نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2023: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2023 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction, claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve
sont relativement indépendantes entre elles.

La comète C/1995 O1 Hale- e-Bopp

Les divers peuples du monde
connaissent les comètes depuis bien
longtemps. Les comètes apparaissent dans
le ciel, leur brillance =—augmentant
progressivement en quelques mois en
révélant une majestueuse structure formée
d'une tête brillante, appelée chevelure ou
coma, suivie d'une longue traîne lumineuse
(figure 1) Les comsnss 5 siiDES SEnt Figure 1: Comète de Hale-Bopp :
ensuite progressivement et disparaissent en Observer : Wally Pacholka
plusieurs mois. (http://www.jpl.nasa.gov/comet)

Le mouvement des comètes, comme celui des planètes, se réfère à leur
position par rapport au « fond céleste » que constituent les constellations d'étoiles,
dont la forme et la disposition relative semble immuable. Sur ce fond les comètes
se déplacent bien plus vite que les planètes.

Données :

- Masse du Soleil : M, =2.10"kg.

- Rayon du Soleil : R, =7,0.10*km .

- Vitesse de rotation du Soleil : ©, - 2,9.10 74.5

- Rayon de l’orbite terrestre supposée circulaire : d,, =1,5.10*km .
- Masse volumique de l'eau : u, =10*kg.m”

- Constante de gravitation universelle : G=6,67.10""'S]..

- Vitesse de la lumière dans le vide : c=3,00.10®m.s".
- Constante de Planck : h=6,63.10*J.s.

-  Équation locale de Maxwell du flux magnétique : div(B)=0.

- Vecteur vitesse en coordonnées sphériques : y = Ge, + re e +rsin az 2
1

-  Divergence en coordonnées sphériques :

1 Lara "AJ, 1 A(sim0A,), 1 94,

div(A
1 or “7 sn0 | 060 751100 0

Épreuve de Physique 1 1/6

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- Densité volumique d’énergie électromagnétique : u

5
2 2 2/0
L'épreuve est composée de deux parties indépendantes, à l’intérieur
desquelles de nombreuses questions peuvent être traitées indépendamment les
unes des autres.
La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.

Partie 1
Onde électromagnétique dans le vide

On étudie la propagation d’une onde électromagnétique sinusoïdale dans le
vide. On suppose que le champ électrique de cette onde en un point M de
l’espace à l’instant ; est de la forme : E(M,t)= E, cos(œt -kz)e, . On pose ‏دم‎ © avec

0

wœ et k sont respectivement la pulsation et le module d’onde de l’onde , et c est la
vitesse de la lumière dans le vide.

1. Déterminer la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde.
2. Exprimer le champ magnétique B de cette onde puis la moyenne
temporelle › 11‹ du vecteur de Poynting Il= 5447 l’onde, u, étant la

perméabilité magnétique du vide.
3. Exprimer la moyenne temporelle de la densité volumique d’énergie
électromagnétique ‹u,, › de cette onde.

4. Quelle relation y a-t-il entre ‹II› et ‹u,, › ?

Partie 2
La comète Hale-Bopp

1. Trajectoire de la comète Hale-Bopp

En 1997, la comète Hale-Bopp, découverte indépendamment par Alan Hale
et Thomas Bopp en 1995, est passée relativement près de la Terre. Cette comète,
supposée centrée au point C, possède une orbite elliptique autour du Soleil
centré au point S avec une excentricité e. - 0,995 . À son périhélie (point de l’orbite

le plus rapproché du Soleil), le 19 avril 1997, sa distance au Soleil était

SC =r! =1,35.10*km et en ce point sa vitesse par rapport au référentiel de Copernic

valait v£ = 45km.s”"

comète assimilés à des points matériels, et G la constante de gravitation. On
néglige la masse de la comète devant celle du Soleil. L’étude est faite dans le
référentiel de Copernic centré sur le Soleil et supposé galiléen.

. On note M, et m, les masses respectivement du Soleil et de la

On note (Sxy) le plan de la trajectoire de la comète et on repère la position
de la comète par ses coordonnées polaires (r.,0.) auxquelles on associe la base

(es ©.) , e, étant le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan.

On donne l’équation polaire de la trajectoire elliptique de la comète

Épreuve de Physique 1 2/6

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‎où p. est le paramètre de 1101116. On rappelle l’accélération d’un‏ ع7 حير

‎corps céleste assimilé à ‘un point matériel écrite en coordonnées

‎9 | 4 ) + Ve , C, étant la constante des aires.

‎polaires : ‏دي‎ -
| r 2420 \r) 1

‎1.1. Rappeler l’expression de la force de gravitation Fs;… exercée par le Soleil
sur la comète. Justifier que cette force est centrale.

‎1.2. Expliquer comment la conservation du moment cinétique permet
d’expliquer que la trajectoire de la comète est plane.

‎1.3. Calculer le paramètre ‏م‎ de l’orbite de la comète et la distance ‏يدي‎ de la
comète à l’aphélie (point de l’orbite le plus éloigné du Soleil).

‎1.4. Écrire la conservation du moment cinétique au périhélie et à l’aphélie. En
déduire l’expression de la vitesse y, de la comète à l’aphélie. Calculer la

‎1.5. Calculer le demi-grand axe a, de l'orbite.

‎valeur numérique de v

‎1.6. En vertu de la loi des aires, le rapport L est constant (3ème loi de Kepler),
80

‎T, étant la période orbitale et a, le demi-grand axe de la trajectoire

‎elliptique. En se servant de la Terre, satellite du Soleil comme Hale Bopp,

‎exprimer la période orbitale 7. de la comète Hale Bopp en fonction de ‏بمه‎
‎a, et T,. a, et T, désignent respectivement le demi-grand axe et la période
orbitale de la Terre autour du Soleil. La trajectoire de la Terre est
quasiment circulaire de rayon ‏.يه‎ Prédire en quelle année la comète Hale

‎Bopp reviendra à son périhélie nous rendre visite.
1.7. Exprimer l’énergie mécanique de la comète en fonction des paramètres au
périhélie (l’énergie potentielle étant définie comme nulle à l’infini). En

‎déduire qu’elle se met sous la forme : E,(C)=- ! me (2 j | 1-8 |
2 1+6
Commenter le signe de l’énergie mécanique.

‎1.8. L'énergie mécanique de la comète vaut E,(C)=-4,49.10*J. Calculer la masse
m, de la comète. En considérant que la masse volumique des roches
cométaire est très voisine de celle de l’eau et en faisant l’approximation
d’une comète sphérique, calculer le rayon moyen R, de cette comète.

‎2. Actions du Soleil sur les queues de la comète

‎On a pu constater que le nuage gazeux appelé queue, qui accompagne une
comète est derrière la comète quand celle-ci s’approche du Soleil et devant quand
elle s’en éloigne. On distingue deux queues : la queue courbe est due à la
pression de radiation du Soleil sur les poussières neutres de la comète tandis que
la queue droite est due au vent solaire et provient de l’interaction de celui-ci avec
les ions de la comète. L’angle entre ces deux queues est dû à la spirale de Parker.

‎2.1. Vent solaire et la queue droite
C'est l'observation de la queue des comètes qui a fait suspecter que le Soleil

‎Épreuve de Physique 1 3/6

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pouvait émettre un flux continu de particules de grande énergie. Le physicien
américain Eugène Newman Parker, en 1958, a le premier trouvé une explication
possible de l’origine du vent solaire. En 1962 la sonde spatiale Mariner 2 en a
apporté la preuve. Le vent solaire prend sa source dans la couronne solaire qui
est "l'atmosphère" du Soleil (c'est l'interface entre le Soleil et le milieu
interplanétaire). Sa vitesse est d’environ 300km.s" à 800km.s". Dans la suite, on
modélise le vent solaire comme un plasma cinétique complètement ionisé
constitué d’électrons et de protons.

On repère la position d’un proton de masse m, par ses coordonnées

sphériques ayant pour axe, l’axe de rotation du Soleil. On note 7 la distance du
proton au centre du Soleil, 0 la colatitude et ‏م‎ la longitude. On désigne par
(54%; la base associée à ce système de coordonnées. Le proton est soumis à

l’action du champ magnétique B créé par le Soleil.

On note (R) le référentiel de Copernic supposé galiléen et centré sur le
Soleil et (R') le référentiel attaché au Soleil en rotation en rotation avec le Soleil à
la vitesse angulaire uniforme 2. par rapport à (R).

On suppose qu’au niveau de l’exobase (frontière |
située à la distance 7-57, du Soleil entre les deux

régions, exosphère et barosphère, composant la N
couronne solaire, (figure 2)), le vent solaire est émis

radialement dans le référentiel (R'). On appelle 8

‎a) LA‏ به

‎vitesse du vent solaire celle des protons. On =

‎suppose que cette vitesse dans (R') (notée (C) et

‎A Exobase

‎dont la norme est supposée constante) est toujours # x

‎colinéaire au champ magnétique B. On suppose |

‎qu'à l'instant initial ‏ود‎ , r=n , @=0 et

‎(vi) =v,e . On prend B, = B, lorsque r=n- Figure 2 Schéma

‎modélisant le Soleil et la

‎2.1.1; _ Justificr que le référentiel (R'} n'est 088 couronne-salaire (à #5.)
galiléen.

‎2.1.2. Que vaut la force magnétique appliquée à un proton ?

‎2.1.3. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à un proton dans

‎le référentiel (R') et montrer que (és =-a,-a, . a, et a. sont

‎respectivement l’accélération d’entrainement et l’accélération de Coriolis.
2.1.4. Écrire la loi de composition des accélérations pour le proton.
2.1.5. Déduire du résultat des deux questions précédentes que la vitesse

‎(5) du proton dans (R) est constante.

‎2.1.6. En écrivant la loi de composition des vitesses pour le proton à
l’instant initial, montrer que la vitesse du proton 0 dans le référentiel

‎(R) est donnée par : 0 in =v,e, + 2 sin0e,

‎Épreuve de Physique 1 4/6

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2.1.7. Écrire la loi de composition des vitesses pour le proton à un instant
quelconque et montrer que les composantes de la vitesse (,) du proton

dans le référentiel (R') sont données par : ‏لتحا‎ v,=0 et v, =(n -r)Q,sin0.

2.1.8. En déduire que la trajectoire est contenue dans un plan 0=Cste.

2.1.9. Montrer que @(r)= arf ‏ل وز+‎ 5 . On considère que g(r=r,)=0.
h 7
On cherche les composantes du champ magnétique sous la forme :

2.1.10. À partir de la forme locale de la conservation du flux magnétique
déterminer l’expression de B,(r).

2.1.11. En écrivant que la vitesse du proton dans le référentiel (R') est
toujours colinéaire au champ magnétique, montrer que

2.1.12. En déduire la norme du champ magnétique. Commenter sa direction
au niveau de l’exobase.

2.1.13. Déterminer l’équation des lignes de champ magnétique définies par

dSM 1B=0. Commenter.

2.1.14. Tracer l’allure des lignes du champ magnétique dans le plan ‏د‎ Z

puis pour 0= z :

2.1.15. Sachant que B(r=d,)=7,0.10°T et en prenant l’expression de @(r) ci-
dessus, calculer la valeur du champ magnétique B, au niveau de l’exobase

pour = = et celle de l’angle ‏م‎ que fait la spirale de Parker formée par les

lignes du champ magnétique au niveau de la Terre par rapport au rayon
vecteur. On prend v,, =400km.s”" .

2.2. La pression de radiation et la queue courbe

La queue courbée de la comète est constituée par de petites particules,
supposées parfaitement réfléchissantes, assimilées à des sphères homogènes de
rayon b et de masse volumique ‏.ير‎ Une particule sphérique située dans l’espace
interstellaire (assimilé au vide)
à la distance y du Soleil reçoit
de la part de cette étoile une
énergie. Afin de simplifier les ëz
calculs, on modélise la
particule par son disque
équivalent de rayon b, supposé Figure 3 : pression de radiation
conducteur parfait (Figure 3).

2.2.1. Rappeler l’énergie W et la quantité de mouvement p d’un photon de

fréquence v.

2.2.2. Exprimer la densité particulaire n° de photons à l’onde incidente en
fonction de la densité volumique moyenne d’énergie électromagnétique

Disque
S, (Centre du Soleil) équivalent

Épreuve de Physique 1 5/6

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On modélise la réflexion en considérant que chaque photon incident
arrivant normalement sur une surface dS du disque équivalent subit un choc
élastique et possède après ce dernier une quantité de mouvement opposée.

2.2.3. Déterminer la variation de quantité de mouvement Ap, d’un photon
au moment du choc sur le disque.

2.2.4. En déduire la quantité de mouvement ‏تت‎ transférée par le photon
au disque.

2.2.5. Établir l’expression de la quantité de mouvement dp transférée au
disque par l’ensemble des photons arrivant en un temps dt sur un élément
du disque d’aire ds.

2.2.6. Exprimer la force F exercée par l’ensemble des photons sur la
surface élémentaire dS correspondant au transfert de quantité de
mouvement dp-

2.2.7. Montrer que la pression de radiation s’écrit sous la forme :
Pad =2‹ Un as

On tient compte maintenant de la géométrie sphérique de la particule. On
généralise l’expression précédente dans le cas d’une incidence oblique d’angle 6

par rapport à la normale par : P,=2‹u,,›cos"°0. On se propose d’appliquer ce

résultat à la lévitation, par le rayonnement solaire, de la particule sphérique
parfaitement réfléchissante de la queue de la comète.

2.2.8. Montrer que la force F' exercée par le rayonnement solaire sur la

particule a pour expression : F'=xb"‹u,,›e,.
On souhaite exprimer la force F' en fonction de la puissance P, émise par
le Soleil. On considère que toute la puissance électromagnétique P reçue par la
particule est absorbée par celle-ci et que la force moyenne F' exercée par le

rayonnement solaire est donnée par ‏مدال‎ où € est la vitesse de la lumière
5

dans le vide.

2.2.9. On suppose que la puissance émise par le Soleil se répartit de façon

isotrope sur une sphère de rayon r et on admet que la particule intercepte
cette sphère sur la section efficace ‏.لج‎ Exprimer la puissance ‏م‎ captée
par la bille en fonction de P,, b et r.

2.2.10. En déduire l’expression de la force 7 en fonction de Pis cab Et r:

2.2.11. Exprimer la force de gravitation F, exercée par le Soleil sur la
particule.

2.2.12. Exprimer la taille limite ‏,م‎ de la particule pour que la force de
radiation due au rayonnement solaire soit égale à la force de gravitation.

2.2.13. Calculer b,. On donne u=3.10*kg.m” et la puissance rayonnée par le

Soleil P, =4.10"°W . Justifier l’appellation de queue poussiéreuse ainsi que
son allure courbée.

2.2.14. Comment expliquer que les particules restent dans le sillage de la
comète ?
Épreuve de Physique 1 6/6

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