✔.
4) rot E = −∂B/∂t. Avec E = Ez(x,t)uz : rot E = −(∂Ez/∂x)uy = −(ωE0/c)·sin(ω(t − x/c))·uy.
Donc ∂B/∂t = (ωE0/c)·sin(ω(t − x/c))·uy et, constante nulle :
B = −(E0/c)·cos(ω(t − x/c))·uy.
5) a) E ⊥ B ⊥ K : (E, B, K) est un trièdre trirectangle direct ; K = (ω/c)·ux, de norme ω/c = 2π/λ, dirigé selon la propagation. On a B = (K ∧ E)/ω.
b) E/B = c.
2e partie — Réflexion sur un plan métallique
6) Dans un conducteur parfait, E = 0 et B (variable) = 0. À la surface, côté vide (n normale sortant du métal) :
- E tangentiel = 0 ; E normal = σ/ε0 (σ : charge surfacique) ;
- B normal = 0 ; B tangentiel = μ0js ∧ n (js : courant surfacique).
7) Surface x = L, normale ux : Ey(L,t) = Ez(L,t) = 0 ; Ex(L,t) = σ/ε0 ; Bx(L,t) = 0 ; By(L,t) et Bz(L,t) quelconques, fixés par js.
8) En x = L, Ei = E0icos(ω(t − L/c))uz est tangentiel et non nul à presque tout instant : la condition Ez(L,t) = 0 n'est pas vérifiée. Il faut donc une onde supplémentaire, se propageant dans le vide vers les x décroissants (onde réfléchie), telle que Ei(L,t) + Er(L,t) = 0 à tout instant.
9) a) L'égalité Er(L,t) = −Ei(L,t) doit valoir pour tout t : ω' = ω.
b) L'onde réfléchie se propage vers les x décroissants : fonction de t + x/c. Elle reproduit en x l'onde partie de O, qui a parcouru L jusqu'au miroir puis L − x en retour, soit 2L − x : retard (2L − x)/c, d'où la variable t − (2L − x)/c = t + (x − 2L)/c. En x = L elle vaut t − L/c, la même phase que l'onde incidente.
c) En x = L : (E0i + E0r)cos(ω(t − L/c)) = 0 ∀t ⇒ E0r = −E0i.
10) rot Er = −∂Br/∂t avec Er = −E0icos(ω(t + (x − 2L)/c))uz :
Br = −(E0i/c)·cos(ω(t + (x − 2L)/c))·uy.
On retrouve la structure d'onde plane : Er ⊥ Br, |Er|/|Br| = c, et (Er, Br, −ux) est direct (propagation vers −x).
11) E = E0i[cos(ω(t − x/c)) − cos(ω(t + (x − 2L)/c))]uz, et avec cos a − cos b = −2 sin((a+b)/2)·sin((a−b)/2) :
E(t,x) = 2E0i·sin(ω(x − L)/c)·sin(ω(t − L/c))·uz.
Les variables d'espace et de temps sont séparées : le champ ne se propage plus, c'est une onde stationnaire, avec des nœuds en x = L − nλ/2 (dont le plan métallique) et des ventres en x = L − λ/4 − nλ/2.
12) a) P(x,t) = K·E² = 4KE0i²·sin²(ω(L − x)/c)·sin²(ω(t − L/c)) ; sa valeur maximale est P0 = 4KE0i². Comme <sin²> = ½ :
Pm(x) = (P0/2)·sin²(ω(L − x)/c) = (P0/4)·[1 − cos(2ω(L − x)/c)].
b) Courbe en sin², de période spatiale λ/2 = πc/ω, comprise entre 0 et P0/2 : zéros en x = L, L − λ/2, L − λ, … ; maxima P0/2 en x = L − λ/4, L − 3λ/4, …
3e partie — Réception en téléphonie mobile
💡 À f = 900 MHz : λ = c/f = 3·108/9·108 = 0,333 m, donc λ/2 ≈ 16,7 cm entre deux minima.
13) On trace l'horizontale Ps = P0/20 sur le graphe. Pas de détection si (P0/2)sin²u < P0/20, u = 2π(L − x)/λ, soit |sin u| < 1/√10 : u ∈ ]nπ − u0, nπ + u0[ avec u0 = arcsin(0,316) ≈ 0,322 rad.
Ces segments sont centrés sur les nœuds x = L − nλ/2. Longueur de chacun : Δx = 2u0·λ/(2π) ≈ 0,102λ ≈ 3,4 cm.
14) Piéton : v = 4 km/h = 1,11 m/s ⇒ durée d'une coupure Δt = Δx/v ≈ 0,0341/1,11 ≈ 31 ms, une coupure tous les (λ/2)/v = 0,15 s.
15) Automobile : v = 40 km/h = 11,1 m/s ⇒ Δt ≈ 3,1 ms, une coupure toutes les 15 ms (environ 67 par seconde).
16) Commentaire : dans les deux cas les coupures sont brèves, mais nombreuses. Pour le piéton, des « trous » de ~30 ms tous les 15 cm peuvent dégrader la communication (évanouissements, ou fading) ; un utilisateur immobile placé sur un nœud ne reçoit plus rien du tout. En voiture, les coupures sont dix fois plus courtes mais dix fois plus fréquentes ; elles sont plus faciles à compenser par le codage correcteur d'erreurs et l'entrelacement des données. En pratique, les réflexions multiples et la diversité d'antennes atténuent ce phénomène, que le modèle à un seul réflecteur exagère.
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