نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2022: الفيزياء 2 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2022 - Filière TSI

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

* Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

* Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la
première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1 : Champ magnétique d’une spire circulaire

On considère une spire circulaire
de rayon a, de centre O et d’axe Oz
(figure 1.1). Cette spire est contenue
dans le plan Oxy orthogonal à l’axe Oz.
Elle est parcourue par un courant
électrique d'intensité constante /.

Figure 1.1 : spire circulaire

1. Montrer, par un raisonnement rigoureux, que le champ magnétique B,,(M)

créé par la spire au point M de son axe Oz est porté par 5 ;

2. Montrer que B,(M) est donné par l'expression B,(M) = ‏بو مو‎ où a est

l’angle sous lequel la spire est vue depuis le point M . Exprimer le champ

magnétique B,(0) au centre O de la spire.

3. Représenter l'allure du champ B,(M) en fonction de z= OM €, ;
4. Application numérique : on fixe a=5em. Calculer B,(0) pour 71214 .

Calculer la valeur de 1 pour avoir B,(0)=1T . Commenter. Citer deux

systèmes qui permettent d’obtenir un champ magnétique intense. On

donne la perméabilité magnétique du vide : ‏حمر‎ 4.10 777017

Épreuve de Physique II 1/5

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Partie 2 : Modélisation d’une bobine

Données :

- Équations de Maxwell dans un milieu assimilé au vide en présence de
charge et de courant :

divE=L divB=0
86
7 Lo ji ‏ان‎ |

- Relation de passage du champ magnétique à la traversée d’une surface (Z)
parcourue par un courant surfacique de densité j

B,(M) - B(M) = 4j (M) Alu , M» étant la normale à la surface (X) en M.
- On repère un point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r,0,z)

rapportées à la base cylindrique (Et ) ;

-  Rotationnel du vecteur A(r)e, en coordonnées cylindriques :

rot (A0)e: ) = eu e.

1. Champ magnétique créé par une bobine infinie

On forme une bobine simple en enroulant un fil conducteur électrique sur
un cylindre isolant d’axe Oz, de rayon a et de longueur 7 (figure 2.1). Le fil, de
diamètre négligeable, est enroulé en formant N spires circulaires jointives de
rayon a  d’axe Oz. La bobine est parcourue par un courant d'intensité 7

constante. On désigne par n le nombre de spires jointives par unité de longueur.

Figure 2.1 : bobine

1.1. Montrer que le champ B,(M) créé par la bobine au un point M de l’axe Oz

est donné par B_(M)= ‏لط‎ (cos(e )- cos(a, 3 :

1.2. Déduire le champ magnétique créé par la bobine supposée de longueur
infinie en un point M de son axe Oz.
Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que la bobine, constituée de n spires

jointives par unité de longueur, de rayon a et d’axe Oz, est suffisamment longue

Épreuve de Physique 1 2/5

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pour pouvoir négliger les effets de bord. On note B(M) le champ magnétique créé par

la bobine de longueur infinie en tout point M de l’espace.

1.3. Justifier que le champ magnétique B(M) créé par la bobine en tout point
M de l’espace est de la forme B(M)= B(r)e. .

1.4. Comment se simplifient les équations de Maxwell en régime statique ?

1.5. À partir de l’une des équations locales de Maxwell, montrer que le champ
magnétique B(M) est uniforme. Que vaut alors le champ magnétique pour

1.6. En utilisant la relation de passage en r=a, établir l'expression de B(M) pour

2.  L’ARQS magnétique

La bobine est parcourue par un courant sinusoïdal d’intensité
i(t)=1,cos(wt). On admet que dans le cadre de l’approximation du régime quasi-

stationnaire (ARQS), les champs magnétique et électrique, dans l’espace intérieur
à la bobine assimilé au vide, sont respectivement donnés par :

2.1. En quoi consiste l’approximation du régime quasi-stationnaire (ARQS) ?
Quelle inégalité vérifient w, c et a dans l’ARQS, c désigne la vitesse de la
lumière dans le vide ?

2.2. Donner l’expression de B, en fonction de ‏مر‎ n et 1.

2.3. Calculer les densités volumiques d’énergie électrique (u,) et magnétique
(#4, ) emmagasinées dans la bobine. Calculer leurs valeurs moyennes
temporelles respectives, ‹u, › et ‹u, ›.

2.4. En déduire que la contribution électrique › ‏يلا‎ › à l’énergie électromagnétique

dans la bobine est négligeable devant la contribution magnétique ‹u, ›.

2.5. Exprimer les champs B(r,t) et E(r,t) en fonction de l’intensité i(t) et de sa

dérivée première. En déduire que le vecteur de Poynting a pour expression

Tir) = dos ‏ا‎

2.6. Calculer la puissance électromagnétique P,

rayonnée à travers la surface

qui limite la portion de la bobine de longueur 1. Montrer que P,, s’identifie

Épreuve de Physique 1 3/5

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à l’opposé de la variation d’énergie magnétique stockée dans la portion de la
bobine.

2.7. On rappelle que dans le cadre de la magnétostatique, le coefficient de self
inductance d’une telle portion de la bobine de rayon a a pour expression :
L=u,n'a’x|. Vérifier si le résultat obtenu dans la question 2.7 est conforme
au bilan local de puissance électromagnétique dans la portion de la bobine.

3. Caractéristiques d’une bobine

3.1. Self inductance

3.1.1. Calculer le flux du champ magnétique à travers l’ensemble des spires
de la bobine.

3.1.2. Retrouver l’expression de l’inductance L de la bobine donnée ci-
dessus.

3.2. Résistance interne
Le fil conducteur ayant une conductivité y finie, la bobine résiste au

passage du courant électrique. Pour calculer la résistance du fil, on considère que

le fil est un cylindre de matériau conducteur, d’axe (Oz), de longueur 71, de

diamètre d et parcouru par le courant / uniformément réparti en volume avec la
densité j= je.. On néglige les effets de bord et on raisonne comme si l’on a affaire
à un cylindre infini. La densité j de courant dans le fil conducteur ohmique est
reliée au champ électrique E par j=yE.

3.2.1. Déterminer le champ électrique E en tout point intérieur au

conducteur en fonction de /.

3.2.2. Exprimer la tension U aux bornes du fil conducteur.

3.2.3. En déduire la résistance interne r de la bobine.

3.2.4. Sachant qu’il y a N spires enroulées, montrer que la résistance est
8Na

donnée par r=

4. Mesure des caractéristiques d’une bobine

On modélise une bobine par l’association série d’une résistance r et d’une
inductance L.

4.1. On effectue une première mesure en continu. On dispose pour cela d’un

générateur idéal de tension continue de valeur E, d’un ampèremètre

Épreuve de Physique 1 4/5

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numérique, d’un voltmètre numérique, d’un interrupteur K , des fils de
connexion et de la bobine à étudier.

4.1.1. Dessiner le schéma du montage pour effectuer les mesures en
précisant le sens de branchement des appareils.

4.1.2. Comment se comporte la bobine en régime continu ?

4.1.3. L’ampèremètre indique /=2A et le voltmètre indique E=20,0V .
Déterminer, avec un nombre correct de chiffres significatifs, la valeur de la
résistance r de la bobine.

4.2. Pour chercher l’inductance L, la bobine est montée en série avec une
résistance R=509 . Un générateur de tension basse fréquence, idéal,
impose aux bornes du tout une tension sinusoïdale e(t)= Ecos(wt) de

Voie 1

fréquence f =100Hz (figure 2.2). On TU(V)
obtient les chronogrammes de la
figure 2.3 donnant la tension
u(t)=U,cos(wr) aux bornes de la
résistance sur la voie 1 d’un
oscilloscope et les variations de la
tension u,(t)=U, cos(t +@) aux
bornes de la bobine obtenues sur la
voie 2.

……… Voi ie 2

Figure 2.3 : chronogrammes
Figure 2.2 : circuit de mesure de L

4.2.1. Exprimer l’impédance de la bobine et celle de la résistance.

4.2.2. Exprimer le rapport 5 en fonction de r, R, Letw. À l’aide des

chronogrammes déterminer la valeur de L.

4.2.3. Exprimer ‏م‎ en fonction de r,œ et L. À l’aide des chronogrammes
déterminer p. On donnera sa valeur en radian ainsi que son signe. En

déduire la valeur de L.
4.2.4. Les deux mesures de L sont-elles cohérentes ?
4.2.5. Quelle grandeur a été négligée en qualifiant le générateur idéal ? Que

faudra-t-il faire si l’on doit en tenir compte ?

Épreuve de Physique II 5/5

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