نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة - المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) 2001 - اختبار الرياضيات

Épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 28 juin 2001. Durée : 3 heures. Deux parties : algèbre (suite récurrente linéaire, endomorphismes d'un espace euclidien) puis analyse (séries de fonctions, laplacien en coordonnées polaires). Voici une correction proposée.

💡 L'énoncé demande d'encadrer les résultats : sur la copie, encadrez chaque valeur finale (valeurs propres, α, K(f), équivalent…).

Partie I — Exercice 1

1)

• a) AV_n = ((v_n+2 + v_n+1 + v_n)/3, v_n+2, v_n+1) = (v_n+3, v_n+2, v_n+1) = V_n+1. Par récurrence : V_n = AⁿV₀, avec V₀ = (c, b, a).
• b) χ(λ) = det(λI − A) = λ³ − λ²/3 − λ/3 − 1/3, soit 3χ(λ) = 3λ³ − λ² − λ − 1. En λ = 1 : 3 − 1 − 1 − 1 = 0, donc 1 est valeur propre. Factorisation : 3λ³ − λ² − λ − 1 = (λ − 1)(3λ² + 2λ + 1). Δ = 4 − 12 = −8, d'où r = (−1 + i√2)/3, s = (−1 − i√2)/3, avec |r| = |s| = 1/√3.
• c) Sur ℝ, χ n'est pas scindé : A n'est pas diagonalisable sur ℝ. Sur ℂ, trois valeurs propres distinctes : A est diagonalisable sur ℂ.

2)

• a) A = P diag(1, r, s) P⁻¹ ⇒ Aⁿ = P diag(1, rⁿ, sⁿ) P⁻¹ : les valeurs propres de Aⁿ sont 1, rⁿ, sⁿ.
• b) v_n est la 3^e coordonnée de P diag(1, rⁿ, sⁿ) P⁻¹V₀ : c'est une combinaison linéaire de 1, rⁿ, sⁿ dont les coefficients (issus de P, P⁻¹, V₀) ne dépendent pas de n. D'où α, β, γ ∈ ℂ.
• c) xⁿ(v_n − α) = β(xr)ⁿ + γ(xs)ⁿ et |xr| = |xs| = |x|/√3 < 1 pour |x| < √3 : la limite est 0. Avec x = 1 : v_n → α.
• d) (v_n) est une suite réelle ; sa limite dans ℂ est donc réelle : α ∈ ℝ.

3)

w_n+1 = v_n+1 + 2v_n+2 + 3v_n+3 = v_n+1 + 2v_n+2 + (v_n + v_n+1 + v_n+2) = v_n + 2v_n+1 + 3v_n+2 = w_n. Donc w_n = w₀ = a + 2b + 3c ; en passant à la limite, w_n → α + 2α + 3α = 6α, d'où α = (a + 2b + 3c)/6.

Exercice 2

K(f) = sup_{x∉Ker f²} ‖f(x)‖² / (‖x‖·‖f²(x)‖) (éventuellement +∞).

• 1) a) f conserve la norme, donc f² aussi, Ker f² = {0} et le quotient vaut ‖x‖²/(‖x‖·‖x‖) = 1 : K(f) = 1.
• 1) b) f(x, y) = (2y, x) et A² = 2I, donc ‖f²(X)‖ = 2‖X‖. Le quotient vaut (x² + 4y²)/(2(x² + y²)) ≤ 4/2, avec égalité pour x = 0 : K(f) = 2.
• 2) f bijective ⇒ Ker f² = Ker f⁻² = {0}. Dans K(f⁻¹) = sup ‖f⁻¹(y)‖²/(‖y‖·‖f⁻²(y)‖), on pose y = f²(x) (bijection de E∖{0}) : on obtient ‖f(x)‖²/(‖f²(x)‖·‖x‖). Donc K(f⁻¹) = K(f).
• 3) Ker f ⊂ Ker f² toujours. Si f²(x) = 0 : ‖f(x)‖² = (f(x)|f(x)) = (f²(x)|x) = 0, donc x ∈ Ker f : Ker f = Ker f².
  Calcul de K(f) : par Cauchy-Schwarz ‖f(x)‖² = (f²(x)|x) ≤ ‖f²(x)‖·‖x‖, donc K(f) ≤ 1 ; pour x vecteur propre associé à une valeur propre λ ≠ 0 (il en existe : f est diagonalisable en b.o.n. et f ≠ 0), le quotient vaut λ²‖x‖²/(λ²‖x‖²) = 1. K(f) = 1.
• 4) (⇒) Si f²(x) = 0, f(x) ∈ Ker f ∩ Im f = {0}, donc x ∈ Ker f. (⇐) Si y = f(x) ∈ Ker f, alors x ∈ Ker f² = Ker f, donc y = 0 : Ker f ∩ Im f = {0} ; avec dim Ker f + dim Im f = n (rang), E = Ker f ⊕ Im f.
  • i) f(Im f) ⊂ Im f, g est bien défini. Ker g = Ker f ∩ Im f = {0} (ce qui utilise Ker f = Ker f², hypothèse de la question 4 ; sans elle, un f nilpotent d'indice 3 donne un contre-exemple). g injectif en dimension finie : g bijectif.
  • ii) Si Ker f = Ker f² : pour x ∉ Ker f², f(x) ∈ Im f et f(x) = g⁻¹(f²(x)), donc ‖f(x)‖ ≤ N(g⁻¹)‖f²(x)‖ ; de plus ‖f(x)‖ ≤ N(f)‖x‖. En multipliant : K(f) ≤ N(f)N(g⁻¹), fini.
    Réciproquement, si Ker f ≠ Ker f² : soit x₀ avec f(x₀) ≠ 0 et f²(x₀) = 0, et y avec f²(y) ≠ 0. Pour x = y + tx₀, f²(x) = f²(y) ≠ 0 et le quotient ‖f(y) + tf(x₀)‖²/(‖y + tx₀‖·‖f²(y)‖) ~ |t|·‖f(x₀)‖²/(‖x₀‖·‖f²(y)‖) → +∞ : K(f) = +∞.
  • iii) Si K(f) = +∞, c'est clair. Sinon g est bijectif ; soit x₀ ∈ Im f non nul et x_k = f^k(x₀), tous non nuls, et q_k = ‖x_k+1‖/‖x_k‖. Le quotient en x_k vaut q_k/q_k+1. Si l'on avait K(f) < 1, on aurait q_k+1 ≥ q_k/K(f), donc q_k ≥ q₀K(f)^−k → +∞, ce qui contredit q_k ≤ N(f). Donc K(f) ≥ 1.
• 5) a) (f*f(x)|y) = (f(x)|f(y)) = (x|f*f(y)) : autoadjoint ; (f*f(x)|x) = ‖f(x)‖² ≥ 0 : positif.
• 5) b) Dans une b.o.n. propre de f*f (valeurs propres λ_i ≥ 0) : ‖f(x)‖² = (f*f(x)|x) = Σλ_ix_i² ≤ λ‖x‖², avec égalité pour un vecteur propre de λ. Donc N(f)² = λ, N(f) = √λ.

Partie II — Exercice 3

• 1) Pour t > 0, e^−nt → 0 et −ln(1 − e^−nt) ~ e^−nt > 0, terme d'une série géométrique convergente : f(t) est défini.
• 2) −ln(1 − x) = Σ_p≥1 x^p/p, rayon R = 1.
• 3) Avec x = e^−nt ∈ ]0,1[ : f(t) = Σ_n≥1Σ_p≥1 e^−npt/p (termes positifs). La formule (*) permet d'échanger : f(t) = Σ_p(1/p)Σ_ne^−npt = Σ_p(1/p)·e^−pt/(1 − e^−pt) = Σ 1/(p(e^pt − 1)).
• 4) e^nt − 1 ≥ nt, donc 0 ≤ t/(n(e^nt − 1)) ≤ 1/n² : convergence normale sur ]0, +∞[.
• 5) tf(t) = Σ t/(n(e^nt − 1)). Chaque terme tend vers 1/n² quand t → 0⁺ (e^nt − 1 ~ nt) et la convergence est uniforme : théorème de la double limite, tf(t) → Σ1/n² = π²/6. Donc f(t) ~ π²/(6t) quand t → 0⁺.

Exercice 4

1)

• a) F = u∘φ avec φ(r,θ) = (r cos θ, r sin θ) de classe C^∞ et à valeurs dans Ω : F est C². Avec u_x, u_y… pris en φ(r,θ) et le théorème de Schwarz :
  F_r = cos θ u_x + sin θ u_y
  F_rr = cos²θ u_xx + 2 sin θ cos θ u_xy + sin²θ u_yy
  F_θ = −r sin θ u_x + r cos θ u_y
  F_θθ = −r(cos θ u_x + sin θ u_y) + r²(sin²θ u_xx − 2 sin θ cos θ u_xy + cos²θ u_yy)
• b) r²F_rr + F_θθ = r²(u_xx + u_yy) − rF_r, donc r²F_rr + F_θθ + rF_r = r²Δu = 0.

2)

• a) F, F_r, F_rr sont continues sur [a,b]×[−π,π] pour tout [a,b] ⊂ ]0,1[ (compact, intégration sur un segment) : dérivation sous le signe ∫ deux fois, d'où c_n ∈ C² et les formules de c_n', c_n''.
• b) θ ↦ F(r,θ) est 2π-périodique : deux intégrations par parties, crochets nuls (e^−inπ = e^inπ) : ∫F_θθe^−inθdθ = in∫F_θe^−inθdθ = (in)²∫Fe^−inθdθ, d'où −n²c_n(r).

3) (E_n) : x²y'' + xy' − n²y = 0

• a) On multiplie 1b) par e^−inθ/2π et on intègre : r²c_n'' + rc_n' − n²c_n = 0, c_n ∈ S_n. Près de 0, |c_n(r)| ≤ max_|z|≤1/2|u| (u continue sur le disque fermé de rayon 1/2) : c_n est bornée au voisinage de 0, et la forme trouvée en d) (A r^|n|) montre qu'elle est bornée sur ]0,1[ : c_n ∈ T_n.
• b) Sur ]0,1[, x² ≠ 0 : (E_n) ⇔ y'' + y'/x − n²y/x² = 0, linéaire homogène à coefficients continus. Par Cauchy-Lipschitz, S_n est un espace vectoriel de dimension 2.
• c) y = x^a : a(a − 1) + a − n² = a² − n² = 0, a = ±n.
• d) n ≠ 0 : S_n = {Ax^|n| + Bx^−|n|}. n = 0 : 1 et ln x (x²(−1/x²) + x(1/x) = 0), S₀ = {A + B ln x}. Bornée près de 0 ⇒ B = 0. Donc c_n(r) = A_nr^|n|, avec A_n = c_n(ρ)/ρ^|n| pour n'importe quel ρ ∈ ]0,1[ ; en particulier c₀(r) → u(0,0) donne A₀ = u(0,0) (propriété de la moyenne).

4)

θ ↦ F(r,θ) est C² et 2π-périodique : sa série de Fourier converge normalement vers elle. Donc F(r,θ) = Σ_n∈ℤ A_n r^|n| e^inθ = u(0,0) + Σ_n≥1 rⁿ(A_ne^inθ + A_−ne^−inθ). u étant réelle, A_−n = conj(A_n) : F = u(0,0) + 2 Re Σ_n≥1 A_n(re^iθ)ⁿ.