نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2018: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière TSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en

particulier de rappeler avec précision les | références| des questions abordées.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les
questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre
elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à
prendre.

Mesures de grandeurs électriques et exemples de capteurs

Notre mode de vie actuel est fortement tributaire de l’utilisation du courant électrique. Pour sub-
venir à nos besoins, d’autres formes d'énergie (mécanique, chimique, nucléaire, etc.) sont converties
en énergie électrique. L'électricité est présente dans tout les aspects de notre quotidien : appareils
électroménagers, moyens de transports, moyens de communications, etc. La mesure et le traitement
d’autres grandeurs physiques se base sur des capteurs, de ces grandeurs, qui les convertissent en
signaux électriques : capteurs de température, de pression, d’éclairement, etc.

Données :

- Masse de l’électron m = 9.10 3116

- Charge de l’électron q = —e = —1, 6.10 19©

- Vitesse de la lumière : c = 3.10$m.s—!.

- Permittivité diélectrique du vide ep = 8,854 x 10-1211271

- À une grandeur sinusoïdale f(t) = Fo.cos(wt + ), on associe le complexe souligné f(t) =
‏راط انها لوم[‎ avec j? = —1 et tel que f(t) = Re(f(t)); le conjugué de f sera noté f*.

- Pour un vecteur v, div(rot V )=0

I Questions de cours

Un générateur électrique crée un champ électrique E, supposé uniforme, dans un conducteur
métallique cylindrique (C) d’axe X'X de longueur AB = L, de section S. Les porteurs de charges
libres, de charge ‏رو‎ de densité volumique n, sont supposés avoir le même vecteur vitesse 7’ par
rapport au conducteur : le mouvement des charges est appelé courant électrique. Voir figure 1.

x ! Conducteur FA x

Figure 1 — Conducteur parcouru par un courant électrique

1.1. Généralités sur les courants électriques
[.1.1. Exprimer la densité volumique des charges mobiles p(M) en un point M du conducteur.

‎Donner l'expression de la charge 430 contenue dans le volume élémentaire dv = 7 .4 5.‏ .1.1.2
‎Le vecteur densité volumique de courant J (M) est défini par :d°Q - (M) d 5 dt‏

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1.1.3. Donner l'expression de T (M)
1.1.4. En déduire l'intensité 1 du courant dans le conducteur.
1.2. Bilan de la charge électrique en régime variable
On se propose d'établir le bilan local, unidirectionnel selon X'X, de la conservation de la charge.
On raisonne sur la tranche de conducteur, de section S, comprise entre x et x+dx.
1.2.1. Donner l'expression de la charge dQ,r reçue grâce aux échanges surfaciques, en x et en
x+dx, pendant une durée élémentaire dt .
1.2.2. Exprimer la variation de la charge au sein de la tranche en fonction de p(x,t).
1.2.3. En déduire l'expression du bilan local de charge à une dimension, puis faire la généralisa-
tion à trois dimensions.
1.2.4. Retrouver ce bilan en partant de deux relations de Maxwell dans la matière.
1.3. Loi d'Ohm et effet Joule
On étudie le mouvement d’un électron de charge q = —e au sein d’un métal sous l’action du

#73
TT. 7

champ électrique = du générateur et on modélise les frottements par une force 1 ; =
où T est une constante positive.
1.3.1. Appliquez le principe fondamental de la dynamique et déterminez l'expression du vecteur
vitesse v’(t).
1.3.2. Donner, en régime permanent la vitesse limite, et le vecteur densité volumique 7 :
1.3.3. En déduire la loi d'Ohm locale et donner l'expression de la conductivité électrique y.

1.4. Résistances d'appareils de mesures

Un galvanomètre permet de mesurer des courants d'intensité faible iG,max = 100 A. Il est formé
d’une bobine carré de N = 500 spires de coté ! = 2cm, d’un fil de cuivre de diamètre d = 0,1mm.
La résistivité du cuivre est p = 1,6.10-7O.m

1.4.1. Déterminer l'expression, puis la valeur de la résistance interne du galvanomètre rc

Pour construire un ampèremètre permettant de mesurer un courant d'intensité ‏وير‎ Plus grande,
on place en parallèle avec le galvanomètre, de résistance rc, une résistance rs plus faible appelée
shunt. On introduit le facteur de multiplication m = ‏حفسكد‎

!G,max

1.4.2. Déterminer l'expression de rs en fonction de rç et de m.
On donne m = 1000, calculer la résistance équivalente r4 de l’'ampèremètre.

Un voltmètre est constitué d’une résistance additionnelle Ry placé en série avec le galvanomètre.
La tension aux bornes de l'ensemble est U = k.iç.

1.4.3. Donner l'expression de la constante k et en déduire la valeur de Ry pour avoir un voltmètre
de calibre Ujax = 10V.

1.4.4. Montages volt-ampèremétrique pour mesurer une résistance R
Pour déterminer la valeur d’une résistance R, on utilise un voltmètre et un ampèremètre
qui donnent respectivement la tension V et l'intensité i dans les deux cas de la figure 2 : a
(montage amont) et b (montage aval); les valeurs de R ainsi déterminées sont notées
respectivement R = Reet R = R,.

1.4.4.1. Exprimer les erreurs relatives dans les deux cas : € = | a | ete; = | En x

des résistances ra, Ry et R. Tracer les graphes ec(R) et e:(R); commenter.

| en fonction

1.4.4.2. Quels types d'erreurs sur la mesure des résistances sont introduites par ces deux mon-
tages : aléatoires ou systématiques ? Préciser si c'est par défaut ou par excès.

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2: montage courte dérivation b : montage longue dérivation

Figure 2 - Montages : courte dérivation (ou amont) et longue dérivation (ou aval)

11] Mesures de l'intensité de courants
11.1. Principe d’un galvanomètre

Le galvanomètre permet de mesurer l'intensité d’un courant électrique. Il est formé d’une bobine
comportant No spires rectangulaires, »- ‏يريد‎ par un fil dans l’entrefer d’un aimant; ce dernier

crée un champ magnétique uniforme B Bo. parallèle aux cotés MN et QP d’une spire de
la bobine : voir figure 3. Une aiguille solidaire de la bobine permet de repérer le mouvement de
rotation de l’ensemble autour d’un axe vertical OZ. Le moment d'inertie de l’ensemble est noté J.

Un générateur de force électromotrice E délivre un courant d'intensité i qui traverse le galvanomètre
de résistance rç en série avec une résistance R.

On note les dimensions de la bobine : MN = 2a et NP =h et on pose = 2ah.No.Bo : voir figure 3.

Lecture

Spire MNPQ dans le champ magnétique

+ Bobine _—

Figure 3 — Principe d’un galvanomètre

11.1.1. Déterminer, avec justification, la résultante de Laplace qui s'exerce sur la bobine.

1 F5
11.1.2. Établir, avec justification, l'expression du moment des forces de Laplace M; s’exerçant sur
la bobine.

Lors de son Mouvement, l'ensemble bobine-aiguille est rappelé par un couple de torsion dont le
moment est M, = —C.6. 7. où C › 0 est la constante de torsion.

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11.1.3. Par application du théorème du moment cinétique, déterminer l'équation différentielle vé-
rifiée par 0)1( caractérisant le mouvement de rotation de la bobine.

11.1.4. Lors de la rotation 6, déterminer la force électromotrice induite dans la bobine.
11.1.5. Appliquer la loi des mailles au circuit fermé et déterminer l'expression de l'intensité i.

11.1.6. Donner la forme générale de la solution 6(t). Discuter le mouvement de l’ensemble en
fonction des données utiles.

11.1.7. En déduire quel cas pratique faut-il choisir pour que le galvanomètre puisse mesurer l’in-
tensité 17 Représenter, alors l'allure du graphe 6(t).

I[2. Pince ampèremétrique

Soit un tore de centre O, de rayon intérieur Ro, de section carré de coté a et d’axe de révolution OZ.
Sur ce tore on enroule, régulièrement et dans le même sens, N spires ; ce circuit est fermé par un am-
pèremètre de résistance négligeable et l'ensemble a pour résistance R. La perméabilité magnétique
du tore est ‏مار‎ supposée égale à celle du vide. Un fil infini confondu avec OZ est parcouru par un
courant sinusoïdal : I(t) = Im.cos(w.t). Voir figure 4.

Vue de dessus Plan méridien

Figure 4 — Principe d’une pince ampèremétrique

11.2.1. En utilisant les symétries et les invariances du problème, déterminer les caractéristiques
du champ (d’induction) magnétique B (M) crée par le fil en un point M repéré par ses
coordonnées cylindriques r, 0 et z.

‎Déterminer le champ magnétique B (M) en tout point M.‏ .11.2.2

11.2.3. Calculer le flux magnétique © de ce champ à travers le ‏عدم‎ et en déduire le coefficient
d’inductance mutuelle M.

IL2.4. Montrer que le fil engendre dans le tore un courant i(t).
IL.2.5. Déterminer l'expression du flux magnétique propre ®, dans le ‏عدم‎
‎11.2.6. En déduire la relation entre les courants complexes I et :.

11.2.7. Le nombre de spires N est très grand, simplifier cette relation et montrer que ce dispositif
permet de mesurer des courants intenses dans le fils. Quel est son principal avantage ?

111 Exemple d’un capteur de température : thermomètre électronique.

On utilise une résistance de platine Rp variable avec la température, celle-ci est engagée dans
un montage dit "pont de Wheatstone" : voir figure 5. Le montage est alimenté par une source de
courant ‏و1‎ = 1,00mA .

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4

Figure 5 — Pont de Wheatstone avec thermistance

On donne R, = Ra = R3 = 1,00k, et ‏يكل‎ : résistance variable ; ces résistances sont supposées
indépendantes de la température. La résistance de platine varie avec la température t exprimée en
°C selon la loi : Rp = Rpo(1 + at), avec ‏وملا‎ = 1000 : valeur à 0°C ‏مك‎ = 4, 00.103 "1. ه٠‎
posera R, = R4 + Rp.

111.1. Exprimer la tension V; = Vp — Va en fonction de ‏ربعا‎ Ra, R3, R4, Rp et lo.

111.2. A t = 0°C, on fait varier R4, et pour une valeur ‏ميا‎ la tension V; s’annule : le pont est dit
équilibré, un galvanomètre placé entre B et D indique un courant nul.
Exprimer ‏مي‎ en fonction des autres résistances du montage.
Cette valeur sera maintenue dans la suite.

111.3. Lorsque la température t varie, déterminer l'expression de la tension V;(t).

111.4. Montrer qu’on pourra supposer la variation V;(t) comme linéaire pour 090 › t › 100°C.
Donner, alors, l'expression de ‏ذا‎ (t).

111.5. Le signal délivré étant faible, on se propose de l’amplifier avec un gain ©
Proposer un montage à résistances et amplificateur opérationnel permettant d'obtenir une ten-
sion amplifiée V! - 27

111.6. La tension V; est appliquée à un convertisseur analogique-numérique (CAN) à 8 bits. On veut
faire des mesures pour 0°C ‹ + › 100°C, déterminer la variation minimale de température
ÂAtmin que l’on peut apprécier avec ce montage.

IV Étude d’un capteur de déplacement

117.1. Expression de la capacité d’un condensateur plan

Ce condensateur est formé de deux armatures conductrices planes (P,)(z = 0) et ( P,)(z = e)
orthogonales à l'axe OZ. Les deux armatures carrées, chacune de surface S = 1° sont séparées
par une distance e occupée par un diélectrique de permittivité ‏ع‎ = ep.
Les deux armatures (P, ) et ( P») portent les charges électriques respectives Q, et Q» = —Q1.
Dans toute la suite, on néglige les effets de bord : e ‹ |.

IV.1.1. Déduire des considérations d’invariance(s) et de symétrie(s) la forme du champ électrique

en un point M(x, y, z) entre les armatures : E (M)
IV.1.2. Déterminer l'expression du vecteur champ électrique en fonction des données.
IV.1.3. En déduire l'expression de la différence de potentiel V = Vp, — Vp,.

IV.1.4. Déterminer l'expression de la capacité C de ce condensateur.

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IV.2. Capteur de déplacements

On se propose d'enregistrer la déformation selon l'axe X’X d’une structure (S) : voir figure 6(a). Pour
cela, on réalise trois métallisations planes identiques P,, P, et P; qui constituent deux condensateurs
plans de capacité : C12(P,, P,) et C13(P,, P3) : voir figure 6(b). Ces capacités varient lors de la défor-
mation de (S), car P, est solidaire de cette structure. L'aire des armatures est S = 12 et l'épaisseur ‏ع‎
‎est remplie d'air de permittivité diélectrique eo. Les lignes de champ sont supposées orthogonales
aux conducteurs.

Support fixe
Pr ‏الم‎ 3

Contrainte : /
— ——j# mouvement /
Structure (S)
EE ‏جاع ا عاك ل‎ = M 8 = X

Figure 6 — Les deux condensateurs de capacités variables avec la déformation de la structure

IV.2.1. Le centre de l’armature P, est repéré par son abscisse x ; initialement, il se trouve en x = 0.
Déterminer alors les expressions des capacités : C120(x = 0) et C130(x = 0); on notera

IV.2.2. Lorsque P, est translatée de x de sa position d’origine, déterminer les expressions des nou-
velles capacités C12(x) et C13(x), en fonction de 1, Cp et x.

Les deux condensateurs sont montés en pont de Wheatstone avec deux résistances fixes de valeur
R : voir figure 7. L'ensemble est alimenté par un générateur d'impédance négligeable et délivrant
une tension sinusoïdale ve(t) = Vm.cos(we.t).

Figure 7 — Pont de Wheatstone en alternatif

IV.2.3. Exprimer la tension vs(t) = ‏وه — وه‎ en fonction de ve(t), C12 et ‏رين‎ puis en fonction de
ve(t),letx.

On s'intéresse à une translation sinusoïdale de pulsation w : x(t) = Xm.cos(w.t).

IV.2.4. Montrer que le spectre de Fourier de vs(t) comporte deux composantes sinusoïdales dont
on donnera les pulsations.

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Pour récupérer l'information pertinente, on réalise une mise en forme du signal. Le pont de Wheats-
tone est complété par les étages (a) et (b) de la figure 8. L'étage (b) réalise la détection synchrone ;
celle-ci met en jeu un multiplieur et un filtre passe-bas de pulsation de coupure wc › We.

‎À AO1 M‏
55 اوتا * ‎y‏
‏153 7
نا سيم تا اير ‎ultiptieur‏ د ‎R pre‏
‎passe-bas‏ #5
عاج ‎Ve AO2‏

Figure 8 — Circuit de conditionnement du signal utile

IV.2.5. Recopier le montage de la figure 8(a) et exprimer la tension vs] (t) en fonction de la tension
vs(t). Quel est l'intérêt de ce montage ? On prendra ‏و‎ = Ra.

IV.2.6. Déterminer les tensions de sorties vs9(t), et v,3(t). Conclure sur la linéarité de la chaine de
mesure.

IV.2.7. Proposez un montage simple de filtre passif passe bas, et donner l'expression de sa pulsa-
tion de coupure wc.

Épreuve de Physique I 7/7 Fin

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